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圆的标准方程与一般方程PPT


?

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解 析 几 何 的 基 本 思 想

y

y




l : Ax ? By ? C ? 0

y0
0

P0 (x0,y0)

o

x

圆在坐标系下有什么样的方程?
解 析 几 何 的 基 本 思 想

y

x O

天才就是百分之一的灵感,百分之九十九的汗水! 书 山 路 勤勤 为 奋,努 径,学 崖 苦成 作 功! 舟 天 少 成功 小 才 =有 艰苦的劳动 不 在 学 于 习,老 +正确的方法 来海 徒无 力 伤 才 + 少谈空话 悲 能

高一数学刘燕

2014年5月30日

师生互动探究

1、什么是圆?
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.
2、确定圆有需要几个要素? 圆心--确定圆的位置(定位) 半径--确定圆的大小(定形)
3、在直角坐标系中如何确定一个圆?

二、探究新知,合作交流

探究一

已知圆的圆心c(a,b)及圆的 半径R,如何确定圆的方程?
y R
C(a,b)

P={M||MC|=R}
M

O

x

一.圆的标准方程 如图,在直角坐标系中,圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示,半径 r的大小等于圆上任意点M(x, y)与 圆心C (a,b) 的距离. y M(x,y) 则 |MC|= R 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = R } O C x

2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b)

2 ( x ? a)

2 ? ( y ? b)

2 ?R

?R

圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y)

O

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

C

x

圆的标准方 程 若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2

2

圆的标准方程
( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
特点:

1.是关于x、y的二元二次方程,无xy项;
2. 明确给出了圆心坐标和半径。

3、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即a、b
、r .

4.若圆心在坐标原点,则圆方程为 y 2 = r2

x2 +

变式演练
例1.圆心为 A(3,?1) 半径长等于5的圆的方程 ( A (x – 3 )2+(y – 1 )2=25 C (x – 3 )2+(y + 1 )2=5

)

B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5

变式一 圆心在C(4,-1),且经过点M(5,2)的 圆的方程? 变式二圆心在y轴上,半径为5,且过点 (3,-4)
尝试高考?(2012重庆高考题) 变式三 以点(2,-1)为圆心且与直线 x-y=1相切的圆的方程为 ( )

2 2 2 M ( x , y ) 怎样判断点 0 0 0 在圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 内呢?圆上?还是在圆外呢?
y M2 M3

C

o

M1

x

知识探究二:点与圆的位置关系
探究:在平面几何中,如何确定点与圆的位置关 系? M M M

O
|OM|<r 点在圆内

O

O

|OM|=r
点在圆上

|OM|>r
点在圆外

知识点二:点与圆的位置关系

点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内 ; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上 ; (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外 . M ( x0 , y 0 ) M ( x0 , y 0 ) M ( x0 , y 0 ) O(a, b) O(a, b) O ( a, b)

例2.已知两点P1(4,9)和P2(6,3), (1)求以P1P2为直径的圆的方程; (2)试判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆 上,在圆内,还是在圆外?

练习:
2+y2=25的位置关系 点P( m ,5) 与圆 x 1

(

)

A在圆外 C在圆内

B在圆上 D在圆上或圆外

小结:
一、

( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 圆的标准方程
2 2

2

y

M

C
O

x

圆心C(a,b),半径r

x 特别的若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为: 二、点与圆的位置关系: 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r ?0 ? ? 0 ? (1)点P在圆上
2 ? x ? a ? y ? b ? r ? ? ? ? (2)点P在圆内 0 0 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r (3)点P在圆外 ? 0 ? ? 0 ? 2 2

2

?y ?r
2

2

三、求圆的标准方程的方法:
1 代数方法:待定系数法求 2 几何方法:数形结合

作业布置

P120 P124

练习1、2、3 习题A组1、2

将标准方程展开,是一个什么形式? 它有什么特点?

第二课时

圆的一般方 程

教学目标
? ? ? ? 掌握圆的一般方程及一般方程的特点 能将圆的一般方程化为圆的标准方程 能用待定系数法由已知条件导出圆的方程 培养学生数形结合思想,方程思想,提高学生分析问 题及解决问题的能力.

重点难点

? 重点:圆的一般方程及一般方程的特点 ? 难点:圆的一般方程的特点及用待定系 数法求圆的方程.

[复习与回顾] 圆的标准方程的形式是怎样的?

2 2 ? ( x ? a) ( y ? b) ? r 2
从中可以看出圆心和半径各是什么?

?a , b ? r

二、

[导入新课]
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

1、同学们想一想,若把圆的标准方程

展开后,会得出怎样的形式?

2 2 2 2 2 ? ? 2 ax ? 2 by ? ? ? y x a b r ?0

2、那么我们能否将以上形式写

得更简单一点呢?
2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 ? y x

3、反过来想一想,形如
2 2 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

的方程的曲线就一定是圆吗?

4、将

2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 x2 ? y

左边配方,得
2

D ? E (x? ) ( y ? ) 2 2
D2+E2-4F>0
时,

2

? D

2

? E ? 4F 4

2

(1)

E? ? D ? , ? ? ? 可以看出它表示以 2? ? 2
2 2

为圆心,

D ? E ? 4F 为半径的圆; 以 r? 2

(2) 当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个

点 ( ? D ,? E ) ;

2

2

(3)当D2+E2-4F<0时,方程无实数解, 不表示任何图形.

圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0). 圆的一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0

(其中D2+E2-4F>0).

1.圆的一般方程: X2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0). 2.圆的一般方程与圆的标准方程的关系: (1) 2 2 D E 1

小结

a ? ? 2 ,b ? ? 2 ,r ?

2

D ? E ? 4F ,

(2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径,而 一般方程突出了方程形式上的特点. 3.圆的一般程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系: (1)A=C≠0,(2)B=0,(3) D2+E2-4AF>0时,二元二次方程才表示圆的 一般方程. 4.圆的一般方程的特点: (1)x2和y2的系数相同且不等于0. (2)没有xy这样的二次项,因此只要求出了D,E,F就求出了圆的 一般方程.

课后习题的处理 1.已知圆过点P(-4,3),圆心在直线 2x-y+1=0上,且半径为5,求这个

圆的方程.(P102:3)
变式 1 求满足下列条件的各圆 C 的方程 : (1) 和直线 4 x+3y-5=0 相切,圆心在 直线x-y+1=0上,半径为4; (2)经过两点A(-1,0),B(3,2),圆心 在直线x+2y=0上.

2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2= 4 的内部,求实数a 的取值范围.(P107:7)
变式 2 若点 (1 , 3 ) 在圆 x2+y2-2ax- 32 ay=0(a≠0) 的外部,求实数 a 的取值范围 .

3.画出方程x-1= 1 ? y 表示的曲线 .(P103 :8)
2

变式3 画出方程y=3+ 4 x ? x 线.

2

表示的曲

2012.11.30


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