当前位置:首页 >> 数学 >>

第4讲 函数的概念、解析式及定义域_图文

理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;掌握求函数解析式的常用方法.

1.函数的概念 设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合A中的① __________________ , 在集合B中都有② ____________ 的数f ? x ? 和它对应, 那么就称f :A ? B为从集合A到集合B的一个函数, 其中x的取值范围A叫函数的③ __________ , ④ ________ 叫函数的值域, 值域是⑤ ________ 的子集. 2.函数的三要素 ⑥ __________________________ 为函数的三要素. 两函数相同,当且仅当⑦ .

3.函数的表示法 ⑧ 4.映射的概念 设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应 关系f ,使对于集合A中的⑨ ______________ ,在集 合B中都有⑩ __________ 的元素y与之对应,那么就 称对应f :A ? B为从集合A到集合B的一个映射. .

【要点指南】 ①任意一个数x;②唯一确定;③定义域; ④{ f ? x ? | x ? A};⑤集合B; ⑥定义域、对应法则、值域; ⑦定义域和对应法则完全相同; ⑧解析法、图象法、列表法; ⑨任意一个元素x;⑩唯一确定

1.已知f(x)=m3,则f(m)( A.m C. m 3 B.m3

)

D.不确定

【解析】f(x)=m3 是常函数,所以 f(m)=m3, 故选 B.

2.给出四个命题: ① 函数是其定义域到值域的映射; ② f(x)= x-4 + 1 1-x 是函数; ③ 函数y= x (x ∈

N*)的图象是曲线; ④f(x)= x2与g(x)=x是同一个函数.其中正确的有( A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 )

【解析】只有①正确,②③④错误,故选 A.

3.已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的定 义域是 [-3,0]∪[1,3] ,值域是 [1,5] .

【解析】由图观察知,定义域为[-3,0]∪[1,3],值 域为[1,5].

?2 x ?x>0? 4.(2011· 福建卷)已知函数 f(x)=? , ?x+1 ?x≤0?

若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( A.-3 C.1 B.-1 D.3

)

【解析】依题意,f(a)=-f(1)=-21=-2, 又因为 2x>0,所以 a≤0, 所以 f(a)=a+1=-2,故 a=-3,故选 A.

5.如图所表示的函数的解析式为(
? 3 ?- x+3 ?0≤x≤1? 2 ? 2 A.y=? 3 ?3 ?2x-2 ?1<x≤2? ? ? ?x+1 2 ? C.y=? ?5 ?2-x ?

)

?3 ? x ?0≤x≤1? ?2 B.y=? 3 ? ?3-2x ?1<x≤2? ?

?0≤x≤1? D.y=1-|x-1| (0≤x≤2) ?1<x≤2?

【解析】方法 1:将 x=0 代入选项排除 A、C;将 x =1 代入选项排除 D,故选 B. 方法 2:由分段形式和直线的方程易求.

一 函数的定义域
【例 1】 (1)函数y= x2-2x-3+log2(x+2)的定义域是__________; 1 (2)若函数y=2x2+kx+1的定义域为R,则实数k的 取值范围是__________.

?x2-2x-3≥0 【解析】 (1)由 ? ,得{x|-2<x≤ ?x+2>0

-1 或 x≥3},即为所求. (2)由已知 2x2+kx+1≠0 对 x∈R 恒成立, 所以 Δ=k2-8<0,解得-2 2<k<2 2.

【点评】 函数的定义域就是指使这个式子有意义的所 有实数 x 的集合.在一些具体函数综合问题中,函数 的定义域往往具有隐蔽性,所以在研究这些问题时, 必须树立“定义域优先”的原则.而逆向问题注意命 题的等价转化.

素材1

(1)函数 f(x)=lg 1-x2的定义域为( B ) A.[0,1] B.(-1,1) C.[-1,1] D.(-∞,-1)∪(1,+∞) (2)若 f(x+1)的定义域为[-2,3),则 f(2x-1) 的定义域为 5 [0,2) .

【解析】(1)由 1-x2>0,得-1<x<1,故选 B. (2)因为-2≤x<3,所以-1≤x+1<4. 5 由-1≤2x-1<4,得 0≤x<2, 5 故 f(2x-1)的定义域为[0,2).



函数的解析式

【例 2】求下列函数的解析式: (1)已知二次函数满足 f(3x+1)=9x2-6x+5, f(x); 求 (2)已知 2f(x)+f(-x)=3x+2,求 f(x).

【分析】 根据条件可灵活运用不同的方法求解.

【解析】 (1)方法 1:待定系数法. 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+ 3b)x+a+b+c. 又 f(3x+1)=9x2-6x+5, 所以 9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.

比较两端的系数,
?9a=9 ? 得?6a+3b=-6 ? ?a+b+c=5 ?a=1 ? ,解得?b=-4 ? ?c=8

.

所以 f(x)=x2-4x+8.

方法 2:换元法. t-1 令 t=3x+1,则 x= 3 , 代入 f(3x+1)=9x2-6x+5 中, t-1 2 t-1 得 f(t)=9( 3 ) -6· 3 +5=t2-4t+8, 所以 f(x)=x2-4x+8.

(2)直接列方程组求解. 由 2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x 代换上式中的 x, 得 2f(-x)+f(x)=-3x+2.
?2f?x?+f?-x?=3x+2 解方程组? , ?2f?-x?+f?x?=-3x+2

2 得 f(x)=3x+3.

【点评】函数的解析式是函数与自变量之间的一种 对应关系,是函数与自变量之间建立的桥梁.求函数的 解析式是高考中的常见问题,其特点是类型活,方法 多.求函数的解析式常有以下几种方法:①如果已知函 数 f[g(x)]的表达式, 可用换元法或配凑法求解; ②如果已 知函数的结构,可用待定系数法求解;③如果所给式子 1 含有 f(x)、f(x)或 f(x)、f(-x)等形式,可构造另一方程, 通过解方程组求解.

素材2

已知 f(1-cosx)=sin2x.

【解析】因为 f(1-cosx)=sin2x=1-cos2x, 设 1-cosx=t, 因为 cosx∈[-1,1],所以 t∈[0,2], 所以 f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t, 所以 f(x)=-x2+2x,x∈[0,2].



函数创新题

【例 3】(2011· 湖南卷)给定 k∈N*,设函数 f:N*→N* 满足:对于任意大于 k 的正整数 n,f(n)=n-k. (1)设 k=1, 则其中一个函数 f 在 n=1 处的函数值为 ____________; (2)设 k=4,且当 n≤4 时,2≤f(n)≤3,则不同的函 数 f 的个数为__________.

【解析】 (1)由题可知 f(n)∈N*, k=1, 而 n>1 时, f(n) =n-1∈N*,故只须 f(1)∈N*,故 f(1)=a(a 为正整数). (2)由题可知 k=4,n>4 时,f(n)=n-4∈N*, 而 n≤4 时,2≤f(n)≤3, 即 f(n)∈{2,3},即 n∈{1,2,3,4},f(n)=2 或 3, 由映射个数求法可知不同函数 f 的个数为 24=16.

【点评】本题以函数定义及映射个数求法为模型, 考查学生对书本定义及习题的把握程度,考查分析问题、 解决问题的能力,可见“回归课本”复习之纲.

素材3

(1)函数 f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数 m,n 1 恒有 f(mn)=f(m)+f(n),且 f(2)=-1,则 f(1)= 0 ,f(2) = 1 ; x2 1 1 (2)已知函数 f(x)= , f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3) 则 1+x2 1 7 +f(4)+f(4)= 2 .

【解析】(1)令 m=n=1,得 f(1)=f(1)+f(1), 所以 f(1)=0. 1 1 1 f(1)=f(2×2)=f(2)+f(2)=-1+f(2)=0, 1 所以 f(2)=1.

12 ?x ? x2 1 1 (2)由 f(x)= 2,知 f( )= x 1 2=1+x2, 1+x 1+?x? 1 所以 f(x)+f(x)=1, 1 7 故原式= +1+1+1=2. 1+1

备选例题

如图①所示是某公共汽车线路收支差额

y(元)与乘客量 x(人)的图象.

(1)试说明图①上点 A、 B 以及射线 AB 上的点的实 点 际意义; (2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两 种扭亏为赢的建议,如图②③所示.你能根据图象,说 明这两种建议吗? (3)图①、②、③中的票价分别是多少元? (4)此问题中直线斜率的实际意义是什么?

【解析】(1)点 A 表示无人乘车时收支差额为-20 元.点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 0 元, 线段 AB 上的点(不包 括 B 点)表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图②的建议是降低成本,票价不变,图③的建议是增 加票价. (3)图①②中的票价是 2 元,图③中的票价是 4 元. (4)斜率表示票价.

1.已知函数的解析式求其定义域,只要使解 析式有意义即可.如分式的分母不等于零, 开偶次方的被开方数不小于零,对数的真数 大于零同时底数大于零不等于1,等等. 2.求函数的解析式的主要方法有:待定系数 法、换元法、配凑法、函数方程法、赋值法 等.当已知函数为某类基本初等函数时用待 定系数法,已知复合函数的问题时用换元法 或配凑法,抽象型函数问题一般用赋值法或 函数方程法.

3.分段函数是指自变量在取值情况不同时, 对应法则不同.分段函数的定义域为自变 量的所有取值的集合.


相关文章:
第4讲 函数的概念、解析式及定义域_图文.ppt
第4讲 函数的概念解析式及定义域 - 理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;掌握求函数解析式的常用方法. 1.函数的概念 设A、B是非空的数集,如果...
第2单元第4讲 函数的概念及解析式与定义域_图文.ppt
第2单元第4讲 函数的概念及解析式定义域 - 理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;掌握求函数解析式的常用方法. 1.下列函数中,与函数y =x( x ? ...
第2单元第4讲函数的概念及解析式与定义域精品课件_图文.ppt
第2单元第4讲函数的概念及解析式定义域精品课件 - 理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;掌握求函数解析式的常用方法. 1.下列函数中,与函数y =x( ...
学海导航数学(理)总复习(第1轮)课件 第4讲 函数的概念及解析式与....ppt
学海导航数学(理)总复习(第1轮)课件 第4讲 函数的概念及解析式定义域_数学_高中教育_教育专区。学海导航数学(理)总复习(第1轮)课件 第4讲 函数的概念及...
...第4讲 函数的概念、解析式及定义域课件 文 新课标_....ppt
高考数学一轮总复习 第4讲 函数的概念解析式及定义域课件 文 新课标_数学_高中教育_教育专区。 理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;掌握求函数解析...
...第4讲 函数的概念及解析式与定义域课件 理 新人教A....ppt
2014版高考数学一轮总复习 第4讲 函数的概念及解析式定义域课件 理 新人教A版解析_中职中专_职业教育_教育专区。2014 理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 ...
...广东专版课件:第4讲 函数的解析式及定义域_图文.ppt
2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件:第4讲 函数的解析式及定义域 理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;掌握求函数解析式的常用方法. 1.函数...
第4讲 函数及其性质之2-函数的定义域、值域、解析式_图文.ppt
第4讲 函数及其性质之2-函数的定义域、值域、解析式_数学_高中教育_教育专区。第二讲函数及其性质之二函数的定义域、值 域及函数的解析式 要点梳理 1.函数的...
函数的概念、解析式及定义域_图文.ppt
函数的概念解析式及定义域 - 第二章 函 数 1.函数 (1) 了解构成函数的
...专版课件:第4讲_函数的解析式及定义域资料_图文.ppt
2014届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件:第4讲_函数的解析式及定义域资料 - 理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;掌握求函数解析式的常用方法. ...
...复习课件:第4讲_函数的概念、解析式及定义域_图文.ppt
2014届新课标高考文科数学一轮总复习课件:第4讲_函数的概念解析式及定义域 - 一 函数的定义域 【例 1】 (1)函数y= x2-2x-3+log2(x+2)的定义域是_...
第5讲函数的概念、解析式及定义域_图文.ppt
第5讲函数的概念解析式及定义域 - 新课标高中一轮总复习 理数 第二单元 函数
...复习课件:第4讲 函数的概念、解析式及定义域_图文.ppt
福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件:第4讲 函数的概念解析式及定义域_数学_高中教育_教育专区。福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件 ...
第4讲 函数的解析式及定义域_图文.ppt
第4讲 函数的解析式及定义域 - 理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;掌握求函数解析式的常用方法. 1.函数的概念 设A、B是非空的数集,如果按照某种...
...浙江专版-第4讲 函数的解析式与定义域_图文.ppt
2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第4讲 函数的解析式定义域 - 理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;掌握求函数解析式的常用方法. 1.函数的...
...第4讲 函数的概念及解析式与定义域课件 理 新人教A....ppt
2014版高考数学一轮总复习 第4讲 函数的概念及解析式定义域课件 理 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。2014版高考数学一轮总复习 第4讲 函数的概念及解析...
...第4讲 函数的概念、解析式及定义域课件 文 新课标_....ppt
福建省2013届高考数学一轮总复习 第4讲 函数的概念解析式及定义域课件 文 新课标_数学_高中教育_教育专区。 理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;...
2.4函数的概念、解析式及定义域_图文.ppt
普遍使用的函数模型)的广泛应 用. 第4讲 函数的概念解析式及定义域 【学习目标】 1.了解映射的概念,了解构成函数的要素,会 求一些简单函数的定义域; 2.在...
第2单元第4讲 函数的概念及解析式与定义域.ppt
第2单元第4讲 函数的概念及解析式定义域 隐藏>> 理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;掌握求函数解析式的常用方法. 1.下列函数中,与函数y =x( ...
...总复习课件(文)_第4讲函数的概念、解析式及定义域_图文.ppt
2012届高中数学一轮总复习课件(文)_第4讲函数的概念解析式及定义域。新课标