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9-2二重积分的计算(2)


第九章

第二节 二重积分的计算(2)
二、极坐标系下二重积分的计算


三、二重积分的换元法

二、极坐标系下二重积分的计算
1. ?? f ( x , y ) d ? 的极坐标形式
D

1 1 2 2 ?? i ? ( ? i ? ?? i ) ? ?? i ? ? i ? ?? i 2 2

? =常数 ? = ? i+?? i ?=?i ??
i

1 ? ( 2 ? i ? ?? i ) ?? i ? ?? i 2 ? i ? ( ? i ? ?? i ) ? ?? i ? ?? i
2

D O

??i

? ? i ? ?? i ? ?? i ,

? =常数

A

取点 ( ? i , ? i )? ( ?? i ), 对应的 直角坐标为

y

( ?? i ) ( ?i , ?i )
?i

ξ i ? ρi cos θi , ηi ? ρi sin θi
?
? ?0

?i
O

?i
?i

lim ? f (? i ,?i ) Δ ? i
i ?1 n

n

x

? lim ? f ( ? i cos ? i , ? i sin ? i ) ? ? i Δ ? i Δ? i
? ? 0 i ?1



?? f ( x , y )d? ? ?? f ( ? cos? , ? sin? ) ? d ? d? ,
D D

?? f ( x , y )d? ? ?? f ( ? cos? , ? sin? ) ? d ? d? ,
D D

其中 d? ? ? d? d? 称为极坐标系下的面积元素.

? d? d? d ? ? d?

把二重积分中的变量从直角坐标转换为极坐标, 有

? x ? ρ cos θ , ? ? y ? ρ sin θ .

2. 计算法 (1) 极点在积分区域之外,积分区域为 由极点与积分区域的位置,可分为四种情况讨论 .) ? ?? ?? ?2 (? yy ??1 (? ) ? ? ? ? 2 (? ) D D D:? , ? ?? ? ? ? ? (? ) ?? ?? ?? ?1 1 (? ) ? ? D的特点:从极点发出的射线 O O x ? = ?0( ? <?0 <? )与D的边界至多有两个交点,则

?? f (? cos? , ? sin ? ) ? d ? d?
D

? ? d?
?

?

f ( ? cos ? , ? sin ? ) ? d ?. ? ? (? )
1

? 2 (? )

(2) 极点在积分区域边界,积分区域为D:

0 ? ? ? ? (? ), ? ? ? ? ?


?? f ( ? cos? , ? sin? )? d ? d?
D

o

?

D

? ? ? (? )

?

? ? d?
?

?

?0

? (? )

f ( ? cos? , ? sin? ) ? d ? .

(3) 极点在积分区域内,积分区域为D:

0 ? ρ ? φ(θ ), 0 ? θ ? 2π

? ? ? (? )
D

?? f ( ? cos? , ? sin? )? d ? d?
D

??



0

φ(θ ) d? ? f ( ? cos ? , ? sin ? ) ? d? 0

o

若 f ≡1 则可求得D 的面积

1 2π 2 ? ? ?? d ? ? ? φ (θ ) dθ . 0 2 D

(4) 其他情形

D ? D1 ? D2 ? D3 ,

D3 D1

D D2

?? f ( ? cos? , ? sin ? )? d ? d?
D

O

A

? ?? f ( ? cos ? , ? sin ? ) ? d ? d?
D1

? ?? f ( ? cos ? , ? sin ? ) ? d ? d?
D2

? ?? f ( ? cos ? , ? sin ? ) ? d ? d?
D3

例1 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:

?0 d x ?0

1

x2

f ( x, y ) d y.

解 在极坐标下直线 x ? 1变为

(1,1) y
y ? x2

? cos ? ? 1,
即 ? ? sec? ,
y ? x 变为 ? sin ? ? ( ? cos ? ) ,
2 2

O

D

1

x

即 ? ? tan? sec? .

作从极点出发穿过区域的射线, y

因此

(1,1)

? ? tan? sec?

π D: 0?θ? , 4 tan θ sec θ ? ρ ? sec θ ,
原式=

o

D

? ? sec?
x

1

?

π sec θ 4 dθ 0 tan θ sec θ

?

ρf ( ρ cos θ , ρ sin θ ) d ρ.

例2 计算I ? ?? x( y ? 1) d x d y ,
D

其中D:x 2 ? y 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? 2 x .
解 D关于x轴( y ? 0)对称.
I ? ?? x( y ? 1) d x d y
D

y
x2 ? y2 ? 1

x2 ? y2 ? 2 x

关于y 是奇函数 ? ?? xy d x d y ? ?? x d x d y
D D

D1

O

1

2

x

? 0 ? 2?? x d x d y
D1

关于y 是偶函数

在极坐标系下,

x2 ? y2 ? 1 x ? y ? 2x
2 2

? ?1

y
x2 ? y2 ? 1 x2 ? y2 ? 2 x
π 3

? 2?? 22 cos ? ? ? cos
O
1 2

1 ? ρ ? 1, 由 ? 得 cos θ ? , 2 ? ρ ? 2 cos θ
π 知两圆的交点对应的 θ ? . 3

D1 x

y
作从极点出发穿过区域的射线,
? ?1
? ? 2 cos ?
π 3

因此

π D1 : 0 ? θ ? , 1 ? ρ ? 2 cos θ, 3
I ? 2 ?? x d x d y? 2 ?
D1

O

1

2

D1 x

π 3 cos θ d θ 0

2 cos ? 2 ρ dρ ?
1

3 2π ? ? . 4 3

注: 本例若求两圆公共区域 上的二重积分, y 则应分块计算:
I ? 2 ?? x d x d y
?
x ? y ?1
2 2

x2 ? y2 ? 2 x
π 3

D1 π 1 2 2( 3 cos ? d? ? d ? 0 0

D1
1 2

O

x

?

?

??

π 2 cos? 2cos ? d? π 0 3

?

?2d?)

何时使用极坐标计算二重积分?

D

f ( x , y)

中心或边界g ( x 2 ? y2 ) 过原点的圆 域、圆环域、 y 扇形域等等

g( ) x 扇形域、环

例3
2

计算
2

2 2 其中 D 为由圆 ( x ? y )d x d y , ?? D

x ? y ? 2 y , x ? y ? 4 y 及直线 x ? 3 y ? 0,

2

2

y ? 3 x ? 0 所围成的平面闭区域.


x 2 ? y 2 ? 2 y ? ? ? 2 sin ? x ? y ? 4 y ? ρ ? 4 sin θ π y ? 3x ? 0 ? θ ? 3 π x ? 3y ? 0 ? θ ? 6
2 2

y 4

2

D
x

O

?? ( x
D

2

? y )d σ

2

y 4

??

π 3 dθ π 6

4 sin ? 2 ρ ? ? ρdρ 2 sin ?

π θ? 3

2 ? ? 2 sin ?
O

? ? 4 sin ?

D

π ? 15( ? 3 ). 2

π θ? 6

x

例4

求球体
x ? y ? 2ax
2 2

被圆柱面

所截得的含在柱面内的立体的体积. 解 立体关于xOy面和xOz面对称.

立体位于第一卦限的部分在xOy面上的投影D为 π z D : 0 ? ρ ? 2a cos θ ,0 ? θ ? , 2

V ? 4?? 4a 2 ? x 2 ? y 2 d x d y
D

D π 2a cos θ ? 4 2 dθ 4a 2 ? 0 0 π 32 3 2 ? a (1 ? sin 3 θ )dθ 0 3

? 4?? 4a ? ? ? d ? d?
2 2

o
2a

D

y

?

?

ρ2 ρ d ρ

x

?

32 3 π 2 ? a ( ? ). 3 2 3

例5
分析


求广义积分 ?

?? ? x2 e 0

d x.
dx
R

?

?? ? x2 e 0

dx ?

R ? x2 lim e R? ?? 0

y
S

?

I ? (?
0

则 I ? (? e

R ? x2 e 0 R ? x2

d x) ,
R ? y2 e 0

2

d x) ? (?

O
d y)
R R ? x2 e 0

R

x

??

R ? x2 R ? y2 e ( e 0 0

?

d y ) d x ? ?0 ( ?
y ? ?? e
S

?e

? y2

d y)d x

? ? d x?
0

R

R ?( x 2 ? y 2 ) e d 0

?( x 2 ? y 2 )

d xd y

解 S ? {( x , y ) | 0 ? x ? R,0 ? y ? R},
D1 ? {( x , y) | x 2 ? y 2 ? R 2 , x ? 0, y ? 0}

D2 ? {( x , y) | x 2 ? y 2 ? 2 R 2 , x ? 0, y ? 0}



D1 ? S ? D2 .

y

? e
?

? x2 ? y2

? 0,
d xd y
? x2 ? y2

R

D2

? ?? e
S

D1 ? x2 ? y2

?? e

? x2 ? y2

D1

S S
R 2R

d x d y? ?? e
D2

O
d x d y.

x

又? I ?

?? e
S

? x2 ? y2

d xd y

??

R ? x2 R ? y2 e dx e d 0 0

?

y ? (?

R ? x2 2 e d x) ; 0

I1 ? ?? e

? x2 ? y2

y

d xd y
R

π ? R2 D1 ? ( 1 ? e ); ?0 ?0 4 O 2 π ? x2 ? y2 ? 2 R d x d y ? (1 ? e 同理 I 2 ? ?? e ); 4 D
2

D1 π R ? ρ2 2 ? d θ e ρd ρ

D2

S S
R 2R

x

? I1 ? I ? I 2 ,
R ? x2 π π ? R2 2 ? 2 R2 ? (1 ? e ) ? (? e d x ) ? (1 ? e ); 0 4 4

? π 当 R ? ?? 时, I1 ? , I 2 ? , 4 4 ?? ? x2 ? 2 ? 故当 R ? ?? 时, I ? , 即 ( ? e d x) ? , 0 4 4
所求广义积分

?

?? ? x2 e 0

? . dx ? 2

★ 三、二重积分的换元法 定理 设 f ( x , y ) 在闭域 D上连续, 变换:

v
D?

? x ? x ( u, v ) ( u, v ) ? D? ? D T :? o? ? y ? y ( u, v ) 满足 (1) x( u, v ) , y( u, v ) 在 D?上一阶导数连续;

T

u

D ?( x, y) J ( u, v ) ? ? 0; ? ( u, v ) o x 定积分换元法 T : D? ??D是一一对应的 , 则 (3) 变换 b ? f ( x ) d x ? ? f [? (t )]? ?(t ) d t ( x ? ? (t ) )
a

( 2) 在 D?上 雅可比行列式

y

?

?? f ( x, y ) d x d y ? ?? f ( x(u, v ), y(u, v )) J (u, v ) d u d v.
D D?

证 根据定理条件可知变换 T 可逆.

在 uO?v坐标面上, 用平行于坐标轴的 v
直线分割区域 D?, 任取其中一个小矩v ? k
v
? M4 ? M1

D?

? M3

形, 其顶点为

o?
? ( u ? h, v ), M2

? M2

? ( u, v ) , M1

u u?h u

? ( u ? h, v ? k ) , M 4 ? ( u, v ? k ). M3

v?k 形, 其对应顶点为M i ( xi , yi ) ( i ? 1, 2, 3, 4) v M ?D?M ? 1 2

通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边

v
? M4 ? M3

令 ρ ? h2 ? k 2 , 则

o?

u u?h u

x2 ? x1? x( u ? h, v ) ? x( u, v )
?x ? h ? o( ρ), ? u ( u, v )

T
y
M4

D

M3 M2

x4 ? x1 ? x( u, v ? k ) ? x( u, v )
?x ? k ? o( ρ). ? v ( u, v )

M1

o

x

同理得 y2 ? y1 ? ? y h ? o( ρ), ? u ( u, v )

?y y4 ? y1 ? k ? o( ρ). ? v ( u, v )
当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似
于平行四 边形, 故其面积近似为

?σ ? M1 M 2 ? M1 M 4 ?

x2 ? x1 x4 ? x1

y2 ? y1 y4 ? y1

?

?x h ?u ?x h ?v

?y k ?u ?y k ?v

?

?x ?u ?y ?u

?x ?v ?y ?v

hk? J ( u, v ) hk

因此面积元素的关系为 d σ ? J ( u, v ) d u d v , 从而得二重积分的换元公式:

?? f ( x, y ) d x d y
D

? ?? f ( x( u, v ), y( u, v )) J ( u, v ) d u d v .
D?

例如, 直角坐标转化为极坐标时,

x ? ρ cos θ , y ? ρ sin θ
?( x, y) cos θ J? ? ? ( ρ, θ ) sin θ 从而

? ρ sin θ ? ρ, ? ρ cos θ

?? f ( x, y ) d x d y
D

? ?? f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ d θ .
D

例6 求由直线 x ? y ? c, x ? y ? d , y ? ax ,

y ? bx , (0 ? c ? d , 0 ? a ? b)
所围成的闭区域 D 的面积.

y d c

y ? bx
D

y 解 令 u ? x ? y, v ? , 则 x u uv x? ,y? 1? v 1? v 从而 ?c ? u ? d D ? D? : ? ?a ? v ? b

o
b

c v
D?

y ? ax x? y?d d x x? y?c

a o c
d

u

?( x , y ) u J? ? ? 0, 2 ?( u, v ) (1 ? v )
区域面积为

( u, v ) ? D?.

u A ? d x d y ? ?? d ud v 2 (1 ? v ) D? D

??

d 1 ?? d v? ud u 2 a (1 ? v ) c b

(b ? a )( d ? c ) ? . 2(1 ? a )(1 ? b )

2

2

例7 计算由 y 2 ? px , y 2 ? qx , x 2 ? ay, x 2 ? by
(0 ? p ? q, 0 ? a ? b) 所围成的闭区域 D 的面积 S .
y x ,v ? ,则 解 令u ? x y ?p? u? q D? : ? D ?a ? v ? b
x2 ? by
2 2

y

y 2 ? qx x2 ? a y

D y 2 ? px

o

x

b D? a u o p q

v

?( x , y ) 1 1 J? ?? , ? ?( u, v ) ? ( u, v ) 3 ?( x , y )

? S ? ?? d x d y ? ?? J d u d v
D D?

b 1 q ? ? d u? d v a 3 p

1 ? (q ? p)( b ? a ). 3

例8 试计算椭球体 解

的体积V.

x y 取 D : 2 ? 2 ? 1 , 由对称性 a b
? 2 c ?? 1 ?
D x2 a2

2

2

?

y2 b

2d

x d y.

令 x ? a ρ cos θ , y ? b ρ sin θ , 广义极坐标变换

则D 的原象为 D? : ρ ? 1 , 0 ? θ ? 2π.

a cos θ ? a ρ sin θ ?( x , y ) J? ? ? ab ρ ?( ρ, θ ) b sin θ b ρ cos θ

? V ? 2 c ??
D

a b ρ d ρ d θ 1? ρ
2
2π 0

? 2 abc ?

d θ?

1

0

1 ? ρ ρd ρ

2

4 ? π abc . 3

内容小结
(1) 极坐标系情形下二重积分化为累次积分的方法

若积分区域为



?? f ( x , y ) d σ
D D

D

? ? ? 2 (? )
? ? ?1 (? )

? ?? f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ d θ

o

?

?

(2) 一般换元公式

? x ? x ( u, v ) 下 在变换 ? ? y ? y ( u, v )

( x, y) ? D


?( x, y) ?0 且J? ? ( u, v )

?? f ( x, y ) d x d y
D

? ?? f ( x( u, v ), y( u, v )) J ( u, v ) d u d v .
D?

(3) 计算二重积分的步骤及注意事项
? 画出积分域 ? 选择坐标系 积分域分块要少 ? 确定积分序 ? 写出积分限 累次积分好算为妙 图示法 不等式

? 计算累次积分(注意利用对称性)

思考题
交换积分顺序
提示 积分域如图

? ? a cos?

o

?
?
a

? ? arccos

?
a

a
arccos a
ρ

x

I ? ? d ρ? f ( ρ , θ ) d θ ρ 0 ? arccos a

备用题
例2-1

求位于 心脏线? ? a(1 ? cos? )内, 圆? ? a外

的平面图形的面积 .
解 设平面图形占有区域 D, D1

y
? ? a(1 ? cos ? )

则D关于x轴( y ? 0)对称.
I?
D D1 a (1? cos? )

? ?a

2a

?? d x d y ? 2?? d x d y
π π d? a 2

O

a x

? 2?

?

?d?

? 2?

π a (1? cos? ) ?d? π d? a 2

?

? 2? ?

π1 2 2 a [( 1 ? cos ? ) π 2 2

? 1]d?

2 π 1 a π [ (1 ? cos 2? ) ? 2 cos ? ]d? 2 2

?

π?8 2 ? a . 4

例3-1 计算?? ln(1 ?
D

x 2 ? y 2 ) d x d y,

2 2 {( x , y ) 1 ? x ? y ? 4, x ? 0, y ? 0}. 其中D为域



π D : 1 ? ρ ? 2, 0 ? θ ? , 2
2 2 ln( 1 ? x ? y )d x d y ?? D

y
ρ?1

θ

ρ?2

?

?

π 2 2 dθ ln(1 ? 0 1

o
π 1 ρ)ρ d ρ ? (ln 27 ? ). 4 2

x

?

例7-1 计算?? e
D

y? x y? x

dxdy , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线

x ? y ? 2 所围成的闭域.
解 令 u ? y ? x , v ? y ? x, 则

y

x? y ?2

v?u v?u ( D? ? D) x? , y? 2 2
?( x, y) ? 1 2 J? ? 1 ? ( u, v ) 2
1 2 1 2

o

D

x

?1 ? , 2

v v?2 D? u ? ?v u?v o u

因此

e

y? x y? x

d x d y ? ??
D?

u 1 d ud v ev ? 2

? e?e .

?1

例8-1 求由曲面z ? 8 ? x 2 ? y 2和z ? x 2 ? 3 y 2

所围成的立体的体积.
解 这是一个有曲顶、曲底的柱体, z
z ? 8 ? x2 ? y2

立体在xOy面上的投影域为
x 2 ? 2 y 2 ? 4.

z ? x2 ? 3 y2

利用广义极坐标变换
? x ? 2 ρ cos θ ? ? y ? 2 ρ sin θ

O

y

x ( 0 ? ρ ? 1),

( 0 ? θ ? 2 π ),

可得所求体积为

V ? ?? (8 ? x 2 ? y 2 ? x 2 ? 3 y 2 ) d σ
D

z
z ? 8 ? x2 ? y2

? ?? (8 ? 2 x 2 ? 4 y 2 ) d σ
x y ? 8?? (1 ? ? ) d σ 4 2
D

D

2

2

z ? x2 ? 3 y2

O

y

x

? 8?



0

d θ ? 2 2 ρ(1 ? ρ2 ) d ρ
0

1

? 8 2π.


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