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辽宁省大连二十中2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试卷


2014-2015 学年度下学期期末考试 高一数学(理科)试卷
考试时间:120 分钟 试题分数:150 分 卷Ⅰ
一、选择题: 本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知 sin ? ? 0, cos ? ? 0 ,则 ? 的终边落在 (A)第一象限

命题人:李飞

? ? ? ? 2. 已知向量 a ? (1,2), b ? (?2,1) ,则 a ? 2b ?
(A) (0,5) (B) (5,?1)

(B) 第二象限

(C) 第三象限

(D)第四象限

(C) (?1,3)

(D) (?3,4)

3. 已知等差数列 ?a n ? 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a 4 成等比数列, 则 a2 ? (A) ?4 4 已知 sin ? ? (B) ?6 (C) ?8 (D) ?10

1 3? ,则 cos(? ? )? 3 2
(B) ?

(A)

2 2 3

2 2 3

(C)

1 3

(D) ?

1 3

5. tan105 ? (A) ?2 ? 3 (B) ?1 ? 3

(C)

?3 ? 3 3

(D) ?2 ? 3

6.若等比数列前 n 项和为 S n ,且满足 S 9 ? S 6 ? S 3 ,则公比 q 等于 (A) 1 (B) ? 1 (C) ? 1 (D) 不存在 则B= 3,A ? 30 o , (D) 30 o 或 150 o

7.在 ?ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c ,且 a ? 1, b ? (A) 60 o 或 120 o (B) 60 o (C) 120 o

8.已知点 (?3,?1) 和 (4,?6) 在直线 3 x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则实数 a 的取值范围为 (A) (?24,7) (B) (??,?7) ? (24,??)

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(C) (?7,24)

(D) (??,?24) ? (7,??)

9. 在等差数列 ?a n ? 前 n 项和为 S n ,若 S 4 ? 1, S 8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a 20 的值为 (A) 9 (B) 12 (C) 16 (D) 17

10. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c , A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积 为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是 (A) 39

(B)

39 3

(C)

39 6

(D)

2 39 3
11. 已知 ? ? (0, (A) 4 2
2

?
2

) ,则

1 2 的最小值为 ? 2 sin ? cos 2 ?
(C) 3 ? 2 2 (D)

(B) 6

20 3

12. 关于 x 的方程 x ? (a ? 2b) x ? 3a ? b ? 1 ? 0 的两个实根分别在区间 (?1, 0) 和 (0,1) 上,则 a ? b 的取值范围为 (A) (? , )

3 1 5 5

(B) ( ?

2 1 , ) 5 5

(C) (? , ? )

3 5

2 5

(D) (? , )

1 1 5 5

卷Ⅱ
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知非零向量 a , b 满足| a ? b |=| a ? b |,则< a , b >=

? ?

?

?

?

?

? ?



14. 在 ?ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? ________

.

? n 15. 已 知 数 列 ?a n ? 前 n 项 的 和 为 2 ? 1 (n ? N ) , 则 数 列 an 2 前 n 项 的 和 为

? ?

_____

.

16. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, a n ?1 ? a n ? n ( n ? N? ) ,则

an 取最小值时 n ? n

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)关于 x 的不等式 (m ? 3) x ? (m ? 3) x ? 1 ? 0 的解集为 R ,求实数 m 的取值范围;
2

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(Ⅱ) 关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 4 ? 0 的解集为 {x | x ? b} ,求 a, b 的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知 ? ? (0, ? ), sin ? ? cos ? ? (Ⅰ) 求 sin ? ? cos ? 的值; (Ⅱ) 求 sin( 2? ?

1 . 5

?

3

) 的值.

19.(本小题满分 12 分) 某厂生产甲产品每吨需用原料 A 和原料 B 分别为 2 吨和 3 吨, 生产乙产品每吨需用原料 A 和原料 B 分别为 2 吨和 1 吨.甲、乙产品每吨可获利润分别为 3 千元和 2 千元.现有 12 吨 原料 A,8 吨原料 B.问计划生产甲产品和乙产品各多少吨才能使利润总额达到最大.

20. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中,?BAC ? 120 , AB ? 2, AC ? 1 . AD 是
?

?BAC 的角平分线,交 BC 于 D . (Ⅰ)求 BD : DC 的值;
(Ⅱ)求 AD 的长.

A B C

D

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21. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N ? ) , a1 ? 2 . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {na n } 的前 n 项和 S n (n ? N ) .
?

22. (本小题满分 12 分) 已 知 向 量 a , b 满 足 a ? (?2 sin x, 3 (cos x ? sin x)) , b ? (cos x, cos x ? sin x) , 函 数

? ?

?

?

? ? f ( x) ? a ? b ( x ? R) .
(Ⅰ)求 f ( x) 在 x ? [?

?
2

,0] 时的值域; n? 11? ? )(n ? N *) ,求 {an } 的前 2n 项和 S 2 n . 2 24

(Ⅱ)已知数列 an ? n 2 f (

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2014-2015 学年度下学期期末考试 高一数学(理科)参考答案
一.选择题 二.填空题 三.解答题 17. (Ⅰ)关于 x 的不等式 (m ? 3) x ? (m ? 3) x ? 1 ? 0 的解集为 R ,
2

BDBCA

CACAD

CA

90

120 0

4n ? 1 3

8

所以(1) ?

?m ? 3 ? 0 解得 ?7 ? m ? ?3 , (2) m ? ?3 时符合题意. ? ??0
2 2

所以 ?7 ? m ? ?3 …………………………………5 分 (Ⅱ) 关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 4 ? 0 的解集为 {x | x ? b} ,所以 x ? ax ? 4 ? ( x ? 2) , 所以 a ? 4, b ? ?2 ,或 a ? ?4, b ? 2 …………………………………10 分 18.解: (Ⅰ) ? ? (0, ? ), (sin ? ? cos ? ) 2 ? 2分

1 24 , 所以 2sin ? cos ? ? ? , ………………… 25 25

49 7 ,所以 sin ? ? cos ? ? .…………………6 分 2 25 5 24 7 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 sin 2? ? ? , cos 2? ? ? …………………………………9 分 25 25
所以 ? ? (

?

, ? ) ,所以 (sin ? ? cos ? ) 2 ?

所以 sin(2? ?

?
3

)??

12 7 3 …………………………………12 分 ? 25 50

y

19.解:计划生产甲产品和乙产品分别为 x, y 吨,

?x ? N , y ? N ? 则 x, y 满 足 的 约 束 条 件 为 为 ? 2 x ? 2 y ? 12 , 总 利 润 ? 3x ? y ? 8 ?
z ? 3 x ? 2 y .…………………………………4 分
约束条件如图所示,…………………………………8 分

A

O

x

恰好在点 A(1,5) 处 z ? 3 x ? 2 y 取得最大值,即计划生产甲产品和乙产品分别为 1 吨和 5 吨 能使得总利润最大. …………………………………12 分

AB BD AC CD , 在 ?ACD 中, ? ? sin ?ADB sin ?BAD sin ?ADC sin ?CAD 因为 AD 是 ?BAC 的角平分线, 所以 BD : DC ? AB : AC ? 2 :1 ……………………………6
20.解: (Ⅰ)在 ?ABD 中, 分
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1 2 AB ? AC ,………………………………9 分 3 3 1 2 4 4 4 1 4 2 所以 ( AD) 2 ? ( AB ? AC ) 2 ? ? ? ? 2 ? 1? (? ) ? ,所以 AD ? .…………12 3 3 9 9 9 2 9 3
(Ⅱ)法一:由题知 AD ? 分 法二: S ?ABC ? 所以 AD ?

1 3 3 1 3 ? 2 ? 1? ? ? S ?ABD ? S ?ACD ? ? ? AD ? (2 ? 1) 2 2 2 2 2
其它方法略.

2 .…………………………………12 分 3

21.解:(Ⅰ) a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N ? ) 可得 an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1)(n ? N ? ) ,又 a1 ? 1 ? 1 ,所以 数列 {a n ? 1} 为公比为 2 的等比数列,………………………………… 2 分 所以 an ? 1 ? 2n ?1 ,即 an ? 2n ?1 ? 1 (n ? N ) …………………………………4 分 (Ⅱ) nan ? n 2n ?1 ? n , 设 Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ??? ? ( n ? 1) ? 2 n ? 2 ? n ? 2 n ?1 则 2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? ( n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2 n 所 以
1

?

Tn ? ?1 ?

( ? 2 ?2 ??? 2 ?

n?

?

2? n

2 ? n ?1 2 ? nn?)2n ?

n 2 ? ? n 1? ? ( 2

n …………… ? 1 ) 10 2分

1

n(n ? 1) ? 1 (n ? N ? ) …………………………………12 分 2 2? 22 解(Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3 ? 2? ? 2? 2? 当 x ? [? ,0] 时, 2 x ? ? [? , ] ,所以 2 sin( 2 x ? ) ? [? 3 ,2] 2 3 3 2 3
所以 S n ? (n ? 1)2n ? ………………………………………………………4 分 (Ⅱ) a n ? n 2 f ( 所以 S 2 n ?
2

n? 11? ? ? ) ? 2n 2 sin( n? ? ) ……………………………………6 分 2 24 4

2[12 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 ? (2n) 2 ] ………………………………8 分
2

又 (2n ? 1) ? (2n) ? ?4n ? 1 …10 分,所以 S 2 n ? 12 分

2?

(?3 ? 4n ? 1)n ? 2 (?2n 2 ? n) 2

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