高二数学选修2—1圆锥曲线单元测试

圆锥曲线单元测试（理科） 高二数学选修 2—1 圆锥曲线单元测试（理科） （90 分钟完卷，总分 100 分） 选择题： （本大题共 小题， 一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） （ 2 2 x y 1.对于椭圆 C1： 2 + 2 = 1 ( a>b>0)焦点为顶点，以椭圆 C1 的顶点为焦点的双曲 a b 线 C2，下列结论中错误的是（ ） 2 2 x y ? 2 =1 A. C2 的方程为 2 B. C1、C2 的离心率的和是 1 2 a ?b b C. C1、C2 的离心率的积是 1 D.短轴长等于虚轴长 y2 x2 2、双曲线 ? = 1 的渐近线方程是( 3 4
座号

)
3 C. y = ± x 4 4 D. y = ± x 3

A. y = ±

3 x 2

B. y = ±

2 3 x 3

1 3、抛物线 y = ? x 2 的准线方程是( 8 1 B. y = 2 A. x = 32
姓名

). C. y =
1 32

D. y = ?2

4、已知 | AB |= 4 ，点 P 在 A、B 所在的平面内运动且保持 | PA | + | PB |= 6 ，则 | PA| 的 最大值和最小值分别是
A． 5 、 3 ( ) C ．5 、1 D． 6 、 4

B．10、2

5、抛物线 y 2 = 12 x 上与焦点的距离等于 8 的点的横坐标是（
班别

）

A、2

B、3

C、4

D、5

6、若双曲线与 x 2 + 4 y 2 = 64 有相同的焦点，它的一条渐近线方程是 x + 3 y = 0 ， 则双曲线的方程是(
x2 y2 A. ? =1 36 12

)
x2 y2 C. ? = ±1 36 12 y2 x2 D. ? = ±1 36 12

y2 x2 B. ? =1 36 12

7.若双曲线的两条渐进线的夹角为 60 0 ，则该双曲线的离心率为 6 6 2 3 C.2 或 D.2 或 A.2 B. 3 3 3 2 2 8、与圆 x +y -4y=0 外切, 又与 x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ). 2 2 A. y =8x B. y =8x (x>0) 和 y=0 2 C. x =8y (y>0) D. x2=8y (y>0) 和 x=0 (y<0) x2 x2 9、若椭圆 + y 2 = 1 (m > 1) 与双曲线 ? y 2 = 1 (n > 0) 有相同的焦点 F1、F2，P m n 是两曲线的一个交点，则 ?F1 PF2 的面积是（ ） A.4 B.2 C.1 D.
1 2

10、已知椭圆 x 2 +

y2 = a 2 (a > 0) 与 A（2，1） ，B（4，3）为端点的线段没有公共 2 ） B. 0 < a <
3 2 82 或a > 2 2

点，则 a 的取值范围是（ A. 0 < a <
3 2 2
1 3

C. 0 < a <

D.

3 2 82 <a< 2 2

选择题： （4 一、 选择题： 4 分×10=40 分） （ 题号 1 2 3 4 答案

5

6

7

8

9

10

（4 二、填空题： 4 分×4=16 分） 填空题： （ x2 y 2 11. 与椭圆 + = 1 具有相同的离心率且过点（2，- 3 ）的椭圆的标准方程 4 3 是 。 12.双曲线的实轴长为 2a，F1, F2 是它的左、右两个焦点，左支上的弦 AB 经过点 F1，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，则|AB|＝ .
13. 设 F1 、 F2 是双曲线 x 2 ? y 2 = 4 的两焦点， Q 是双曲线上任意一点，从 F1 引 ∠F1QF2 平分线的垂线，垂足为 P，则点 P 的轨迹方程是

。

14．若方程

x2 y2 + = 1 所表示的曲线为 C，给出下列四个命题： 4 ? t t ?1

①若 C 为椭圆，则 1<t<4; ③曲线 C 不可能是圆；

②若 C 为双曲线，则 t>4 或 t<1； ④若 C 表是椭圆， 且长轴在 x 轴上， 1 < t < 则
3 . 2 （把所有正确命题的序号都填在横线

其中真命题的序号为 上） 解答题： （本大题共 小题， 解答应写出文字说明、 三 、解答题： 本大题共 4 小题，共 44 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 （ 算步骤） 算步骤） 15. （本题 10 分）中心在原点，焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦 点 F1,F2,且 F1 F2 = 2 13 ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为 4， 离心率之比为 3：7。求这两条曲线的方程。

16.（本小题 10 分）设双曲线：

y2 x2 ? = 1 的焦点为 F1,F2.离心率为 2。 3 a2

（1）求此双曲线渐近线 L1,L2 的方程； （2）若 A,B 分别为 L1,L2 上的动点，且 2 AB = 5 F1 F2 ,求线段 AB 中点 M 的轨迹 方程，并说明轨迹是什么曲线。

17. （本小题 10 分）抛物线 y 2 = 4 x 上有两个定点 A、B 分别在对称轴的上下两侧， F 为抛物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5，在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P，使 △PAB 的面积最大，并求这个最大面积.

18. （本小题 14 分）如图：直线 L： y = mx + 1 与椭圆 C： ax 2 + y 2 = 2(a > 0) 交于
A、B 两点，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB。

（1） 求证：椭圆 C： ax 2 + y 2 = 2(a > 0) 与直线 L： y = mx + 1 总有两个交点。 （2） 当 a = 2 时，求点 P 的轨迹方程。 （3）是否存在直线 L，使 OAPB 为矩形？若存在，求出此时直线 L 的方程；若不 存在，说明理由。

高二数学选修 2—1 圆锥曲线单元测试参考答案： 圆锥曲线单元测试参考答案： 1---10 BABCD 11、 、 ADDCB

x2 y 2 y2 x2 + = 1或 + =1 25 25 8 6 3 4

12、4a 13、 x 2 + y 2 = 4 14、 （2）
2 x2 y x2 y2 解： 双曲线得方程为 2 ? 2 = 1 ， 半焦距 c＝ 13 15、 设椭圆的方程为 2 + 2 = 1 ， a1 b1 a 2 b2

由已知得：a1－a2＝4
c c : = 3 : 7 ，解得：a1＝7，a2＝3 a1 a 2

所以：b12＝36，b22＝4，所以两条曲线的方程分别为：
x2 y2 x2 y2 + =1 ， ? =1 49 36 9 4

16、解： （1）由已知双曲线的离心率为 2 得：

a2 + 3 = 2 解得 a2=1,所以双曲线 a

的方程为
y2 ? x2 x x = 1 ，所以渐近线 L1,L2 的方程为 y ? = 0和 y + ＝0 3 3 3

（2） 2＝a2＋b2＝4， c＝2 ， c 得 所以 F1 F2 = 2c = 4 ， 2 AB = 5 F1 F2 所以 AB =10 又 设 A 在 L1 上，B 在 L2 上，设 A（x1 ，
x1 3 ) ，B(x2，－ x2 3 )

所以 ( x1 ? x 2 ) 2 + (

x1 3

+

x2

1 ) 2 = 10 即 ( x1 ? x 2 ) 2 + ( x1 + x 2 ) 2 = 10 3 3
x1 + x 2 x ? x2 ，y＝ 1 2 2 3

设 AB 的中点 M 的坐标为（x，y） ，则 x＝ 所以 x1＋x2＝2x ， x1－x2＝2 3 y

1 x2 3y 2 所以 (2 3 y ) 2 + × 4 x 2 = 10 整理得： + =1 3 75 25
所以线段 AB 中点 M 的轨迹方程为： x2 3y 2 + = 1 ，轨迹是椭圆。 75 25

17、解：由已知得 F (1,0) ，不妨设点 A 在 x 轴上方且坐标为 ( x1 , y1 ) ， 由 FA = 2 得 x1 + 1 = 2, x1 = 1 所以 A(1，2)，同理 B(4,-4), 所以直线 AB 的方程为 2 x + y ? 4 = 0 .

设在抛物线 AOB 这段曲线上任一点 P ( x0 , y 0 ) ，且 1 ≤ x0 ≤ 4,?4 ≤ y 0 ≤ 2 .

则点 P 到直线 AB 的距离 d=

2 x0 + y 0 ? 4 1+ 4

2× =

2 y0 + y0 ? 4 4

5

1 9 ( y 0 + 1) 2 ? 2 2 = 5

所以当 y 0 = ?1 时，d 取最大值

9 5 ，又 AB = 3 5 10 1 9 5 ×3 5 × = 27, 2 10
此时 P 点坐标为 ( ,?1) .

所以△PAB 的面积最大值为 S =

1 4