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高二数学选修2—1圆锥曲线单元测试

圆锥曲线单元测试(理科) 高二数学选修 2—1 圆锥曲线单元测试(理科) (90 分钟完卷,总分 100 分) 选择题: (本大题共 小题, 一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) ( 2 2 x y 1.对于椭圆 C1: 2 + 2 = 1 ( a>b>0)焦点为顶点,以椭圆 C1 的顶点为焦点的双曲 a b 线 C2,下列结论中错误的是( ) 2 2 x y ? 2 =1 A. C2 的方程为 2 B. C1、C2 的离心率的和是 1 2 a ?b b C. C1、C2 的离心率的积是 1 D.短轴长等于虚轴长 y2 x2 2、双曲线 ? = 1 的渐近线方程是( 3 4
座号

)
3 C. y = ± x 4 4 D. y = ± x 3

A. y = ±

3 x 2

B. y = ±

2 3 x 3

1 3、抛物线 y = ? x 2 的准线方程是( 8 1 B. y = 2 A. x = 32
姓名

). C. y =
1 32

D. y = ?2

4、已知 | AB |= 4 ,点 P 在 A、B 所在的平面内运动且保持 | PA | + | PB |= 6 ,则 | PA| 的 最大值和最小值分别是
A. 5 、 3 ( ) C .5 、1 D. 6 、 4

B.10、2

5、抛物线 y 2 = 12 x 上与焦点的距离等于 8 的点的横坐标是(
班别



A、2

B、3

C、4

D、5

6、若双曲线与 x 2 + 4 y 2 = 64 有相同的焦点,它的一条渐近线方程是 x + 3 y = 0 , 则双曲线的方程是(
x2 y2 A. ? =1 36 12

)
x2 y2 C. ? = ±1 36 12 y2 x2 D. ? = ±1 36 12

y2 x2 B. ? =1 36 12

7.若双曲线的两条渐进线的夹角为 60 0 ,则该双曲线的离心率为 6 6 2 3 C.2 或 D.2 或 A.2 B. 3 3 3 2 2 8、与圆 x +y -4y=0 外切, 又与 x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ). 2 2 A. y =8x B. y =8x (x>0) 和 y=0 2 C. x =8y (y>0) D. x2=8y (y>0) 和 x=0 (y<0) x2 x2 9、若椭圆 + y 2 = 1 (m > 1) 与双曲线 ? y 2 = 1 (n > 0) 有相同的焦点 F1、F2,P m n 是两曲线的一个交点,则 ?F1 PF2 的面积是( ) A.4 B.2 C.1 D.
1 2

10、已知椭圆 x 2 +

y2 = a 2 (a > 0) 与 A(2,1) ,B(4,3)为端点的线段没有公共 2 ) B. 0 < a <
3 2 82 或a > 2 2

点,则 a 的取值范围是( A. 0 < a <
3 2 2
1 3

C. 0 < a <

D.

3 2 82 <a< 2 2

选择题: (4 一、 选择题: 4 分×10=40 分) ( 题号 1 2 3 4 答案

5

6

7

8

9

10

(4 二、填空题: 4 分×4=16 分) 填空题: ( x2 y 2 11. 与椭圆 + = 1 具有相同的离心率且过点(2,- 3 )的椭圆的标准方程 4 3 是 。 12.双曲线的实轴长为 2a,F1, F2 是它的左、右两个焦点,左支上的弦 AB 经过点 F1,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,则|AB|= .
13. 设 F1 、 F2 是双曲线 x 2 ? y 2 = 4 的两焦点, Q 是双曲线上任意一点,从 F1 引 ∠F1QF2 平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹方程是



14.若方程

x2 y2 + = 1 所表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 4 ? t t ?1

①若 C 为椭圆,则 1<t<4; ③曲线 C 不可能是圆;

②若 C 为双曲线,则 t>4 或 t<1; ④若 C 表是椭圆, 且长轴在 x 轴上, 1 < t < 则
3 . 2 (把所有正确命题的序号都填在横线

其中真命题的序号为 上) 解答题: (本大题共 小题, 解答应写出文字说明、 三 、解答题: 本大题共 4 小题,共 44 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 ( 算步骤) 算步骤) 15. (本题 10 分)中心在原点,焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦 点 F1,F2,且 F1 F2 = 2 13 ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为 4, 离心率之比为 3:7。求这两条曲线的方程。

16.(本小题 10 分)设双曲线:

y2 x2 ? = 1 的焦点为 F1,F2.离心率为 2。 3 a2

(1)求此双曲线渐近线 L1,L2 的方程; (2)若 A,B 分别为 L1,L2 上的动点,且 2 AB = 5 F1 F2 ,求线段 AB 中点 M 的轨迹 方程,并说明轨迹是什么曲线。

17. (本小题 10 分)抛物线 y 2 = 4 x 上有两个定点 A、B 分别在对称轴的上下两侧, F 为抛物线的焦点,并且|FA|=2,|FB|=5,在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P,使 △PAB 的面积最大,并求这个最大面积.

18. (本小题 14 分)如图:直线 L: y = mx + 1 与椭圆 C: ax 2 + y 2 = 2(a > 0) 交于
A、B 两点,以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB。

(1) 求证:椭圆 C: ax 2 + y 2 = 2(a > 0) 与直线 L: y = mx + 1 总有两个交点。 (2) 当 a = 2 时,求点 P 的轨迹方程。 (3)是否存在直线 L,使 OAPB 为矩形?若存在,求出此时直线 L 的方程;若不 存在,说明理由。

高二数学选修 2—1 圆锥曲线单元测试参考答案: 圆锥曲线单元测试参考答案: 1---10 BABCD 11、 、 ADDCB

x2 y 2 y2 x2 + = 1或 + =1 25 25 8 6 3 4

12、4a 13、 x 2 + y 2 = 4 14、 (2)
2 x2 y x2 y2 解: 双曲线得方程为 2 ? 2 = 1 , 半焦距 c= 13 15、 设椭圆的方程为 2 + 2 = 1 , a1 b1 a 2 b2

由已知得:a1-a2=4
c c : = 3 : 7 ,解得:a1=7,a2=3 a1 a 2

所以:b12=36,b22=4,所以两条曲线的方程分别为:
x2 y2 x2 y2 + =1 , ? =1 49 36 9 4

16、解: (1)由已知双曲线的离心率为 2 得:

a2 + 3 = 2 解得 a2=1,所以双曲线 a

的方程为
y2 ? x2 x x = 1 ,所以渐近线 L1,L2 的方程为 y ? = 0和 y + =0 3 3 3

(2) 2=a2+b2=4, c=2 , c 得 所以 F1 F2 = 2c = 4 , 2 AB = 5 F1 F2 所以 AB =10 又 设 A 在 L1 上,B 在 L2 上,设 A(x1 ,
x1 3 ) ,B(x2,- x2 3 )

所以 ( x1 ? x 2 ) 2 + (

x1 3

+

x2

1 ) 2 = 10 即 ( x1 ? x 2 ) 2 + ( x1 + x 2 ) 2 = 10 3 3
x1 + x 2 x ? x2 ,y= 1 2 2 3

设 AB 的中点 M 的坐标为(x,y) ,则 x= 所以 x1+x2=2x , x1-x2=2 3 y

1 x2 3y 2 所以 (2 3 y ) 2 + × 4 x 2 = 10 整理得: + =1 3 75 25
所以线段 AB 中点 M 的轨迹方程为: x2 3y 2 + = 1 ,轨迹是椭圆。 75 25

17、解:由已知得 F (1,0) ,不妨设点 A 在 x 轴上方且坐标为 ( x1 , y1 ) , 由 FA = 2 得 x1 + 1 = 2, x1 = 1 所以 A(1,2),同理 B(4,-4), 所以直线 AB 的方程为 2 x + y ? 4 = 0 .

设在抛物线 AOB 这段曲线上任一点 P ( x0 , y 0 ) ,且 1 ≤ x0 ≤ 4,?4 ≤ y 0 ≤ 2 .

则点 P 到直线 AB 的距离 d=

2 x0 + y 0 ? 4 1+ 4

2× =

2 y0 + y0 ? 4 4

5

1 9 ( y 0 + 1) 2 ? 2 2 = 5

所以当 y 0 = ?1 时,d 取最大值

9 5 ,又 AB = 3 5 10 1 9 5 ×3 5 × = 27, 2 10
此时 P 点坐标为 ( ,?1) .

所以△PAB 的面积最大值为 S =

1 4


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