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3.3.1两条直线的交点坐标


3.3.1两条直线的交点坐标

课件制作 广安二中

何 琥

在平面几何中,我们只能对直线作定性 的研究。引入平面直角坐标系后,我们用方 程表示直线,直线的方程就是直线上每一点 的坐标满足的一个关系式,即一个二元一次 方程。这样,我们可以通过方程把握直线上 的点,用代数方法研究直线上的点,对直线 进行定量研究。 上一节,我们在平面直角坐标系中建立了 直线的方程。这一节,我们将通过直线方程, 用代数方法解决直线的有关问题,包括求两条 直线的交点,判断两条直线的位置关系,求两 点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线 间的距离等。

已知两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标?

已知l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

看下表,并填空
几何元素及关系 代数表示 A(a, b) l : Ax ? By ? C ? 0

点A
直线l 点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A

Aa ? Bb ? C ? 0
? A1a ? B1b ? C1 ? 0 ?A a ? B b ? C ? 0 2 2 ? 2

设两直线的方程是:
l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0

如果这两条直线相交,由于交点同时在 这两条直线上,交点的坐标一定是这两方程 的唯一公共解;反过来,如果这两二元一次 方程只有一个公共解,那么以这个解为坐标 的点必是直线l1和l2的交点。
因此,两条直线是否有交点,就要看这两条 直线的方程所组成的方程组: A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 是否有唯一解。

问题:方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系?

二元一次方程组的解有三种不同情 况(唯一解,无解,无穷多解),同时在 直角坐标系中两条直线的位置关系也有 三种情况(相交,平行,重合)。

?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? 直线l1 , l2 ? ?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 解方程组 ? ?l , l ? 无解 ? 1 2平行

例1、求下列各对直线的交点,并画图:

(1)l1:2x+3y=12,l2 :x-2y=4。
解:解方程组

2x+3y=12
x-2y=4。 得 x=36/7 y=4/7 所以交点从标为(36/7 ,4/7)

(36/7 ,4/7)

例1、求下列各对直线的交点,并画图:

(2)l1:x=2,l2 : 3x+2y-12 =0。 解:解方程组 x=2
(2 ,3)

3x+2y-12 =0
得 x=2 y=3 所以交点从标为(2 ,3)

例2:求下列两条直线的交点:
解:解方程组

l1:3x+4y-2=0;l2:2x+y+2=0.
x= -2 得 y=2 ∴l1与l2的交点是M(- 2,2) 3x+4y-2 =0 2x+y+2 = 0

例3:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
解:解方程组 x= 2 x-2y+2=0 得 y=2 2x-y-2=0

∴l1与l2的交点是(2,2) 设经过原点的直线方程为 y=k x 把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为

y= x

例4、判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求 出交点的坐标:
(1)l1:x-y=0, (2)l1:3x-y+4=0, (3)l1:3x+4y-5=0, l2:3x+3y-10=0; l2:6x-2y=0; l2:6x+8y-10=0;

利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系
一般地,已知方程组

A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0

(1)
(2)

当A1,A2,B1,B2全不为零时 (1)×B2-(2)×B1得(A1B2-A2B1)x=B1C2-B2C1 讨论:⒈当A1B2-A2B1≠0时,方程组有唯一解 B1C2-B2C1 x = —————— A1B2-A2B1 C1A2-C2A1 y= —————— A1B2-A2B1

⒉当A1B2-A2B1=0, B1C2-B2C1≠0 时,方程组无解 ⒊当A1B2-A2B1=0, B1C2-B2C1=0 时,方程组有无 穷多解。

上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的 什么位置关系?
A1 B1 时,两条直线相交,交点坐标为 当——≠ —— A2 B2 B1C2-B2C1 C1A2-C2A1 ( , ) A1B2-A2B1 A1B2-A2B1 A1 B1 C1 当 —— = —— ≠ —— 时,两直线平行; A2 B2 C2 A1 B1 C1 当 —— = —— = —— 时,两条直线重合。 A2 B2 C2

例5:求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点, 且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程。
解法一:解方程组 x=3 x +2y-1=0, 得 y = -1 2x-y-7=0 ∴这两条直线的交点坐标为(3,-1) 又∵直线x +3y-5=0的斜率是-1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1= 3(x-3) 即 3x-y-10=0

A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0是过直线A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
解法二:所求直线在直线系2x-y-7+λ(x+2y-1)=0中 经整理,可得(2+λ)x +(2λ-1)y-λ-7=0 2+λ ∴ - ———— =3 解得 λ= 1/7 2λ-1 因此,所求直线方程为3x-y-10=0

练习
1.两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上,则 m的值是 C (A)0 (B)-24 (C)±6 (D)以上都不对 m2 m ? 2 x ? 3 y ? m ? 0与y轴交点为( 0,? ) ? ? ? 12 ? 0 解: 3 3 mb ? 12 ? 0 ? 2 设交点为 (0, b),则有 ? ? ? m ? 36 ? 0 ?3b ? m ? 0 2.当 k 为何值时,直线 y ? kx ? 3过直线 2 x ? y ? 1 ? 0

与 y ? x ? 5 的交点? ?2 x ? y ? 1 ? 0 解:由? 得 ?y ? x ? 5

?x ? 4 ? ?y ? 9

? 9 ? 4k ? 3

3 ?k ? 2

3.若两直线(3-a)x+4y=4+3a与2x+(5-a)y=7平行,则 B 重合 C a的值是 (A)1或7 (B)7 (C)1 (D)以上都错

?(3 ? a)(5 ? a) ? 8 ? 0 解:? ?4 ? 7 ? (4 ? 3a)(5 ? a) ? 0
2 ? ?a ? 8a ? 7 ? 0 即? 2 ? ?3a ? 11a ? 8 ? 0

相交

a ? 1且a ? 7

3?a 4 4 ? 3a ? ? 2 5?a 7

?a ? 1或a ? 7 ? ? 8 a ? 1 且 a ? ? 3 ?

4.已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0, 当m为何值时,直线l1与l2: (1)相交,(2) 平行,(3) 垂直
?3 ? m(m ? 2) ? 0 得 解: 由? 2 ?2m ? 18 ? 0

?m 2 ? 2 m ? 3 ? 0 ? ? m ? ?3 ? (1)m ? ?1且m ? 3 (2)m ? ?1
1 (3)由(m ? 2) ? 3m ? 0得m ? 2

1 m?2 (? )( ? ) ? ?1 m 3

5.若直线kx-y+1=0和x-ky = 0相交,且交点在第二象 A 限,则k的取值范围是 (A)(- 1,0) (B)(0,1] (C)(0,1) (D)(1,+∞)

1 ? ? 1 y? ?0 2 ? 2 ? ?kx ? y ? 1 ? 0 ? 1? k ?1 ? k ? 则? ? 解: ? k k x ? ky ? ? ? x? ?0 2 2 ? ? 1? k ? ?1 ? k 2

?1 ? k ? 0 即? ?k ? 0 ? y ? kx ? 1 ? 1 ? y? x ? k ?

? ?1 ? k ? 0

?

k ? ?1

6.两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0的交点在第四象 限,则k的取值范围是 2 ? 4k ? x ? ? 0 ? y ? kx ? 2 k ? 1 ? 2k ? 1 ? 1 1 由? 得? ( ? ,? ) 解: ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? y ? 6k ? 1 2 6 ? 0 ? 2k ? 1 ?

y ? 1 ? k ( x ? 2)

? 0,2? ?? 2,1?

? ? ?

? 1 ? ? ? ? 2,0 ? ? k ?
1 k?? 6

?4,0?

1 0? ? ?2? 4 k

1 k?? 2

1 ? 6 ? ? ?2 k

小结
?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? 直线l1 , l2 ? ?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 解方程组 ? ?l , l ? 无解 ? 1 2平行

作业 P109习题3.3A组 1、2、3、5


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