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第一讲 函数概念及基本性质


第一讲、函数的 第一讲、函数的基本性质
一、函数相关概念 函数相关概念 函数的概念: 设 B 使对 A 中的任意一个数 x , 1、 函数的概念: A、 是____________,如果按照某种确定的对应关系 f , 那就称对应 f : A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数, 在集合 B 中都有__________的数 y 和它对应, 记做___________, x ∈ A .其中 x 叫_______, x 的取值范围 A 叫做函数的_________.与 x 的值相对 应的 y 值叫做函数值,函数值构成的集合叫做_________,显然值域是集合 B 的子集。 1.下列图像表示函数的是 下列图像表示函数的是( 例 1.下列图像表示函数的是( y y ) y y x D

x A B

x C

x

2、函数的三要素:函数的三要素是指________、___________和值域。其中________由_____________ 函数的三要素: 的三要素 完全确定,因此实际上确定一个函数只需这两个要素确定即可。 函数的表示: 3、函数的表示:常用解析式法,列表法,图像法表示。 分段函数: 4、分段函数:对于自变量 x 的不同区间,有着不同的对应法则,这样的函数叫做分段函数。 映射: 5、映射:设 A、B 是___________,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对 A 中的任意一个元素 x ,在 集合 B 中都有__________的元素 y 和它对应,那就称对应 f : A → B 为从集合 A 到集合 B 的映射. 由映射的定义知,函数是特殊的映射,特殊在研究的对象不是一般的集合,而是数集。 上的映射,注意两点: 判断一个对应关系 f 是不是集合 A 到 B 上的映射,注意两点: (1)A 中元素对应 B 中元素,可以一对一,多对一,但是不能一对多; (2)A 中不能有剩余元素,B 中可以有剩余元素(也可以没有) 。 下列对应关系表示映射吗 例 2.下列对应关系表示映射吗? a b c A 6、求定义域的方法 (1)分母不为 0 (4) log a x 中 x > 0 例 3.求 y = (2)偶次根式的根号下大于或等于 0 (5) tan x 中 x ≠ kπ + 1 2 3 a b c B 1 2 3 a b c C 1 2 3 a b c D 1 2 3 a b c E 1 2

π , k ∈Z
2

(3) x 中的 x 不为 0 (6)考虑实际情况

0

x2 ? 5x + 6 的定义域 lg(4 x ? x 2 )
) B: f ( x ) = D: f ( x ) =

下列函数的图像完全相同的是( 例 4.下列函数的图像完全相同的是( A: f ( x ) =| x | 与 g ( x ) = C: f ( x ) =

x2

x 2 与 g ( x) =

( x)

2

x 2 ?1 g ( x) = x + 1 与 x ?1

x + 1 x ?1 与 g ( x) = x 2 ? 1

二、函数的单调性 且 若总有 f ( x1 ) < f ( x2 ) , f ( x ) 为_______ 则 定义: 在定义域内某个区间 D 上任取 x1 , x2 , x1 < x2 , 1、 定义: 若总有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则 f ( x ) 为__________.若函数在区间 D 上单增或者单减,则称 f ( x ) 在这个区间上具有单调性,区间 D 成为单调区间。 (1)定义(2)图像(3) “同增异减” 2、判断单调性的方法: 判断单调性的方法: 例 4. 证明 y = x +

1 在(0 ,1)内单调递减。 内单调递减。 x 1 x2 ? 2 x +3 的增区间; 的增区间; 例 5.( 1) 求 y = ( ) 2 2 的减区间。 (2)求 y = log 2 (4 x ? x ) 的减区间。
1、定义:若对于定义域内的任意一个 x 都有 f ( ? x ) = ? f ( x ) ,则 f ( x ) 为___________; 定义: 若对于定义域内的任意一个 x 都有 f ( ? x ) = f ( x ) ,则 f ( x ) 为___________. (1)先看定义域是否_____________(2)再看 f ( ? x) 与 ? f ( x) 或 f ( x ) 的关系。 2、判断奇偶性的步骤: 判断奇偶性的步骤: 奇偶性与单调性: 3、奇偶性与单调性:奇函数在原点两侧的对称区间上单调性________;偶函数在原点两侧的对称区间 上单调性__________。 (1) y = x 2 k +1 为奇函数, y = x 2 k 为偶函数; 4、一些规律: 一些规律: (2)若奇函数在 x = 0 处有意义,则 f (0) = 0 ; (3)一般地,在公共定义域上 i)两个奇函数的和、差仍为奇函数,积、商是偶函数; ii)两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数; iii)奇函数与偶函数的积、商是奇函数。 判断奇偶性: 例 6.判断奇偶性:(1) f ( x ) = 1 ? x +

三、函数的奇偶性: 函数的奇偶性:

x ? 1 (2) f ( x) = 1 ? x 2 + x 2 ?1

1+ x (3) f ( x ) = log 2 1? x
四、练习题: 练习题:

? 2 ? x + x ( x < 0) (4) f ( x ) = ? 2 ?? x + x ( x > 0) ?

? x + 2 ( x ≤ ?1) ? 1. f ( x ) = ? x 2 (?1 < x < 2) ,若 f ( x) = 3 ,则 x = _____________. ?2 x ( x ≥ 2) ?
2. y = ax 2 + bx + c ( a > 0) 的增区间为________________. 3. f ( x ) = x 5 + ax 3 + bx ? 8 ,若 f ( ?2) = 0 ,则 f (2) =___________. 4. f ( x ) = x 2 + 2( a ? 1) x + 2 在 ( ?∞ , 4] 上单调递减,则 a∈ ______________. 5. f ( x ) =

(a + 1) x 2 + 1 , f (1) = 3 , f (2) = 9 .(1)求 a , b (2)证明 f ( x) 在 [1, +∞) 单增。 bx 2

6.奇函数 f ( x ) 是定义在(-1 ,1)上的减函数,且 f ( a ? 2) + f ( a 2 ? 4) < 0 ,求实数 a 的范围。


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