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江苏省南京市2013届高三暑期培训讲座3--函数与导数的教法和学法指导.


高三一轮复习专题讲座之

函 数 与 导 数
梅园 陈正蓉

? 把握函数与导数的核心知识点
? 把握研究函数问题的思想方法

? 把握函数与方程(不等式)间的关系

? 函数与导数的核心知识点
考查内容主要为以下几个方面:函数的定义域、值域(极值、 最值) 、函数的性质(奇偶性、单调性、周期性) 、函数的图 象、零点问题(函数与方程) 、恒成立问题(函数与不等式、 函数最值) 、导数的几何意义以及函数的应用. 1 如:1. (08 年江苏 8)直线 y= x+b 是曲线 y=lnx(x>0) 2

的一条切线,则实数 b=__________. 2. (08 年江苏 14)f(x)=ax3-3x+1 对于 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a= .

3. (09 年江苏 3)函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区 间为_______________. 4. (09 年江苏 9)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C: y=x3-10x+3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在 点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为________. 5-1 5. (09 年江苏卷 10)已知 a= ,函数 f(x)=ax,若实 2 数 m、 满足 f(m)>f(n), m、 的大小关系为 n 则 n . 6. (09 年江苏 11)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞, a),若 A? B 则实数 a 的取值范围是(c,+∞),其中 c= __________.

7.(10 江苏 5)设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实 数 a=________. 8. (10 年江苏 11)已知函数
?x2+1,x≥0 ? f(x)=? ,则满足不 ?1,x<0 ?

等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的范围是_______. 9. (10 年年江苏 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条 平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 S= (梯形的周长)2 ,则 S 的最小值是__________. 梯形的面积

10. (11 年江苏 2)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是 ____________. 11. ( 11 年 江 苏 11 ) 已 知 实 数 a≠0 , 函 数 f(x) =
?2x+a,x<1 ? ? ,若 ?-x-2a,x≥1 ?

f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为

__________. 12 . 12 年 江 苏 5 ) 函 数 f(x) = 1-2log6x 的 定 义 域 ( 为 .

13. (12 年江苏 10) f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 设 在区间[-1,1]上,
?ax+1,-1≤x<0, ? 1 3 f(x)=?bx+2 其中 a, b∈R. f( )=f( ), 若 2 2 ? x+1 ,0≤x≤1, ?

则 a+3b 的值为__________. 14. (12 年江苏 13)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值 域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m, m+6),则实数 c 的值为 .

? 研究函数问题的思想方法——数形结合
画函数图象需掌握的三种类型: 1.基本初等函数及由基本初等函数经过平移、对称等变换得 到的函数的图象; 2.可利用导数研究函数的单调性,勾画出草图的函数图象; 3.对于某些抽象函数,可根据所给函数的性质,勾画出反映 该函数性质的草图(或示意图)的函数图象.

例 1. (12 年江苏 5)函数 f(x)= 1-2log6x的定义域 为
y y= o 6 x 1 2



例 2. (10 年江苏 11)已知函数

?x2+1,x≥0 ? f(x)=? ,则满足 ?1,x<0 ?

不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的范围是____________.
y
y=f(x)
y=f(1-x2)
y=f(2x)

o

2x 1-x2

x

根据函数 f(x)的图象,不难发现原不等式 f(1-x2)>f(2x)等价
?1-x2>2x ? 于不等式组? 2 ?1-x >1 ?

, 此题的易错点是忽略条件 1-x2>1.

例 3. (09 辽宁)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调递增, 1 则满足 f(2x-1)<f( )的 x 取值范围是______. 3
y

1 f( ) 3 o 2x-1 2x-1 f(2x-1) 1 3 x

1 - 3

根据图象, 1 1 1 1 2 由 f(2x-1)<f( )可得- <2x-1< ,即 <x< . 3 3 3 3 3

例 4. (2012 南京模拟)若函数

?x2-2x, x≥0, ? f(x)=? 2 是奇 ?-x +ax,x<0 ?

函数,则满足 f(x)>a 的 x 的取值范围是


y=f(x)

分析:根据f(x)的奇偶性及x≥0时的图象,
容易得到函数f(x)的图象及a的值为-2. 再根据f(x)的图象,由-x2-2x=-2 得x=-1± 3, 所以x的取值范围是(-1- 3,+∞).

y

o -1

x

-2

x 例 5. (04 年江苏 12)设函数 f(x)=- (x∈R),区间 1+|x| M=[a,b](a<b),集合 N={y|y=f(x),x∈M},则使 M=N 成立的实数对(a,b)有 A.0 个
y

( C.2 个

)

B.1 个

D.无数个

o

x 1 当 x≥0 时,f(x)=- =-1+ . 1+x x+1 ?a<0, ? ?b>0, x 无解! ? y=f(x) ?f(a)=b, ?f(b)=a. ?

例6.(11年江苏19) 已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f ′(x) 和g ′(x)是f(x),g(x)的导函数,若f ′(x)g ′(x)≥0在区间I上 恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致. (1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性 一致,求实数b的取值范围; (2)设a<0,且a≠b,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开 区间上单调性一致,求|a-b|的最大值.

(2)由于 a<0,所以函数 f(x)=x3+ax 和 g(x)=x2+bx 的图 象大致为
y=f(x)

y=g(x)



a - 3

a - 3

b - 2

因为函数 f(x)和 g(x)在以 a, 为端点的开区间上单调性一致, b 所以

y=f(x)

y=g(x)



a - 3

a - 3

b - 2

若同增,则有
? ?a<b≤- -a ? 3 ? b ? ? -2≤a<b ? ? ? -a≤a<b ? 3 ? b ? ? -2≤a<b ?

或者

容易发现,这两个不等式的解集均为空集.

y= f(x)

y=g(x)



a - 3



a 3

b - 2

所以函数 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上必定单调递
? ?- -a≤a<b≤ ? 3 ? 减,则有 b ? ?a<b≤-2 ?

a - 3

1 1 解得- ≤a<0,a<b≤0. 所以|a-b|的最大值为3. 3

例7.(12年江苏18)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或 极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实 数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点. (1)求a和b的值; (2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点; (3)设h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],求函数y=h(x)的 零点个数.

分析:根据条件可知 f(x)=x3-3x,其图象大致为

y=f(x)

-1

1

当 c=2 时, y=f(x)与 y=c 有两个交点 (左下图)所以满足 f(f(x)) ,
而满足 f(x)=-1 或 f(x)=2 =2 即满足 f(x)=-1 或 f(x)=2, 的实数 x 共有五个(右下图) 即此时函数 y=h(x)的零点个数 .
为 5.
2

2

-1

-2

-2
-1 1 2

-1

1

2

同理,当 c=-2 时,函数 y=h(x)的零点个数也为 5.

当-2<c<2 时,从图象上可以看出,满足 f(f(x))=c 的就是满 足 f(x)=x1,或 f(x)=x2,或 f(x)=x3(左下图) 由 于 xi(i = ,
1,2,3)均在区间(-2,2)内,且各不相同,所以直线 y=xi(i =1,2,3)与 y=f(x)各有三个的交点,共 9 个交点(右下图) .
故此时函数 y= h(x) 的 零 点 个 数为 9.
2 x3 x2 x1 -2 2

c
-2

x1
-2-1

x2 x3 1 2
-2-1 1 2

? 函数与方程(不等式)间的关系
例8.(2012南京模拟)已知关于x的方程x2+2alog2(x2+2) +a2-3=0有唯一解,则实数a的值为 .
通过对函数 f(x)=x2+2alog2(x2+2)+a2-3 的研究,可发现它是一个偶 函数,那么它的图象就关于 y 轴对称,若有唯一解,则该解必为 0.将 x=0 代入原方程中,可求得 a=1 或 a=-3.这就意味着,当 a=1 或 a=-3 时,原方程必有一解 0,但是否是唯一解,还需进一步验证.当 a=1 时,原方程为 x2+2log2(x2+2)-2=0,即 2log2(x2+2)=2-x2,该 方程实数根的研究可能过函数 y=2log2t 和函数 y=4-t 的交点情况来进 行, 不难发现, 此时是符合题意的; 而当 a=-3 时, 原方程为 x2-6log2(x2 +2)+6=0, x2+6=6log2(x2+2). 即 通过研究函数 y=4+t 和 y=6log2t 可以发现,此时原方程不止一解,不合题意,需舍去.

例 9. (1) (2012 南京模拟)若不等式∣ax3-lnx∣≥1 对任 意 x∈(0,1]都成立,则实数 a 的取值范围是 . (2) (08 年江苏 14)f(x)=ax3-3x+1 对于 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a= .

分析: 这两道都是不等式恒成立问题, 均可转化为函数的最值问 题, 至于是直接研究含参变量的函数的最值还是通过分离参数来 研究一个新函数的最值, 需要教师在平时的教学过程中进行有意 识的引导,从而使学生形成良好的解题习惯.这样做,不仅有助 于简化运算,节约时间,更有助于提高正确率. (具体解法在此 略去)

例10.(09年江苏20) 设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)| x-a |. (1)若f(0)≥1,求a的取值范围; (2)求f(x)的最小值; (3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出 .... 演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.

1 2 ?3x2-2ax+a2,x≥a ? ?3(x- a)2+ a2,x≥a ? 3 3 f(x)=? 2 =? . 2 ?x +2ax-a ,x<a 2 2 ? ?
?(x+a) -2a ,x<a

当 a≥0 时,其图象如下(实线部分) ,

显然此时 f(x)min=-2a2.

a -a 1a 3

-2a2

当 a<0 时,其图象如下(实线部分) ,
2 2 显然此时 f(x)min= a . 3
?-2a2,a≥0 ? 综上可得,f(x)min=? 2 2 ? 3a ,a<0. ?
2 2 a 3

a -a
1 a 3

1 2 2 2 (3)根据题意,h(x)=3x -2ax+a =3(x- a) + a (x>a). 3 3
2 2

当 a≥0 时,其图象如下(实线部分) ,

2 当 2a ≥1, a≥ 时, 即 不等式 h(x)≥1 的解集为(a, +∞); 2
2

2a2 1
1 a 3

a

1 2 2 2 (3)根据题意,h(x)=3x -2ax+a =3(x- a) + a (x>a). 3 3
2 2

当 a≥0 时,其图象如下(实线部分) ,

2 当 2a ≥1, a≥ 时, 即 不等式 h(x)≥1 的解集为(a, +∞); 2
2

2 当 2a <1,即 0≤a< 时,由 3x2-2ax+a2=1, 2
2

a± 3-2a2 得 x= , 3 a+ 3-2a2 不等式 h(x)≥1 的解集为[ ,+∞); 3
1 a 3

1 2a2

a

当 a<0 时,其图象如下(实线部分) ,

2 2 6 当 a ≥1,即 a≤- 时, 3 2 不等式 h(x)≥1 的解集为(a,+∞);
2a2

a
1 a 3

1

2 2 a 3

当 a<0 时,其图象如下(实线部分) ,

2 2 6 当 a ≥1,即 a≤- 时, 3 2 不等式 h(x)≥1 的解集为(a,+∞);
2 2 6 2 2 当 a <1<2a ,即- <a<- 时, 3 2 2 a± 3-2a2 由 3x2-2ax+a2=1,得 x= , a 3 所以不等式 h(x)≥1 的解集为 a- 3-2a a+ 3-2a (a, ]∪[ ,+∞); 3 3
2 2

2a2 1
2 2 a 3
1 a 3

2 当 2a ≤1,即- ≤a<0 时, 2
2

a+ 3-2a2 不等式 h(x)≥1 的解集为[ ,+∞). 3
1 2a2

a
1 a 3

2 2 a 3

综上可得, 2 6 当 a≥ 或 a≤- 时,所求不等式的解集为(a,+∞); 2 2 2 2 当- ≤a< 时, 2 2 a+ 3-2a2 所求不等式的解集为[ ,+∞); 3 6 2 当- <a<- 时, 2 2 a- 3-2a2 a+ 3-2a2 所求不等式的解集为(a, ]∪[ , +∞). 3 3

例 11. (2012 南京三模)已知函数 f(x)=x3+ax2-a2x+2, a∈R. (1)若 a<0 时,试求函数 y=f(x)的单调递减区间; (2)若 a=0 且曲线 y=f(x)在点 A,B (A,B 不重合) 处切 线的交点位于直线 x=2 上,证明:A,B 两点的横坐 标之和小于 4;

(3) 如果对于一切 x1, 2, 3∈[0, 总存在以 f(x1), 2), x x 1], f(x f(x3)为三边长的三角形,试求正实数 a 的取值范围.

分析:前两题问题难度不大,在此就不做分析了,以下的分 析只针对第(3)题. 因为 a>0,根据 f ′(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a), 所以函数 f(x)=x3+ax2-a2x+2 的图象大致如下(左图) ,

0 1 -a a 3 -a a 3 -a

0 a 3

1

0 1 -a a 3 -a a 3 -a

0 a 3

1

a 当 ≥1,即 a≥3 时(图象见上中) , 3 若对于一切 x1,x2,x3∈[0,1],总存在以 f(x1),f(x2),f(x3) 为三边长的三角形, f(1)+f(1)>f(0)即可. 2(3+a-a2) 则 即 >2,解得-1<a<2,故此时无解.

0 1 -a a 3 -a a 3 -a

0 a 3

1

a 当 <1,即 0<a<3 时(图象见上右) , 3 为三边长的三角形,
? a ?f( )+f(a)>f(0), ?2(- 5 a3+2)>2, ? ① ? 3 ? 3 27 则? a 即? ?f( )+f(a)>f(1). ?2(- 5 a3+2)>3+a-a2. ? 3 ? 3 27 ? ?

若对于一切 x1,x2,x3∈[0,1],总存在以 f(x1),f(x2),f(x3)



3 1 解①得,a<3 . 5 解②时则遇到了困难,②可化简为 10 3 a -a2+a-1<0. 27 10 3 a -a2+a-1. 27

这是一个三次不等式,而且无法进行分解因式,因此用常规的解不等式的方法显然行不通,为此 可利用函数与不等式间的关系来求解,可设函数 g(a)=

10 10 9 1 因为 g′(a)= a2-2a+1= (a- )2+ >0,所以函数 g(a)是 R 上的增函数. 9 9 10 10 3 1 10 27 3 1 3 1 因为 g(3 )= × -9× + -1 5 27 5 25 5 3 1 3 729 =1+ - <1+1-2<0. 5 25 (函数 g(a)变化趋势示意图如右所示) 3 1 10 3 2 所以 a -a +a-1<0 的解集 A?(0,3 ). 27 5 3 1 所以实数 a 的取值范围为(0,3 ). 5
3
3 1

0 g(3
3 1

5

)

5

通过以上内容的分析,我们不难发现,在函数与导数的 复习过程中, 牢牢抓住函数的图象, 抓住函数与方程 (零点) 、 函数与不等式间的关系, 借助图形的直观性寻求解决问题的 途径和方法,具有很强地可操作性.当然,在实际解决问题 的过程中,可能还会遇到各种各样的问题,转化的思想需贯 穿始终,三种语言间的转化,函数与方程(不等式)间的转 化,变与不变的转化(分离参数)等.


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