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1.5.1 曲边梯形的面积(优秀教案)_图文

1.5.1 曲边梯形的面积
一、教学目标
1、知识与技能目标: (1)通过问题情景,经历求曲边梯形面积的过程,初步了解、感受定积分概念的实际背景。 (2)理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限。 2、过程与方法目标: (1)通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。 (2)通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感、态度与价值观目标: 在探究中进一步感受极限的思想,体会直与曲虽然是对立矛盾的,但它们可以相互转化, 体现对立统一的辩证关系,在问题解决中体验成功的愉悦,感受数学的魅力。

二、学情分析
本节课的教学对象是民语班的学生。 学生在本节课之前已经具备的认知基础有: 一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积;学生在必修 3 的阅 读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解。 二是学生虽然未学习过极限的有关知识,但通过导数的学习,对极限有了初步的认识。 学生在本节课学习中将会面临的难点: 一是部分学生汉语程度相对较为薄弱, 一些数学名词难以准确理解, 因此需要借助民语教 材对部分名词做民语标注,帮助学生准确掌握和学习;此外,学生的汉语表达能力较差,需 要即时引导学生进行准确表述和学习。 二是本节课的学习过程中如何“以直代曲”,即学生如何将割圆术中“以直代曲,无限逼近” 的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上.具体说来就是:如何选择适当的直边图形(矩形、 三角形或梯形)代替曲边梯形,并使细分的过程程序化且便于操作和计算。

三、重点难点
教学重点:
探究求曲边梯形面积的方法。

教学难点:
把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤,理解“无限逼近”的思想方法。

四、教学过程
一、问题情境—生活中的数学原型 【教师提问】 观察下面的图片, 从图片中截取一个平面图形, 观察图形, 如何求图形的面积? 图片一:

图形一:

【教师提问】 观察下面的图片, 从图片中截取一个平面图形, 观察图形, 如何求图形的面积? 图片二:

图形二:

【教师提问】 观察下面的图片, 从图片中截取一个平面图形, 观察图形, 如何求图形的面积? 图片三:

图形三:

【思考】 “曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么?

【设计意图】 1.从生活实际出发, 让学生充分感受数学与生活息息相关, 生活中处处都能找到数学的原型。 2.学生通过分割和补足的方法求解直边图形,回顾“割补思想” ,为接下来探究如何对曲边 梯形以直代曲做铺垫。 3.对比“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别,为学生准确理解曲边梯形的概念做铺垫。 4.通过设立问题引发学生思考,从而引出本节课题。 二、概念辨析—“连续函数”与“曲边梯形”的概念 【学生活动】翻开课本 38 页,仔细研读书中“连续函数”与“曲边梯形”的概念。 【设计意图】 让学生回归课本进行自主学习,并发现概念中的关键内容。 三、知识回顾—割圆术 【讲授】 割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创,所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积去无 限逼近圆面积,并以此求取圆周率的方法。

【教师提问】 1.你能否总结出割圆术求圆面积的思想方法? 2.将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼,能否应用到求曲边梯形的面积中? 【解答】 割圆术求圆面积的思想方法: 1.将圆等分成 n 个小扇形。 2.用小三角形面积近似代替小扇形面积。 3.求小三角形面积之和。 4.随着 n 的增大,小三角形面积之和不断逼近圆面积。 将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼 1.分割 2.近似代替 3.求和 4.取极限 【设计意图】 回顾割圆术中正多边形逼近圆的方法, 引发学生思考: 这种 “以直代曲” 的思想启发我们, 是否也能用直边形逼近曲边梯形的方法,求曲边梯形的面积。同时,通过在提炼思想方法的

过程中,培养学生分析、归纳的习惯。 四、特例探究—类比割圆术的思想方法,求特殊的曲边梯形的面积 【思考】如何求由直线 x=0,x=1,y=0 和曲线 y=x?所围成的曲边梯形的面积 S?

(一)分割 【自主探究】思考:应采用什么样的方式分割下面的曲边梯形才能有利于“以直代曲”?

【学生活动】 1.分小组讨论,并在纸上做出方案。 2.通过对比各组方案,选出最佳方案。 【教师展示】 方案一:

方案二:

【教师提问】选取方案一进行探究。 1.如何将大曲边梯形等分成 n 个小曲边梯形? 2.将区间[0,1]等分成 n 个小区间,这 n 个小区间分别是什么? 3.单独研究第 i 个小区间,则第 i 个小区间是什么? 【解答】 1.在区间[0,1]上等间隔地插入 n-1 个点,过这些点做 x 轴的垂线。 2.将区间[0,1]等分成 n 个小区间,这 n 个小区间分别是:

3.单独研究第 i 个小区间,则第 i 个小区间是:

【设计意图】 学生通过类比割圆术中“将圆等分成 n 个小扇形”这一步骤,经历分割曲边梯形的过程,同 时通过对比,选出最佳方案进行进一步探究。在探究的过程中,充分带动学生的自主学习意 识,并加强学生对“四步曲”中“分割”的理解和认识。培养学生学习数学的兴趣以及团队 协作的精神。 (二)近似代替 【自主探究】思考:对每个小曲边梯形如何“以直代曲”?(单独研究第 i 个小曲边梯形)

【学生活动】 1.分小组讨论,并在纸上做出方案。 2.通过对比各组方案,选出最佳方案。 【教师展示】 方案一:

方案二:

方案三:

方案四:

【思考】选取方案二进行探究。 怎样求出小矩形的面积? 【解答】 第 i 个区间的长度为:

第 i 个小矩形的高为: (即区间左端点的函数值)

第 i 个小矩形的面积为:

【设计意图】 学生通过类比割圆术中“用小三角形面积近似代替小扇形面积”这一步骤,经历将第 i 个小 曲边梯形“以直代曲”的过程,同时通过对比,选出最佳方案进行进一步探究,并引导学生 带着疑问进入下面的学习。在探究的过程中,培养学生善于思考的习惯,以及自我创新的能 力。 (三)求和 【共同探究】思考:怎样求出 n 个小矩形的面积之和?

【师生互动】 引导学生分析如何求出 n 个小矩形的面积之和, 共同探求解题思路。 具体求解过程由学生参 与,师生共同补充。 【提示】
2 2 2 给出公式: 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ?

(n ? 1)n(2n ? 1) 6

【讲授】 此处求出的小矩形面积之和称作曲边梯形面积的不足近似值。 【解答】 小矩形面积之和为:

【设计意图】 学生通过类比割圆术中“求小三角形面积之和”这一步骤,经历“求和”的过程,加深学生 对Σ 符号的理解,同时,让学生更好地掌握求和类型题目的解法,提高学生的计算能力以及 数学的逻辑思维能力。 【几何画板展示】 观察当 n 取不同值时,小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系?

【思考】 为了更加准确地求出大曲边梯形的面积,n 应该取何值? 【设计意图】 通过几何画板的演示,更加直观地让学生感受到“无限逼近” 的思想,并为第四步“取极限” 做出铺垫。 (四)取极限 【思考】n 趋向于无穷大时,曲边梯形的面积 S 等于多少?

【师生互动】 引导学生回顾极限的运算,共同计算出曲边梯形的面积 S 的值。

【解答】 取极限得到曲边梯形的面积为:

【设计意图】 通过经历“取极限”的过程,进一步加强学生对极限运算的认识。 五、类比探究—类比“不足近似值”与“过剩近似值” 【思考】选取方案三进行探究。 怎样求出小矩形的面积?

【师生互动】 类比方案二中的求解过程, 发现求解小矩形的面积时的异同, 引导学生正确计算小矩形的面 积。 【解答】 第 i 个区间的长度为:

第 i 个小矩形的高为: (即区间右端点的函数值)

第 i 个小矩形的面积为:

【设计意图】 通过方案二和方案三的对比,进一步加强学生对“割补思想” “以直代曲”思想的理解和认 识,并使学生逐步掌握运算技巧。 【思考】怎样求出 n 个小矩形的面积之和?

【提示】
2 2 2 给出公式: 1 ? 2 ? ? ? n ?

n(n ? 1)(2n ? 1) 6

【师生互动】 引导学生通过类比“不足近似值”的求法,体验“过剩近似值”的求解过程。 【解答】 小矩形面积之和为:

【设计意图】 通过类比方案二中的求解过程,学生能很快掌握相应解法,培养学生的解题能力,同时巩固 本节所学知识。这样安排,有利于学生循序渐进从多种角度去考虑曲边梯形的面积的求法, 激发学生创新能力的同时,培养学生善于思考的习惯。 【几何画板展示】 观察当 n 取不同值时,小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系?

【思考】 为了更加准确地求出大曲边梯形的面积,n 应该取何值? 【解答】 取极限得到曲边梯形的面积为:

【设计意图】 通过几何画板的演示,更加直观地让学生感受到“无限逼近”的思想,并与之前的案例进行 对比。 【Excel 展示】

【设计意图】 利用 Excel 表格进行计算,让学生更直观得观察当 n 趋近于无穷大时,S 的不足近似值与过 剩近似值最终都会趋近于

1 。同时,验证了之前的结论。 3

六、能力提升 【思考】取 f(x)=x? 在区间 ? 是

? i ?1 i ? , 上任意一点 ξi 处的函数值 f(ξi)作为近似值,求出的 S 也 ? n n? ?

1 吗? 3

【师生互动】 引导学生回答,教师补充完善,并用多媒体进行适当展示。 【设计意图】 让学生体会,无论用哪个近似值进行近似代替,借助极限运算都可以得到曲边梯形的面积。 同时,更直观地感受到从特殊到一般的过程。 七、课堂小结 【思考】在今天的课程中, 你学到了什么呢? 【师生互动】 让学生回顾总结本节所学知识,师生共同补充、纠正。 【设计意图】 让学生养成善于总结的好习惯, 并对本节的知识研究线索有一个全面的认识, 同时反馈学生 对本节课重点内容的把握情况。 八、课后作业 1. 求由直线 x=0,x=2,y=0 和曲线 y=x? 所围成的曲边梯形的面积 S? 2.思考: “问题情景”中第三幅图的面积怎样求解?

【设计意图】 让学生体会通过对特例的探究,掌握到了一般的数学方法。同时,巩固知识,发现教学中的 不足。数学与实际相结合,培养学生自觉学习的习惯和探索精神,提高综合运用数学知识的 能力。 九、板书设计


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