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www.hg3207.com:人教版高中数学选修第三讲--柯西不等式与排序不等式ppt课件_图文

有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值,

人们称它们为经典不等式.

如均值不等式:

a1 ? a2 ? n

? an ≥ n a1a2

an (ai ? R? , i ? 1, 2 ,

, n) .

本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西不等式与排序不等 式,知道它的意义、背景、证明方法及其应用,感受数学的美妙,提高 数学素养

思考:阅读课本第 31 页探究内容.

由 a2 ? b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的 大小 关系 ,类 比考 虑与 下面 式子 有关 的有什 么不等关系:

设 a,b, c为, d任意实数.
(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 )

联想

一、二维形式的柯西不等式
定 理1 (二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式) 若a, b, c, d都 是 实 数, 则 当 且 仅 当ad ? bc时, 等 号 成 立.
你能简明地写出这个定理的证明?
二维形式的柯西不等式的变式:
例1 已知a, b为实数, 证明(a4 ? b4 )(a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 )2

运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.

例 2:设 a, b ? R? , a ? b ? 1, 求证: 1 ? 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b ? R? ,根据柯西不等式,得

(a ? b)( 1 ? 1 ) ≥ ( a ? 1 ?

ab

a

又 a ? b ? 1,

∴ 1 ? 1≥4 ab

b ? 1 )2 ? 4 b

可以体会到,运用柯西不等式,思路一步到位,简洁明了!解答漂亮!

定 理2 (柯 西 不 等 式 的 向 量 形 式)
设? , ? 是 两 个 向 量, 则? ? ? ? ? ? .

当 且 仅 当? 是 零 向 量, 或 存 在 实 数k ,

使? ? k ?时, 等 号 成 立.

注:若 ? ? ( x1 , y1 ), ? ? ( x2 , y2 ) ,则

cos ? , ? ?

x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y12 ? x22 ? y22

定理 1(二维形式的柯西不等式)

若 x1, y1, x2 , y2 都是实数,则 ( x12 ? y12 )( x22 ? y22 )≥ ( x1 x2 ? y1 y2 )2 .

当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.

定理 1(二维形式的柯西不等式)

若 x1, y1, x2 , y2 都是实数,则 ( x12 ? y12 )( x22 ? y22 )≥ ( x1 x2 ? y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.
(发现)定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 ? R, 那么

( x12 ? y12 ) ? ( x22 ? y22 ) ≥ ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 . 当 且 仅 当

x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.
y
P1 (x1 , y1 )

y
P1 ( x1, y1 )

| y1 - y2 |

O
P2 (x2 , y2 )

x

这个图中有什么不等

关系?

O

P2 ( x2 , y2 )

| x1 - x2 |

x

定理3 (二维形式的三角不等式) 设x1, y1, x2 , y2 ? R,

那 么 x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

证 明: ( x12 ? y12 ? x22 ? y22 )2

? x12 ? y12 ? 2 x12 ? y12 x22 ? y22 ? x22 ? y22

? x12 ? y12 ? 2 x1 x2 ? y1 y2 ? x22 ? y22

? x12 ? y12 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) ? x22 ? y22

?

x 12

? 2 x1 x2

?

x22

?

y12

? 2 y1 y2

?

y

2 2

? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

? x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

二维形式的三角不等式

x12 ? y12 ?

x

2 2

?

y22

?

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

三 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 ? y12 ? z12 ?

x

2 2

?

y22

?

z

2 2

? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2

一般形式的三角不等式

x12

?

x

2 2

???

x

2 n

?

y12

?

y

2 2

???

yn2

? ( x1 ? y1 )2 ? ( x2 ? y2 )2 ? ?( xn ? yn )2

小结:
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R) 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.
(2) a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd (3) a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd
(4)柯 西 不 等 式 的 向 量 形 式? ? ? ? ? ? .
当 且 仅 当? 是 零 向 量, 或 存 在 实 数k , 使? ? k ? 时, 等 号 成 立.
(5) (二维形式的三角不等式 ) 设x1, y1, x 2 , y2 ? R, 那么 x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

例3 求函数y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2x的最大值

变式引申:
若2x ? 3 y ? 1,求4x2 ? 9 y2的最小值, 并求最小值点.

解 :由 柯 西 不 等 式(4 x 2 ? 9 y2 )(12 ? 12 ) ? (2 x ? 3 y)2 ? 1,
?4x2 ? 9 y2 ? 1 . 2
当 且 仅 当2 x ? 1 ? 3 y ? 1,即2 x ? 3 y时 取 等 号.

由???22

x x

? ?

3y 3y

?

得 1

? ?? ? ? ??

x y

? ?

1 4 1 6

? 4 x 2 ? 9 y2的 最 小 值 为1 , 最 小 值 点 为( 1 , 1 )

2

46

补充例1

已知x,

y, a, b ?

R? , 且

a x

?

b y

? 1, 求x ? y的最小值.

解:

? x,

y,a,b ?

R? ,

a x

?

b y

? 1,

? ? x ? y ? ( x )2 ? (
? ( a ? b )2

? y )2

????????

a x

???? 2

?

????

b y

????

2

? ? ? ?

当 且 仅 当 x ? b ? y ? a ,即 x ? a 时 取 等 号.

y

x

y

b

? ( x ? y)min ? ( a ? b )2

补充例 2:已知 a,b? R ? ,a+b=1, x1 , x2 ? R? ,
求证: ?ax1 ? bx2 ? ? ?bx1 ? ax2 ? ≥ x1 x2

分析:如果对不等 式左端用柯西不等式,就得不到所

要 证 明的 结 论 .若把 第 二个 小括 号 内的 前后 项 对调 一 下,情况就不同 了 .

证明:∵ ?ax1 ? bx2 ? ? ?bx1 ? ax2 ? = ?ax1 ? bx2 ? ? ?ax2 ? bx1 ?
由柯西不等式可 知

? ? ? ? ? ? ax1 ? bx2 ? bx1 ? ax2

≥a

x1 x2 ? b

2
x1 x2

= ? a ? b?2 x1 x2 ? x1 x2 .得证

补充例 3:已知 a 1 ? b2 ? b 1 ? a2 ? 1, 求证: a2 ? b2 ? 1 。

证明:由柯西不等式,得

? ? ? ? a 1 ? b2 ? b 1 ? a2 ≤ ??a2 ? 1 ? a2 ?? ??b2 ? 1 ? b2 ?? ? 1

当且仅当

b

? 1 ? b2 时,上式取等号,

1? a2

a

?ab ? 1 ? a2 ? 1 ? b2 ,
? ? ? ? a2b2 ? 1 ? a2 1 ? b2 ,

于是 a2 ? b2 ? 1 。 注:这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的

补充练习

1.若a, b ? R, 且a 2 ? b2 ? 10, 则a ? b的 取 值 范 围 是( A )

? ? A. - 2 5,2 5

? ? B. ? 2 10,2 10

? ? C . ? 10, 10

? ? D. ? 5, 5

2.已 知x ? y ? 1, 那 么2 x 2 ? 3 y2的 最 小 值 是(B )

A. 5 6

B. 6 5

C. 25 36

D. 36 25

3.函数y ? 2 1 ? x ? 2x ? 1的最大值为_3_____

4.设 实 数x, y满 足3 x2 ? 2 y2 ? 6, 则P ? 2 x ? y的 最 大 值是______

5.若a ? b ? 1, 则(a ? 1 )2 ? (b ? 1 )2的 最 小 值 是______

a

b

作业: 课本习题3.1 第1、3、7、8题另加下面 2题
1.已知 4 x 2 ? 9 y2 ? 36 ,求 x ? 2 y 的最大值.
2.已知 3 x ? 2 y ? 6 ,求 x 2 ? 2 y2 的最小值.

从 平 面 向 量 的 几 何 背 景 能 得 到? ? ? ? ? ? , 将 平 面 向 量 的 坐 标 代 入 , 化 简 后 得 二 维 形 式
的 柯 西 不 等 式: 当 且 仅 当a1b2 ? a2b1时, 等 号 成 立.
类似地,从空间向量的几何背景也能得到? ? ? ? ? ? ,
将空间向量的坐标代入, 化简后得
当 且 仅 当? , ? 共 线 时,即? ? 0, 或 存 在 一 个 数k , 使 得ai ? kbi (i ? 1,2,3)时, 等 号 成 立.
根据上面结果,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗?

猜想柯西不等式的一般形式

分析: 设A ?
C ? b12

a12 ?
? b22

a

2 2

?

??

??b?n2,an2则 ,B不?等a式 1b1就?是 a2AbC2 ???Ba2

n

bn

构造二次函数

f ( x) ? (a12 ? a22 ? ? ? an2 ) x 2 ? 2(a1b1 ?a 2b2 ? ?anbn ) x
? (b12 ? b22 ? ?bn2 ) 又f ( x) ? (a1 x ? b1 )2 ? (a2 x ? b2 )2 ? ? ? (an x ? bn )2 ? 0
? 二 次 函 数f ( x)的 判 别 式? ? 0,即

4(a1b1 ? a2b2 ? ?anbn )2 ? 4(a12 ? a22 ? ?an2 ) ? (b12 ? b22 ? ? ? bn2 ) ? 0

定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式 ) 设a1 , a2 , a3 ,?, an , b1 , b2 , b3 ,?, bn是 实 数, 则
当 且 仅 当bi ? 0(i ? 1,2,?, n)或 存 在 一 个 数 k , 使 得ai ? kbi (i ? 1,2,?, n)时, 等 号 成 立。

例1 已知a1 , a2 ,?, an都是实数, 求证

1 n (a1

? a2

? ? ? an )2

?

a12

? a22

?

?

?

a

2 n

证 明: (12 ? 12 ? ? ? 12 )(a12 ? a22 ? ? ? an2 )

? (1? a1 ? 1? a2 ? ?? 1? an )2

? n(a12

?

a

2 2

???

a

2 n

)

?

( a1

?

a2

???

an )2

1 ? n (a1

? a2

? ?? an )2

?

a12

? a22

? ? ? an2

例2 已知a, b, c, d是不全相等的正数, 证明 a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da
证 明: (a2 ? 2 ?c2 ? d 2 )(b2 ? c2 ? d 2 ? a2 ) ? (ab ? bc ? cd ? da)2
? a, b, c, d是 不 全 相 等 的 正 数,? a ? b ? c ? d 不 成 立 bcd a
? (a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 )2 ? (ab ? bc ? cd ? da)2 即 a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da

例3 已知x ? 2 y ? 3z ? 1, 求x 2 ? y 2 ? z 2的最小值

证 明: ( x 2 ? y 2 ? z 2 )(12 ? 22 ? 32 ) ? ( x ? 2 y ? 3z)2 ? 1

? x2 ? y2 ? z2 ? 1 14

当 且 仅 当x ? y ? z 即x ? 1 , y ? 1 , z ? 3 时

1 23

14

7

14

x 2 ? y2 ? z2取 最 小 值 1 14

P41 6. 设x1, x2 ,?xn ? R? , 且x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1,

求 证 : x12 ? x22 ? ? ? xn2 ? 1

1 ? x1 1 ? x2

1 ? xn n ? 1

证 明: (n ? 1) ? ( x12 ? x22 ? ? ? xn2 )

1 ? x1 1 ? x2

1 ? xn

?

(1 ?

x1

?1?

x2

? ?? 1 ?

xn

)

?

(

1

x12 ? x1

?

x22 1 ? x2

?

? ? xn2 ) ? ( 1 ? xn

1 ? x1 ?

x1 ? 1 ? x1

1 ? x2 ?

x2 1 ? x2

???

1 ? xn ?

xn 1 ? xn

)2

?

( x1

?

x2

???

xn )2

?

1

? x12 ? x22 ? ? ? xn2 ? 1

1 ? x1 1 ? x2

1 ? xn n ? 1

补充例题
例1 已 知 实 数a, b, c, d , e满 足a ? b ? c ? d ? e ? 8, a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? e2 ? 16, 求e的 取 值 范 围.
解 : ? 4(a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ) ? (1 ? 1 ? 1 ? 1)(a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ) ? (a ? b ? c ? d)2
即4(16 ? e2 ) ? (8 ? e)2 ,即64 ? 4e2 ? 64 ? 16e ? e2 ? 5e2 ? 16e ? 0, 故0 ? e ? 16
5

例2

已知x,

y, z

?

R? , 且x

?

y

?

z

?

1,求证 1 x

?

4 y

?

9 z

?

36

证法一: 用柯西不等式

1 ? 4 ? 9 ? ( x ? y ? z)( 1 ? 4 ? 9 )

x yz

x yz

? ( x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 3 )2 ? 36

x

y

z

当 且 仅 当x 2 ? 1 y 2 ? 1 z 2 ,即x ? 1 , y ? 1 , z ? 1 时,

4

9

6

3

2

等 号 成 立.

例2

已知x,

y, z

?

R? , 且x

?

y

?

z

?

1,求证 1 x

?

4 y

?

9 z

?

36

证法二: 代入法

1 ? 4 ? 9 ? 1 (x ? y ? z) ? 4 (x ? y ? z) ? 9 (x ? y ? z)

x yz x

y

z

? 14 ? ( y ? 4x ) ? ( z ? 9x ) ? (4z ? 9 y )

xy

xz

yz

? 14 ? 4 ? 6 ? 12 ? 36

当 且 仅 当y

?

2x, z

?

3 x,即x

?

1 ,

y

?

1 ,z

?

1 时, 等 号 成 立.

6

3

2

例 3.已知实数 a, b, c, d , e 满足 a ? b ? c ? d ? e ? 8, a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? e2 ? 16, 求 e 的取值范围.

解:

4(a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 )

? (1 ? 1 ? 1 ? 1)(a2 ? b2 ? c2 ? d 2 )

≥ (a ? b ? c ? d )2

即4(16 ? e2 ) ≥ (8 ? e)2 ,即64 ? 4e2 ≥ 64 ? 16e ? e2

? 5e2 ? 16e ≥ 0, 故0 ≤ e ≤ 16 5

补充练习
1在?ABC中, 设其各边长为a, b, c, 外接圆半径为R,

求证 : (a2

? b2

?

c

2

)(

s

1 in2

A

?

1 s in2

B

?

1 s in2

C

)?

36R2

2.设a, b, c为正数, 且a ? b ? c ? 1,

求证 : (a ? 1 )2 ? (b ? 1 )2 ? (c ? 1 )2 ? 100

a

b

c

3

3.若n是 不 小 于2的 正 整 数, 试 证:

4 ? 1? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 2

7

234

2n ? 1 2n 2

4.设a, b, c ? R? , 且 满 足abc ? 1, 试 证 明:

1 a3(b ?

c)

?

1 b3(a ?

c)

?

1 c3(a ?

b)

?

3 2

先思考一个具体的数字计算题: 思考 1.已知两组数 1,2,3 和 4,5,6,若 c1 , c2 , c3 是 4,
5,6 的一个排列,则 1c1 ? 2c2 ? 3c3 的最大值是_3_2___, 最小值是__2_8__.
分析: 利用排列组合的知识可知共有 6 个不同 的和数,本题可以直接计算比较得答案.
如果数大一点呢? 思考 2.已知两组数 1,2,3 和 45,25,30,若c1 , c2 , c3 是 45,25,30 的一个排列,则 1c1 ? 2c2 ? 3c3 的最 大值是_2_2_0_ _,最小值是__1_8_0_.
可以通过直觉猜测到答案.

对应关系



备注

( 1,2,3) ( 25,30,45)
( 1,2,3) ( 25,45,30)
( 1,2,3) ( 30,25,45)
( 1,2,3) ( 30,45,25)
( 1,2,3) ( 45,25,30)
( 1,2,3) ( 45,30,25)

S1 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 220 S2 ? a1b1 ? a2b3 ? a3b2 ? 205 S3 ? a1b2 ? a2b1 ? a3b3 ? 215 S4 ? a1b2 ? a2b3 ? a3b1 ? 195 S5 ? a1b3 ? a2b1 ? a3b2 ? 185 S6 ? a1b3 ? a2b2 ? a3b1 ? 180

同序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 反序和

发现:反序和≤乱序和≤顺序和.

(1)设c1, c2 ,?, cn是数组b1, b2 ,?, bn的任何一个排列,



叫做数组(a1 , a2 ,?, an )

和(b1, b2 ,?, bn )的

(2)将 数 组(a1 , a2 ,?, an )和(b1 , b2 ,?, bn )按 相 反 顺 序 相 乘 所得的和
称为

(3)将 数 组(a1 , a2 ,?, an )和(b1 , b2 ,?, bn )按 相 同 顺 序 相 乘 所得的和
称为

定 理 (排 序 不 等 式 或 称 排 序 原理)
设a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn为 两 组 实 数, c1 , c2 ,?, cn是b1 , b2 ,?, bn的 任 一 排 列, 那 么 a1bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn 当 且 仅 当a1 ? a2 ? ? ? an或b1 ? b2 ? ? ? bn时, 反 序 和 等 于 顺 序 和.

例1 有10人 各 拿 一 只 水 桶 去 接 水, 设 水 龙 头 注 满 第i (i ? 1,2,?,10)个 人 的 水 桶 需 要ti分, 假 定 这 些ti各 不 相 同,问 只 有 一 个 水 龙 头 时, 应 如 何 安 排10人 的 顺 序, 使 他 们 等 候 的 总 时 间 最少? 这 个 最 少 的 总 时 间 等 于多 少?

例2 设a1 , a2 ,?, an是n个 互 不 相 同 的 正 整 数, 求 证

1?

1 2

?

1 3

???

1 n

?

a1

?

a2 22

?

a3 32

???

an n2

谢谢观看!

练习: 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水,如果水龙头注满 这 5 个人的水桶需要的时间分别是 4 分钟,8 分钟,6 分钟, 10 分钟,5 分钟。那么如何安排这 5 个人接水的顺序,才能 使他们等待的总时间最少?
分析:这是一个实际问题,需要将它数学化,即转化 为数学问题.设第 i 一个接水的人需要 ti 分钟,则 5 人 都接满水所需的 等待总时间是
S ? 5t1 ? 4t2 ? 3t3 ? 2t4 ? t5
作业:课本 P45 第 1,2 题.


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