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椭圆的简单几何性质-离心率问题》课件_图文

——椭圆的离心率

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a
同左
(? b,0)、(0, ? a)、 (0 , ? c) a>b 同左 同左

对称性
顶点坐标 焦点坐标 轴长 离心率 a、b、c 的关系

(? a,0)、 (0, ? b)、 (? c,0) 长轴长为2a, 短轴长为2b.

c e ? (0 ? e ? 1) a

a2=b2+c2

同左

类型一:分别求出a,c
1、求下列椭圆的离心率:

(1)4x2+9y2=36;z

· · xx· · k

(2)m2x2+4m2y2=1(m>0).

类型二:找出a,b,c的等式或不等式
1. 已知椭圆的两个焦点为 F1 、 F2 , A 为椭圆上一 点,且 AF1⊥AF2 ,∠ AF2F1 = 60°,求该椭圆 的离心率.

x2 y2 变式 1:过椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)的左焦点 F1 a b 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若 ∠F1PF2=60° ,则椭圆的离心率为( 2 A. 2 3 B. 3 1 C. 2 ) 1 D. 3

x y 变式 2:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别 a b 为 F1、F2,椭圆上存在一点 P,使∠F1PF2=90 90° ,
2 则椭圆离心率的取值范围是 _________. ? e ?1 2

2

2

寻找a,b,c的不等式 法一:几何特征 法二:变量的取值范围 法三:基本不等式

变式

x2 y 2 3、已知椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别

为 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) , 若 椭 圆 上 存 在 一 点 P 使
a c ? sin PF1 F2 sin PF2 F1 ,则该椭圆的离心率的取值范围



2 ?1 . e ?1

x2 y 2 浙江高考: 已知椭圆 a 2 ? b2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 右顶

点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于 点 P.若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( )

3 A. 2

2 B. 2

1 C. 3

1 D. 2

x2 y2 变式 :已知F1 (-c,0) F2 (c, 0)为椭圆 2 ? 2 ? 1的两个焦点,P为椭 a b 圆上一点且PF1 ? PF2 ? c 2 , 则此椭圆离心率的取值范围是() 3 A[ ,1) 3 1 1 B[ , ] 3 2 3 2 C[ , ] 3 2 2 D(0, ] 2

小结:
?一种问题: 离心率的求法

?两种题型: (1)直接求出a、c
(2)建立关于a、c的关系 ?三种方法: (1)利用几何特征
z· · x· x· · · · · k· ·

(2)利用变量的取值范围
(3)利用基本不等式

课后 思考:

还有其他方法吗?

x2 y2 变式 2:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别 a b 为 F1、F2,椭圆上存在一点 P,使∠F1PF2=90 60° , 则椭圆离心率的取值范围是_________.

2 ? e ?1 2


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