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函数的单调性第二课时

Y 世代教育
1.3.1 函数的单调性
主讲人:蓝永琛 复习回顾
※ 增函数、减函数的定义 y ;增函数:

x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

减函数:

y

x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

f(x1)

f(x2)

f(x1)

f(x2)

0

x1 x2

x

0

x1 x2

x

1、增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个 自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) . 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . ○ 2.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . 例如:求证函数 f ( x) ? x ?

1 ( - ?, 0) 在区间 上单调递增。 x

特别注意: (1)单调区间统一用开区间表示,不用考虑端点,因为对单独的一 个点考虑单调性没有实际意义。 (2)求单调区间时,切忌用并集,只能用“和”连接!

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新课导入
一.思考
f ?x1 ? ? f ?x2 ? 的几何意义? x1 ? x2

同学们请思考,利用定义法证明函数的单调性能否改写成判断其等价形式
f ?x1 ? ? f ?x2 ? 的符号? x1 ? x2

二.对勾函数 f ( x) ? x ?

a ?a ? 0? 的单调性 x

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三.复合函数 f ?g ( x)? 的单调性 复合函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 具有单调性的规律见下表:

y ? f (u )

增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘

减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗

u ? g ( x)
y ? f ( g ( x))

以上规律还可总结为: “同增异减” 。 例 1:函数 y ? A. (??,?3]

x 2 ? 2x ? 3 的单调减区间是 (
B. [?1,??) C. (??,?1]

) D. [1,??)

例 2:已知 f ( x) 是定义在 ?0,??? 上的增函数, ,且 f (2) ? 1 , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , (1)求 f (1), f (4) ; (2)满足 f ( x) ? 2 ? f ( x ? 3) 的实数 x 的范围。

四.函数的单调性的应用: 判断函数 y ? f ( x) 的单调性;比较大小;解不等式;求最值(值域) 。

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