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4.3.2 空间两点间的距离公式_图文

4.3.2

空间两点间的距离公式

(1)掌握空间两点间的距离公式, (2)会应用距离公式解决有关问题. (3)通过对空间两点间距离公式的探究与推导,初步意

识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基
本思想方法

D'
A' D

C'

B'
C

A

B

建筑用砖通常是长方体,我们可以拿尺子测量出一 块砖的长、宽和高,那么怎样测量它的对角线AC′的长 度呢?直接测量比较困难,我们可以用间接的方法去测

量。如果有三块砖,你如何测量AC′的长度,两块呢?

1.思考:类比平面两点间的距离公式的推导,在空间直

角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的
距离,怎么求? (1)先看简单的情形 空间中任意一点的坐标 P( x, y, z ) 到原点之间的距离公式会是怎样呢?

如图所示,设点P在

xoy 平面上的
OB ? x 2 ? y 2 .
x O A

z

射影是B.则点B的坐标是 ( x, y, 0). 在

P(x,y,z) y B(x,y,0)

xoy 平面上,有

在Rt ?OBP中,根据勾股定理
OP ? OB ? BP ,
2 2

BP ? z , 所以 OP ? x 2 ? y 2 ? z 2 .

这说明,在空间直角坐标系中,空间中任意一点 P( x, y, z )

OP ? x 2 ? y 2 ? z 2 . 与原点的距离

探究: 如果 OP 是定长r,那么 x2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 表示什么图形? 在空间中,到定点的距离 等于定长的点的轨迹

z

P
O y

以原点为球心,
半径长为 r 的球面.

x

(2)如果是空间中任意一点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P2 ( x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公式会是怎样呢? 如图,设 P ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x2 , y2 , z2 ) 1 是空间中任意两点,且
z

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

P ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x2 , y2 , z2 ) 1
在xoy平面上的射影分别
为M,N,那么M,N的坐标为

M ( x1 , y1 , 0)

N ( x2 , y2 , 0)

在xoy平面上, MN ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 . 过点


P1 作 P2 N 的垂线,垂足为H,
MP ? z1 , NP2 ? z2 , 1

z

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

所以 HP2 ? z2 ? z1 .

在Rt ?PHP2中, 1
P H ? MN ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 , 1

根据勾股定理
PP2 ? 1 PH ? HP2 ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 1
2 2

因此,空间中任意两点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x2 , y2 , z2 ) 之间的距离 P P2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 . 1

例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2)、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2 2 2 解: M 1M 2 ? (7 ? 4) ? (1 ? 3) ? (2 ? 1) ? 14,
2

M 2M 3 ?
2

(5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2) 2 ? 6,

M 3M1 ?
2

(4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,

? M 2 M 3 ? M 3 M1 ,
原结论成立.

练习: 1.求下列两点的距离

(1) A(2,3,5), B(3,1, 4) (2) A(6, 0,1), B(3,5, 7)
答案: (1). 6

(2). 70

例2. 在z轴上求与两点A(?4, 1, 7)和B(3, 5, ?2)等距离 的点. 解:设所求的点为M(0, 0, z),依题意有

MA ? MB
2

2

2 2 2 2 2 2 即 (0 ? 4) ? (0 ? 1) ? ( z ? 7) ? (3 ? 0) ? (5 ? 0) ? (?2 ? z)

14 解之得 z ? 9
4 所以所求点的坐标是 (0, 0, ). 9

练习:在z轴上求一点M,使点M 到A(1,0,2)与点B(1, -3,1)的距离相等.

答案: (0, 0, ?3)

1、已知两点M(-1,0,2),M(0,3,-1), 1 2 此两点间的距离为( A ) A. 19  B. 11 C.19 D.11

2、在RtΔ ABC中,∠BAC=90° , 三点坐标为A(2,1, ),B(1, , 1 1 2)
2 C(x,0, 1),则x = ____

1、会画空间直角坐标系; 2、已知点写出其空间直角坐标; 3、空间直角坐标系中距离公式.

不要害怕批评。当你提出新的观念,

就要准备接受人批评。


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