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WWW.HG8118.COM:高三数学一轮基础巩固 第4章 第7节 解三角形应用举例(含解析)新人教A版

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【走向高考】2016 届高三数学一轮基础巩固 第 4 章 第 7 节 解三 角形应用举例 新人教 A 版
一、选择题 1.(文)(2014·济南模拟)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处,且 A 到 C 距离为 2km,B 船 在灯塔 C 北偏西 40°,AB 两船距离为 3km,则 B 到 C 的距离为( A. 19km C.( 6+1)km [答案] B [解析] 由条件知,∠ACB=80°+40°=120°, 设 BC=xkm,则由余弦定理知 9=x +4-4xcos120°, ∵x>0,∴x= 6-1. (理)已知两座灯塔 A、B 与 C 的距离都是 a,灯塔 A 在 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在 C 的南 偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a C. 2a [答案] B [解析] 由余弦定理可知,AB =a +a -2a·a·cos120°=3a ,得 AB= 3a,故选 B. 2.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40n mile 的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30min 后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观察 灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点间的距离是( A.10 2n mile C.20 2n mile [答案] A [解析] 如图, 由条件可知△ABC 中, ∠BAC=30°, ∠ABC=105°, AB=20, ∠ACB=45°, )
2 2 2 2 2

)

B.( 6-1)km D. 7km

) B. 3 a D. 2a

B.10 3n mile D.20 3n mile

BC 20 由正弦定理得 = ,∴BC=10 2,故选 A. sin30° sin45°

3.海上有 A、B 两个小岛相距 10n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望

C 岛和 A 岛成 75°的视角,则 B、C 的距离是(

)
-1-

A.10 3n mile C.5 2n mile [答案] D [解析] 在△ABC 中由正弦定理得 ∴BC=5 6.

10 6 B. n mile 3 D.5 6n mile

10 BC = , sin45° sin60°

4.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20°,现高不变,将倾斜角改为 10°,则斜坡长 为( ) A.1 C.2cos10° [答案] C [解析] 如图,BD=1,∠DBC=20°,∠DAC=10°, B.2sin10° D.cos20°

在△ABD 中,由正弦定理得 ∴AD=2cos10°.

1 AD = , sin10° sin160°

5.(文)如图所示,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的 斜度为 15°,向山顶前进 100m 到达 B 处,又测得 C 对于山坡的斜度为 45°,若 CD=50m,山 坡对于地平面的坡度为 θ ,则 cosθ =( )

A.

3 2

B. 2- 3 2 2

C. 3-1 [答案] C [解析] 在△ABC 中,由正弦定理可知,

D.

AB·sin∠BAC 100sin15° BC= = =50( 6- 2), sin∠ACB sin?45°-15°?
在△BCD 中,sin∠BDC=

BC·sin∠CBD CD

-2-



50? 6- 2?·sin45° = 3-1. 50

由题图知,cosθ =sin∠ADE=sin∠BDC= 3-1. (理)(2014·贵阳模拟)如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海 拔 18km,速度为 1 000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30°,经过 1min 后又看到山顶的俯 角为 75°,则山顶的海拔高度为(精确到 0.1km)( )

A.11.4 C.6.5 [答案] B 1 50 [解析] AB=1 000× = (km), 60 3 ∴BC= 50 ·sin30°= (km). sin45° 3 2

B.6.6 D.5.6

AB

50 ∴航线离山顶 h= ×sin75°≈11.4(km). 3 2 ∴山高为 18-11.4=6.6(km). 6.如图,海岸线上有相距 5n mile 的两座灯塔 A、B,灯塔 B 位于灯 塔 A 的正南方向. 海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75° 方向,与 A 相距 3 2n mile 的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 60°方 向,与 B 相距 5n mile 的 C 处,则两艘轮船之间的距离为( A.5n mile C. 13n mile [答案] C [解析] 连接 AC,∠ABC=60°,BC=AB=5,则 AC=5.在△ACD 中,AD=3 2,AC=5, ∠DAC=45°,由余弦定理得 CD= 13. 7.在地面上一点 D 测得一电视塔尖的仰角为 45°,再向塔底方向前进 100m,又测得塔 尖的仰角为 60°,则此电视塔高约为________m.( A.237 C.247 [答案] A B.227 D.257 ) B.2 3n mile D.3 2n mile )

-3-

[解析] 解法 1:如图,∠D=45°,∠ACB=60°,DC=100,∠DAC=15°,

∵AC=

DC·sin45°
sin15°



∴AB=AC·sin60° = 100·sin45°·sin60° sin15° 100× = 2 3 × 2 2 ≈237.∴选 A. 6- 2 4

解法 2:在 Rt△ABD 中,∠ADB=45°,∴AB=BD, ∴BC=AB-100.在 Rt△ABC 中,∠ACB=60°, ∴

AB = 3,∴AB=150+50 3≈237. AB-100

二、填空题 8.(2014·镇江月考)一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在 北偏东 60°方向,行驶 4h 后,船到达 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯 塔的距离为________km. [答案] 30 2 [解析] 如图,依题意有 AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,在三角形 AMB 60 BM 中,由正弦定理得 = , sin45° sin30°

解得 BM=30 2(km). 9.(2014·潍坊模拟)如图, 一艘船上午 9∶30 在 A 处测得灯塔 S 在它的 北偏东 30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10∶00 到达 B 处, 此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处,且与它相距 8 2n mile.此船的航 速是________n mile/h. [答案] 32

-4-

[解析] 设航速长为 v n mile/h, 1 在△ABS 中,AB= v,BS=8 2,∠BSA=45°, 2 1 v 2 8 2 由正弦定理得: = ,∴v=32. sin30° sin45° 三、解答题 10.(文)港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站,港口正东方向的 B 处有一轮船,距 离检查站为 31n mile,该轮船从 B 处沿正西方向航行 20n mile 后到达 D 处观测站,已知观测 站与检查站距离 21n mile,问此时轮船离港口 A 还有多远?

[解析] 在△BDC 中,由余弦定理知, cos∠CDB=

BD2+CD2-BC2 1 =- , 2BD·CD 7

4 3 ∴sin∠CDB= . 7 π ∴sin∠ACD=sin(∠CDB- ) 3 π π 5 3 =sin∠CDBcos -cos∠CDBsin = . 3 3 14 在△ACD 中,由正弦定理知 = sin∠ACD sinA 5 3 3 ? AD= ×21÷ =15(n mile). 14 2 ∴此时轮船距港口还有 15n mile. (理)在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A 为( 3-1)n mile 的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75°的方向,距离 A 为 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3n mile/h 的速度 追截走私船.此时,走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船 沿什么方向能最快追上走私船? [解析] 如图所示,注意到最快追上走私船且两船所用时间相等, 若在 D 处相遇,则可先在△ABC 中求出 BC,再在△BCD 中求∠BCD. 设缉私船用 th 在 D 处追上走私船,则有 CD=10 3t,BD=10t, 在△ABC 中,∵AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120°,
-5-

AD

CD

∴由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=( 3-1) +2 -2·( 3-1)·2·cos120°=6, ∴BC= 6, ∵cos∠CBA=
2 2

BC2+AB2-AC2 2BC·AB
2

6+? 3-1? -4 2 = = , 2 2 6·? 3-1? ∴∠CBA=45°,即 B 在 C 正东. ∵∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD 中,由正弦定理得 sin∠BCD=

BD·sin∠CBD 10tsin120° 1 = = , CD 2 10 3t

∴∠BCD=30°. 即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船. [点评] 本例关键是首先应明确方向角的含义,在解应用题时,分析题意,分清已知与

所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一步可将实际问题 转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.

一、选择题 11.(2015·江西乐安一中月考)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c, 若 sinC+sin(B-A)=sin2A,则△ABC 的形状为( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 [答案] D [解析] ∵A+B+C=π ,∴sinC=sin(A+B), ∵sinC+sin(B-A)=sin2A, ∴sin(A+B)+sin(B-A)=sin2A, ∴2sinBcosA=2sinAcosA, ∴cosA=0 或 sinA=sinB, π ∴A= 或 A=B,故选 D. 2 12.(2014·四川雅安中学月考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边的长分别为 a,b,c, 若 asinA+bsinB<csinC,则△ABC 的形状是( ) )

B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

-6-

A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] C

B.直角三角形 D.正三角形

[解析] 由正弦定理可把原式化为 a +b -c <0,由余弦定理可知 cosC= 所以 C 为钝角,因此△ABC 为钝角三角形.

2

2

2

a2+b2-c2 <0, 2ab

13.(2014·山西长治二中、康杰中学等四校联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c,且 a=1,B=45°,S△ABC=2,则 b 等于( A.5 C. 41 [答案] A [解析] 根据正弦定理知
2 2

)

B.25 D. 5 2

a b 2 1 = ,故 bsinA= ,∵S△ABC=2,即 bcsinA=2,∴c sinA sinB 2 2
2

=4 2.根据余弦定理 b =a +c -2accosB=1+32-2×1×4 2×cos45°=25,可得 b=5. 故选 A. 二、填空题 14.(2014·皖北协作区联考)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,若

acosC+ 3asinC-b=0,则∠A=________.
[答案] [ 解析 ] π 6 由 acosC + 3 asinC - b = 0 得 sinAcosC + 3sinAsinC = sinB = sin(A+C) =

sinAcosC+cosAsinC,即 3sinAsinC=cosAsinC, ∵sinC≠0,∴tanA= 3 π ,∴A= . 3 6

21 15.(2013·湖北八市联考)如图所示,已知树顶 A 离地面 m,树上另 2 11 3 一点 B 离地面 m, 某人在离地面 m 的 C 处看此树, 则该人离此树________m 2 2 时,看 A,B 的视角最大. [答案] 6 21 11 [解析] 过 C 作 CF⊥AB 于点 F,设∠ACB=α ,∠BCF=β ,由已知得 AB= - =5(m), 2 2 11 3 21 3 AF 9 BF 4 BF= - =4(m),AF= - =9(m).则 tan(α +β )= = ,tanβ = = ,∴tanα = 2 2 2 2 FC FC FC FC

-7-

9

FC FC tan?α +β ?-tanβ 5 [(α +β )-β ]= = = ≤ 1+tan?α +β ?tanβ 36 36 1+ 2 FC+ 2 FC FC
36 = ,即 FC=6 时,tanα 取得最大值,此时 α 取得最大值.



4 5 36 = 5 .当且仅当 FC 12

FC· FC

FC

三、解答题 16.(文)如图,在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 α =30°,沿倾斜角为 β =15°的斜坡向 上走 10m 到 B,在 B 处测得山顶 P 的仰角为 γ =60°,求山高 h(单位:m).

[解析] 在三角形 ABP 中, ∠ABP=180°-γ +β , ∠BPA=180°-(α -β )-∠ABP =180°-(α -β )-(180°-γ +β )=γ -α . 在△ABP 中,根据正弦定理得 ∴ = , sin∠ABP sin∠APB

AP

AB

10 = , sin?180°-γ +β ? sin?γ -α ?

AP

10sin?γ -β ? ∴AP= . sin?γ -α ? 又 γ =60°,α =30°,β =15°, 10sinα sin?γ -β ? ∴山高为 h=APsinα = =5 2(m). sin?γ -α ? (理)在海岛 A 上有一座海拔 1 km 的山峰,山顶设有一个观察站 P,有一艘轮船按一固定 方向做匀速直线航行,上午 11∶00 时,测得此船在岛北偏东 15°、俯角为 30°的 B 处,到 11∶10 时,又测得该船在岛北偏西 45°、俯角为 60°的 C 处.

(1)求船的航行速度; (2)求船从 B 到 C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离. [解析] (1)设船速为 xkm/h,则 BC= km. 6
-8-

x

在 Rt△PAB 中,∠PBA 与俯角相等为 30°, ∴AB= 1 = 3. tan30°

同理,Rt△PCA 中,AC=

1 3 = . tan60° 3

在△ACB 中,∠CAB=15°+45°=60°, ∴由余弦定理得

BC=

? 3? +?

2

3 2 3 21 ? -2× 3× cos60°= , 3 3 3

∴x=6×

21 =2 21km/h,∴船的航行速度为 2 21km/h. 3

(2)作 AD⊥BC 于点 D,连接 PD, ∴当航行驶到点 D 时,AD 最小,从而 PD 最小.

此时,AD=

AB·AC·sin60° = BC



3 3 × 3 2 3 7 = . 14 21 3

∴PD=

3 7 2 259 1+? ?= . 14 14 259 km. 14

∴船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为

17.(文)如图所示,甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向做匀速直线航行,速度为 15 2 n mile/h, 在甲船从 A 岛出发的同时, 乙船从 A 岛正南 40n mile 处的 B 岛出发, 朝北偏东 θ (θ 1 =arctan )的方向做匀速直线航行,速度为 10 5n mile/h. 2

(1)求出发后 3h 两船相距多少海里? (2)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? (3)两船在航行中能否相遇?试说明理由.
-9-

[解析] 以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系. 设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x1,y1),

Q(x2,y2),
则 x1=15 2tcos45°=15t,y1=x1=15t, 1 2 5 5 由 θ =arctan 可得,cosθ = ,sinθ = , 2 5 5 故 x2=10 5tsinθ =10t,y2=10 5tcosθ -40=20t-40, (1)令 t=3,则 P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20),

|PQ|= ?45-30? +?45-20? = 850=5 34. 即两船出发后 3h,相距 5 34n mile. (2)由(1)的求解过程易知: |PQ|= ?x2-x1? +?y2-y1?
2 2 2

2

2

= ?10t-15t? +?20t-40-15t?
2 2

2

= 50t -400t+1600= 50?t-4? +800≥20 2, ∴当且仅当 t=4 时,|PQ|取得最小值 20 2. 即两船出发后 4h,相距最近,距离为 20 2n mile. (3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为 20 2n mile,故两船不可能相遇. (理)(2014·南京盐城二模)如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据规 划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P, 分别在两条公路边上建两个仓库 M, N(异于村庄 A), 要求 PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工 厂与村庄的距离最远)?

[解析] 设∠AMN=θ ,在△AMN 中, = . sin60° sin?120°-θ ? 4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin(120°-θ ). 3 在△APM 中,cos∠AMP=cos(60°+θ ).

MN

AM

AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP
= 16 4 3 2 sin (120°-θ )+4-2×2× sin(120°-θ )cos(60°+θ ) 3 3
- 10 -



16 16 3 2 sin (θ +60°)- sin(θ +60°)·cos(θ +60°)+4 3 3

8 20 =- [ 3sin(2θ +120°)+cos(2θ +120°)]+ 3 3 = 20 16 - sin(2θ +150°),θ ∈(0,120°). 3 3
2

当且仅当 2θ +150°=270°, 当 θ =60°时, AP 取得最大值 12, 即 AP 取得最大值 2 3.

- 11 -


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