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2014届江苏省扬州中学高三下学期4月周练文科数学试卷(带解析)

2014 届江苏省扬州中学高三下学期 4 月周练文科数学试卷(带解析)
一、填空题 1.已知复数 【答案】1 【解析】 试题分析:因为 考点:复数的运算 2.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要从编号依次为 01 到 50 的袋装奶粉中 抽取 5 袋进行检验,现将 50 袋奶粉按编号顺序平均分成 5 组,用每组选取的号码间隔一样 的系统抽样方法确定所选取的 袋奶粉的编号,若第 4 组抽出的号码为 36,则第 1 组中用抽 签的方法确定的号码是 . 【答案】06 【解析】 试题分析:因为按系统抽样方法选取的编号依次构成一个等差数列,且公差为 10,所以由 得: 因此确定的号码是 06. 考点:系统抽样 3.如图是一个算法的伪代码,输出结果是 . ,所以 ,因此 z 的虚部为 1. ,则 z 的虚部为 .

【答案】14 【解析】 试题分析:一共循环三次,第一次, 果是 考点:循环结构伪代码 4.已知函数 【答案】 【解析】 .在区间 上随机取一 ,则使得 的概率为 . 第一次, 第一次, 输出结

试题分析:由 考点:几何概型概率 5.若直线 【答案】 【解析】 试题分析:因为直线 考点:直线斜率 6.若直线 【答案】-e 【解析】 试题分析:设切点为 考点:利用导数求切线 7.将函数 是曲线





的概率为

的倾斜角为钝角,则实数 的取值范围是



的倾斜角为钝角,所以

的切线,则实数 的值为



,则有

因此

的图像向右平移

个单位,再将图像上每一点横坐标缩短到原 .

来的 倍,所得图像关于直线 【答案】 【解析】 试题分析:由题意得:函数 因为所得图像关于直线 . 考点:三角函数图像变换

对称,则 的最小正值为

变为 对称,所以

, 的最小正值为

8.已知 , 是空间中两条不同的直线, , , 是空间中三个不同的平面,则 题正确的序号是 . ①若 ③若 , , ,则 ,则 ; ②若 ; ④若 , , ,则 ,则 ; .

下列命

【答案】① 【解析】

试题分析:因为 ,所以 内任一直线,而 ,所以 内任一直线,因此 , ①正确,当 时,也能满足 , ,因此②错误,当 与 的交线时,也能满 足 , ,因此③错误,当 与 的交线垂直于 ,也能满足, ,因此④错误. 考点:直线与平面位置关系 9.若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为 率为 【答案】 【解析】 试题分析:由题意的: 为 或 或 ,所以 或 ,因此双曲线的离心率 或 ,则此双曲线的离心

考点:双曲线的渐近线 10.若 为正实数, 则 .

【答案】1 【解析】 试题分析:设 所以 因此

考点:指对数运算 11.已知 为不共线的向量,设条件 M: 恒成立.则 M 是 N 的 条件. 【答案】充要 【解析】 试题分析:因为 等式 恒成立等价于 ,因此 M 是 N 的充要条件. 考点:向量垂直,不等式恒成立 12.已知 【答案】 【解析】 , , ,则 的最小值为 . ,所以不 ;条件 N:对一切 ,不等式

试题分析:设

则 ,所以最小值为



考点:基本不等式 13.对任意 15 项的和为 【答案】 【解析】 试题分析:因为 ,所以 即 两项和为 因为 , 因此 . 因此数列 所以 任意相邻 或 ,函数 ,则 满足 . ,设 ,数列 的前

,又由 考点:数列求和 二、解答题 1.已知函数 (1)设 ,且 . ,求 的值;

(2)在△ ABC 中,AB=1, 【答案】(1) 【解析】 ,(2)

,且△ ABC 的面积为

,求 sinA+sinB 的值.

试题分析:(1)研究三角函数性质,首先将三角函数化为基本三角函数形式,即: = 于是 ,因为 = ,所以 ,所以 .再由 得 .(2)解三角形,基本 ,于是 ,所以 ,所以

方法利用正余弦定理进行边角转化. 因为△ ABC 的面积为 .因为 .可得 ,由(1)知 或 . .由余弦定理得

由正弦定理得

【解】(1) 由 于是 (2)因为 ,得 ,因为 ,由(1)知 ,所以 .

= , ,所以

=





因为△ ABC 的面积为

,于是

.



在△ ABC 中,设内角 A、B 的对边分别是 a,b. 由余弦定理得 由①②可得 由正弦定理得 所以 . 或 于是 ,所以 . . ②



考点:三角函数性质,正余弦定理 2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是菱形,AC=6,BD=8,E 是 PB 上任意一点,△ AEC 面积的最小值是 3.

(1)求证:AC⊥DE; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积. 【答案】(1)详见解析,(2) 【解析】 试题分析:(1)证明线线垂直,一般利用线面垂直性质与判定定理进行转化. 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD.又因为 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AC.因而 AC⊥平面 PDB, 从而 AC⊥DE.(2)设 AC 与 BD 相交于点 F.连 EF.由(1),知 AC⊥平面 PDB,所以 AC⊥EF.所以 S△ ACE= AC· EF,因此△ ACE 面积最小时,EF 最小,则 EF⊥PB.由 .

△ PDB∽△FEB,解得 PD= ×24× = .

,因为 PD⊥平面 ABCD,所以 VP—ABCD= S□ABCD·PD=

(1)证明:连接 BD,设 AC 与 BD 相交于点 F. 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD. 又因为 PD⊥平面 ABCD,AC 平面 ABCD,所以 PD⊥AC. 而 AC∩BD=F,所以 AC⊥平面 PDB. E 为 PB 上任意一点,DE 平面 PBD,所以 AC⊥DE. (2)连 EF.由(1),知 AC⊥平面 PDB,EF 平面 PBD,所以 AC⊥EF. S△ ACE= AC· EF, 在△ ACE 面积最小时,EF 最小,则 EF⊥PB. S△ ACE=3, ×6×EF=3,解得 EF=1. 由△ PDB∽△FEB,得 所以 PB=4PD,即 .由于 EF=1,FB=4, .解得 PD= = . ,

VP—ABCD= S□ABCD·PD= ×24×

考点:线面垂直性质与判定定理,四棱锥体积 3.在平面直角坐标系 中,如图,已知椭圆 E: .设直线 的左、右顶点分别为 、 为直径

,上、下顶点分别为 、 的圆关于直线 对称.

的倾斜角的正弦值为 ,圆 与以线段

(1)求椭圆 E 的离心率; (2)判断直线 与圆 的位置关系,并说明理由;

(3)若圆 的面积为 ,求圆 的方程. 【答案】(1) 【解析】 ,(2)相切,(3) .

试题分析:(1)求椭圆 E 的离心率,只需列出关于 的倾斜角的正弦值为 ,所以 线 ,即

的一个等量关系就可解出. 因为直线 ,(2)判断直 的倾斜角 中点 为

与圆 的位置关系,通常利用圆心到直线距离与半径大小比较. 因为直线 的斜率为 于是 的方程为: 与圆 ,因此

的正弦值为 ,所以直线 到直线 距离为

所以直线

相切,又圆 与以线段

直径的圆关于直线 以 设

对称,直线 关于直线 解得

与圆 相切.(3)由圆 的面积为 知圆半径为 1,所 : 的对称点为 ,则 .所以,圆 的方程为 .

【解】(1)设椭圆 E 的焦距为 2c(c>0), 因为直线 的倾斜角的正弦值为 ,所以 ,

于是 (2)由 于是 故 有

,即 可设 的方程为: 的中点 , 与圆 相切. 到

,所以椭圆 E 的离心率 , , 的距离 , 又以 为直径的圆的半径 ,即 ,则 ,

所以直线

(3)由圆 的面积为 知圆半径为 1,从而 设 的中点 关于直线 :

, 的对称点为 ,



解得

.所以,圆 的方程为



考点:椭圆离心率,直线与圆位置关系,点关于直线对称点 4.一个如图所示的不规则形铁片,其缺口边界是口宽 4 分米,深 2 分米(顶点至两端点 所在直线的距离)的抛物线形的一部分,现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形. (1)若保持其缺口宽度不变,求裁剪后梯形缺口面积的最小值;

(2)若保持其缺口深度不变,求裁剪后梯形缺口面积的最小值.

【答案】(1)6,(2) 【解析】

.

试题分析:(1)由题意得:保持其缺口宽度不变,需在 A,B 点处分别作抛物线的切线. 以抛 物线顶点为原点,对称轴为 轴,建立平面直角坐标系,则 ,从而边界曲线的 方程为 , .因为抛物线在点 处的切线斜率 .此时梯形的面积 ,所以,切线方程为 平方分米,即为所求.(2)

,与 轴的交点为

若保持其缺口深度不变,需使两腰分别为抛物线的切线. 设梯形腰所在直线与抛物线切于 时面积最小.此时,切线方程为 与 轴相交于 .此时,梯形的面积 . , ,其与直线 , 相交于 .故,当 ,

时,面积有最小值为

解:(1)以抛物线顶点为原点,对称轴为 轴,建立平面直角坐标系,则 从而边界曲线的方程为 , . , .

因为抛物线在点 处的切线斜率 所以,切线方程为 此时梯形的面积

,与 轴的交点为

平方分米,即为所求. 时面积最小.

(2)设梯形腰所在直线与抛物线切于 此时,切线方程为 其与直线 与 轴相交于 此时,梯形的面积 相交于 . , , ,

.……11 分

(这儿也可以用基本不等式,但是必须交代等号成立的条件)

=0,得 当 当 故,当 时, 时,

, 单调递减; 单调递增, .

时,面积有最小值为

考点:利用导数研究函数最值 5.已知数列 . (1)求数列 (2)求证: (3)求证:当 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)求数列 ,代入 ,∵ .(2)∵ 的通项公式,需先探究数列 的递推关系,由 ,得 ,得 ,∴ ,从而有 ,∴ ,∴ ,∴ 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,∴ , .(3)∵ .由(2)知 ,∴ ,∴ ,即 , 满足 , , ,数列 的前 项和为 ,

的通项公式; ; 时, .

,(2)详见解析,(3)详见解析.

∵ 解:(1)由 得 ∴ ∵ ∴

,所以 ,得 , ,从而有 , 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,∴ ,∴ ,即 , . , ,代入 ,

(2)∵

, , ∴ (3)∵ ∴ . 由(2)知 ∴ ,∵ , . ,

. 考点:求数列通项,数列不等式 6.已知函数 , ,其中 m∈R. 的单调性,并证明你的结论;

(1)若 0<m≤2,试判断函数 f (x)=f1 (x)+f2 (x) (2)设函数

若对任意大于等于 2 的实数 x1,总存在唯一的小于 2 的实数 x2,

使得 g (x1) =" g" (x2) 成立,试确定实数 m 的取值范围. 【答案】(1)单调减函数,(2)(0,4). 【解析】 试题分析:(1)两个函数独立,可分别论证函数 f(x)为单调减函数.因为 在 上单调递减,再得函数 ,从而

,所以当 0<m≤2,x≥2 时, 当 m≤0 时

函数 f(x)为单调减函数.(2)结合图形分析,可知讨论点为 , 时, 立.当 2≤m<4 时, 立.当 m≥4 时, 不成立. , , ,

,所以 g (x1) =" g" (x2)不成立.当 0<m<2 , , ,所以 g (x1) =" g" (x2)恒成 ,所以 g (x1) =" g" (x2)恒成

解:(1)f (x)为单调减函数.

证明:由 0<m≤2,x≥2,可得 = 由 且 0<m≤2,x≥2,所以 = . , .从而函数 f(x)为单调减函数. 在 上单调递减,再得函数 f(x)为单

(亦可先分别用定义法或导数法论证函数 调减函数.) (2)①若 m≤0,由 x1≥2, x2<2, 所以 g (x1) =" g" (x2)不成立. ②若 m>0,由 x>2 时, 所以 g(x)在 单调递减.从而 ,



, ,即 . , ,即 ,即 成立即可. .

(a)若 m≥2,由于 x<2时, 所以 g(x)在(-∞,2)上单调递增,从而 要使 g (x1) =" g" (x2)成立,只需 由于函数 所以 2≤m<4. 在

的单调递增,且 h(4)=0,

(b)若 0<m<2,由于 x<2 时,

所以 g(x)在 从而

上单调递增,在 ,即 .

上单调递减.

要使 g (x1) =" g" (x2)成立,只需

成立,即

成立即可.

由 0<m<2,得



故当 0<m<2 时,

恒成立.

综上所述,m 为区间(0,4)上任意实数. 考点:利用导数研究函数单调性,利用导数求参数取值范围


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