当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省各地高三数学 11月模拟试题分类汇编18《应用题》理

广东省各地 2014 届高三 11 月模拟数学理试题分类汇编 应用题
1、 (广州市培正中学 2014 届高三 11 月月考)由于浓酸泄漏对河流形成了污染,现决定向河 中投入固体碱。1 个单位的固体碱在水中逐步溶化,水中的碱浓度 y 与时间 x 的关系,可近似

? 16 ? x?8 0 ? x ? 2 ?? 地表示为 y ? ? x ? 2 。 只有当河流中碱的浓度不低于 才能对污染产 ...1 时, ? 2? x?4 ? 4? x
生有效的抑制作用。 (1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间有多长? (2)当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放 1 个单位的固体碱,此后,每一时刻河中 的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和,求河中碱浓度可能取得的最大值.

? 5 ? 17 ? 16 5 ? 17 ? x ?8 ?1 ? 5 ? 17 ?x? ?? 解: (1) ? x ? 2 ?? 2 ? ? x ? 2 --------2 分 2 2 ? ? ?0 ? x ? 2 ?0 ? x ? 2

?4 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 3 -------------4 分 ? ?2 ? x ? 4
综上,得

5 ? 17 ? x ? 3 -------------5 分 2

即若 1 个单位的固体碱只投放一次,则能够维持有效抑制作用的时间为

3?

5 ? 17 1 ? 17 --6 分 ? 2 2
16 ? x ? 8 单调递增-------------8 分 x?2

(2)当 0 ? x ? 2 时, y ? ?

当 2 ? x ? 4 时, y ? 4 ? x 单调递减-------------9 分 所以当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放 1 个单位的固体碱, 即

2? x?4





? ? 16 y ? 4 ? x? ? ? ? (x ? 2? ) ?8 ? ) 2 ? (x ? 2 ? ?
故当且仅当 2 x ?

16 ? 14 ? x ( 2 ------------------12 ) 分 x

16 , 即x ? 2 2 时, y 有最大值 14 ? 8 2 。-------------------14 分 x

2、 (广州增城市 2014 届高三上学期调研)要将两种大小不同的钢板截成 A,B,C 三种规格,每 张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示: 规格类型 A B C 钢板类型

第一

2

1

第二

1

2

1 3

今需要 A,B,C 三种规格的成品分别是 15,18, 27 块,至少需要这两种钢板共是 张. 答案:12 3、 (江门市 2014 届高三调研)为配制一种药液,进行了三次稀释,先在体积为 V 的桶中盛满 纯药液,第一次将桶中药液倒出 10 升后用水补满,搅拌均匀第二次倒出 8 升后用水补满,然 后第三次倒出 10 升后用水补满. ⑴ 求第一次稀释后桶中药液的含量; ⑵ 若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的 60%,求 V 的取值范围; ⑶ 在第⑵问的条件下,第三次稀释后桶中的药液能否达到容积的 50%,为什么? 解:⑴第一次稀释后桶中药液为 V ? 10 (升)……2 分 ⑵第 2 次倒出后桶中剩余农药 (V ? 10) ?

V ? 10 ? 8 ? V ? 60% ……5 分,即 V 2 ? 45V ? 200 ? 0 ……6 分, V 解得 5 ? V ? 40 ……7 分,又 V ? 10 ,所以 10 ? V ? 40 ……8 分。 ⑵不能达到 50% ……9 分,再次倒出 10 升后用水补满,桶中的农药占容积的比率不超过 V ? 10 ……10 分,因为 10 ? V ? 40 , 60% ? V V ? 10 10 10 所以 60% ? ? 60% ? (1 ? ) ? 60% ? (1 ? ) ? 45% ……12 分, V V 40 (V ? 10) ?
答: (略)……13 分。 4、 (揭阳一中、潮州金山中学 2014 届高三上学期期中联考) 在一般情况下,大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的 函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时, 造成堵塞, 此时车流速度为 0; 当 0 ? x ? 20 时, 车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次 函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) f ? x ? ? x ? v? x ? 可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) 解: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v? x ? ? 60 ; 当 20 ? x ? 200 时,设 v? x ? ? ax ? b , ……………2 分

V ? 10 ? 8 升……3 分,依题意 V

1 ? a?? ? ?200a ? b ? 0 ? 3 显然 v? x ? ? ax ? b 在 ?20,200?是减函数,由已知得 ? ,解得 ? 200 20 a ? b ? 60 ? ?b ? ? 3 ?

0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v? x ? 的表达式为 v? x ? = ? 1 ?200 ? x ?, 20 ? x ? 200. ? ?3 0 ? x ? 20, ?60 x, ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ? x ? ? ? 1 x?200 ? x ?, 20 ? x ? 200. ? ?3
当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 最大值为 60 ? 20 ? 1200 ; 当 20 ? x ? 200 时, f ? x ? ?
2

……………6 分

……………9 分

1 1 ? x ? ?200 ? x ? ? 10000 , x?200 ? x ? ? ? ? ? 3 3? 2 3 ?
10000 ? 3333 3

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立. 所以,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?20,200?上取得最大值 …………13 分

综上,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?0,200? 上取得最大值约为 3333 辆/小时.…………14 分 5、 (中山一中 2014 届高三上学期第二次统测) 为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热 层厚度 x (单位:cm)满足关系: C ? x ? ? 每年能源消耗费用为 8 万元.

k ( 0 ? x ? 10 , k 为常数),若不建隔热层, 3x ? 5

设 f ? x ? 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.

(1)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,并求最小值. 解: (1)当 x ? 0 时, c ? 8 ,? k ? 40 ,? C ( x) ?

20 ? 40 800 …………………6 分 ? 6x ? (0 ? x ? 10) 3x ? 5 3x ? 5 800 (2) f ( x) ? 2(3 x ? 5) ? ? 10 , 3x ? 5 800 800 ? 10 ? 2 2t ? ? 10 ? 70 . 设 3 x ? 5 ? t , t ? [5,35] ,? y ? 2t ? t t 800 当且仅当 2t ? 这时 x ? 5 ,因此 f ( x)最小值为70 , 即t ? 20时等号成立。 t 即隔热层修建 5cm 厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,最小值为 70 万元.………14 分 ? f ( x) ? 6 x ?

40 3x ? 5

6、 (广东省实验中学 2014 届高三上学期期中)

答案: