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湖南省新田县第一中学高中数学必修2课件:3.2.2直线的两点式方程_图文

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1、理解直线方程的两点式、截距
式的形式特点和适用范围; 2、能正确利用直线的两点式、截

距式公式求直线方程。

已知直线l经过两点P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), 且x1 ? x2 , 求直线的方程 .
y
P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

y2 ? y1 解: k ? ( x1 ? x2 ) l x2 ? x1 y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1
x

O

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

一、直线的两点式方程:
y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 由直线上 方程 y2 ? y1 x2 ? x1

两点确定的方程叫做直线的两点式方程, 简称两点式。
y
P1(x1, y1)

l

P2(x2, y2)

O

x

注:1.两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
2.直线的两点式方程使用的前提条件:

x1 ? x2 , y1 ? y2
3.方程( y ? y1 )( x2 ? x1 ) ? ( x ? x1 )( y2 ? y1 )可以表示 直角坐标平面上过任意两点的直线,但形式 不完美,一般不用.

例1:已知三角形的三个顶点A(-5, 0),

B(3, -3),C(0, 2),求:
(1)三角形三边所在直线的方程;
y?0 x ? (?5) ? 解: ? ? 3 ? 0 3 ? (?5) ? 3x ? 8 y ? 15 ? 0

y
C A O B

y ?3 x ?3 ? ? 2 ? 3 0 ? 3 ?5 x ? 3 y ? 6 ? 0

x

y ? 0 x ? (?5) ? 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ? ? 2 ? 0 0 ? (?5)

中点坐标公式:
线段P1P2中P1(x1, y1), P2(x2, y2),

则中点P(x,y) : y
P2(x2, y2) P (x , y ) P1(x1, y1)

O

x

x1 ? x2 ? x ? ? 2 ? y1 ? y2 ?y ? 2 ?

重心坐标公式:
在?ABC 中A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),

则重心G(x,y) : y
A C

G
B O

x1 ? x2 ? x3 ? x ? ? 3 ? y1 ? y2 ? y3 ?y ? 3 ?
x

例1:已知三角形的三个顶点A(-5, 0),

B(3, -3),C(0, 2),求:
(2)BC边上中线AM所在直线的方程;
3? 0 3 ? ? 解: ? x ? 3 1? 2 2 ?M ? ? ,? ? ? ?3? 2 1 ?2 2? ?y ? ?? A 2 2 ?

y
C O M B

y ?0 x ? (?5) ? ? 1 3 ? ?0 ? (?5) 2 2

x

? x ? 13y ? 5 ? 0

例1:已知三角形的三个顶点A(-5, 0),

B(3, -3),C(0, 2),求:
(3)BC边垂直平分线l所在直线的方程.
1 3 解: ? kl ? ? ? k BC 5
3? ? 1? 3? ? y ??? ? ? ? x ? ? 2? ? 2? 5?
A O

y
C M B l

x

? 3x ? 5 y ? 7 ? 0

已知直线l与x轴的交点为(a,0), 与y轴的交点为
(0, b), 其中a ? 0, b ? 0, 求直线l的方程.
y

解: B(0,b)
l

A(a,0)
x

y?0 x?a ? b?0 0?a x y ? ?1 a b
a ? ? x轴上的截距 b ? ? y轴上的截距

二、直线的截距式方程:

x y 方程 ? ? 1 由直线在坐标轴上的截距 a b
截距式。
y

确定的方程叫做直线的截距式方程,简称
B(0,b)
l

A(a,0)
x

注:(1)截距式适用于与两坐标轴不垂直

且不过原点的直线。
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等, 则直线l的方程: 则直线l的方程: 则直线l的方程:

x +y=a x -y = a

或y=kx 或y=kx

(3)若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数, (4)若直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等,

x + y = a 或 x -y = a 或y=kx

例2:求过点P(2, 3),并且在两坐标轴上的 截距相等的直线的方程。
解: ?1? .当直线两截距都是零时 3 设直线方程为y=kx,将P ? 2,3 ? 代入得k ? 2 3 ? 直线方程为y= x,? 3x-2y=0 2 ? 2? .当直线两截距都不是零时

x y 设直线方程为 + =1,将P ? 2,3? 代入得a ? 5 a a ? 直线方程为x+y=5

【总一总★成竹在胸】
1. 点斜式方程: y-y0=k(x-x0) (已知定点(x0, y0)及斜率k存在) 2. 斜截式方程: y=kx+b [已知k存在及截距 b(与y轴交点(0, b)] y ? y x ? x 1 1 3. 两点式方程: ?

y2 ? y1

x2 ? x1

[已知两定点(不适合与x轴或y轴垂直的直线)] x y 4. 截距式方程: ? ? 1 a b [已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴交点 (0, b))不适合过原点的直线]


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