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高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例例题与探究北师大版必修4


2.7 向量应用举例 典题精讲 例 1 用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和. 思路分析: 把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度, 转化为证明向量长度之间的关 系.基向量法和坐标法均可解决. 答案:已知:四边形 ABCD 是平行四边形,求证: | AC | +| BD | =2| AB | +2| AD | . 证法一:如图 2-7-1 所示,设 AB =a, AD =b, ∴ AC = AB + AD =a+b, BD = AD - AB =b-a. 2 2 2 2 图 2-7-1 ∴| AC | =(a+b) =a +2a·b+b , | BD | =(b-a) =a -2a·b+b . 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴| AC | +| BD | =2a +2b . 2 2 2 2 又∵2| AB | +2| AD | =2| OB | +2| OD | =2a +2b , 2 2 2 2 2 2 ∴| AC | +| BD | =2| AB | +2| AD | , 2 2 2 2 即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和. 证法二:如图 2-7-2 所示,以 A 为原点,以 AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系. 设 A(0,0) 、D(a,b) 、B(c,0) , ∴ AC = AB + AD 图 2-7-2 = OB + OD =(c,0)+(a,b)=(a+c,b), BD = AD - AB = OD - OB =(a,b)-(c,0)=(a-c,b). 1 ∴| AC | =(c+a) +b , | BD | =(a-c) +b . ∴| AC | +| BD | =2a +2c +2b . 又∵2| AB | +2| AD | =2| OB | +2| OD | =2a +2c +2b , ∴| AC | +| BD | =2| AB | +2| AD | , 即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和. 绿色通道: 1.向量法解决几何问题的步骤: ①建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为 向量问题; ②通过向量运算(有基向量法和坐标法两种) ,研究几何元素之间的关系; ③把运算结果“翻译”成几何关系. 这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为:一建二算三译;也可说成为:捡 便宜(建算译). 2.平面几何经常涉及距离、 夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模 及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应 的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元 素之间的关系,最后将结论转化为几何问题. 变式训练 如图 2-7-3 所示,AC、BD 是梯形 ABCD 的对角线,BC>AD,E、F 分别为 BD、AC 的中点.试用 向量证明:EF∥BC. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 图 2-7-3 思路分析:证明 EF∥BC,转化为证明 EF∥BC,选择向量基底或建立坐标系均可解决. 证法一(基向量法) :设 AB =a, AD =b,则有 BD = AD - AB =b-a. ∵ AD ∥ BC , ∴存在实数 λ >1 使 BC =λ AD =λ b. ∵E 为 BD 的中点, ∴ BE = 1 1 BD = (b-a). 2 2 1 1 1 1 1 CA =

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