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高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例例题与探究北师大版必修4

2.7 向量应用举例 典题精讲 例 1 用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和. 思路分析: 把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度, 转化为证明向量长度之间的关 系.基向量法和坐标法均可解决. 答案:已知:四边形 ABCD 是平行四边形,求证: | AC | +| BD | =2| AB | +2| AD | . 证法一:如图 2-7-1 所示,设 AB =a, AD =b, ∴ AC = AB + AD =a+b, BD = AD - AB =b-a. 2 2 2 2 图 2-7-1 ∴| AC | =(a+b) =a +2a·b+b , | BD | =(b-a) =a -2a·b+b . 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴| AC | +| BD | =2a +2b . 2 2 2 2 又∵2| AB | +2| AD | =2| OB | +2| OD | =2a +2b , 2 2 2 2 2 2 ∴| AC | +| BD | =2| AB | +2| AD | , 2 2 2 2 即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和. 证法二:如图 2-7-2 所示,以 A 为原点,以 AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系. 设 A(0,0) 、D(a,b) 、B(c,0) , ∴ AC = AB + AD 图 2-7-2 = OB + OD =(c,0)+(a,b)=(a+c,b), BD = AD - AB = OD - OB =(a,b)-(c,0)=(a-c,b). 1 ∴| AC | =(c+a) +b , | BD | =(a-c) +b . ∴| AC | +| BD | =2a +2c +2b . 又∵2| AB | +2| AD | =2| OB | +2| OD | =2a +2c +2b , ∴| AC | +| BD | =2| AB | +2| AD | , 即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和. 绿色通道: 1.向量法解决几何问题的步骤: ①建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为 向量问题; ②通过向量运算(有基向量法和坐标法两种) ,研究几何元素之间的关系; ③把运算结果“翻译”成几何关系. 这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为:一建二算三译;也可说成为:捡 便宜(建算译). 2.平面几何经常涉及距离、 夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模 及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应 的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元 素之间的关系,最后将结论转化为几何问题. 变式训练 如图 2-7-3 所示,AC、BD 是梯形 ABCD 的对角线,BC>AD,E、F 分别为 BD、AC 的中点.试用 向量证明:EF∥BC. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 图 2-7-3 思路分析:证明 EF∥BC,转化为证明 EF∥BC,选择向量基底或建立坐标系均可解决. 证法一(基向量法) :设 AB =a, AD =b,则有 BD = AD - AB =b-a. ∵ AD ∥ BC , ∴存在实数 λ >1 使 BC =λ AD =λ b. ∵E 为 BD 的中点, ∴ BE = 1 1 BD = (b-a). 2 2 1 1 1 1 1 CA = BC + ( BA - BC )= ( BA + BC )= ( BC - AB )= 2 2 2 2 2 ∵F 为 AC 的中点, ∴ BF = BC + CF = BC + (λ b-a). 2 1 1 1 1 (λ b-a)(b-a)=( λ - )b. 2 2 2 2 1 1 1 ∴ EF =[ ( λ - )· ] BC . 2 2 ? ∴ EF = BF - BE = ∴ EF ∥ BC . EF∥BC. 证法二(坐标法):如图 2-7-4 所示,以 BC 为 x 轴,以 B 为原点建立平面直角坐标系.则 B(0,0),设 A(a,b),D(c,b),C(d,0). 图 2-7-4 c b a?b b , ). , ),F( 2 2 2 2 a?b b c b a?d ?c , )-( , )=( ,0 ), BC =(d,0). ∴ EF =( 2 2 2 2 2 a?d ?c ∵ ×0-d×0=0. 2 ∴E( ∴ EF ∥ BC . ∴EF∥BC. 例 2 如图 2-7-5,一艘船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河 水的流速为 2 km/h,求船的实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示). 图 2-7-5 思路分析: 船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度, 用平行四边形法则合成即可. 解:如图 2-7-5 所示,设 AD =a 表示船垂直于对岸行驶的速度, AB =b 表示水流的速度, 以 AD 、 AB 为邻边作平行四边形 ABCD,则 AC 就是船的实际航行速度,即 AC =a+b, ∵|a|= 2 3 ,|b|=2,a·b=0, ∴| AC | =(a+b) =a +2a·b+b =16,即| AC |=4. 2 2 2 2 3 ∵ AC · AB =(a+b)·b=a·b+b =4, ∴cos〈 AC , AB 〉= 2 | AC | ? | AB | | AC || AB | ? 4 1 ? . 2? 4 2 又∵0°≤〈 AC , AB 〉≤180°, ∴〈 AC , AB 〉=60°, 即船的实际航行速度的大小为 4 km/h,方向与水的流速间的夹角为 60°. 绿色通道: 用向量法解决物理问题的步骤: (类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤) ①把物

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