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高三一轮复习概率教案


高三一轮复习概率教案
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 全国通用 1、用样本估计总体; 2、随机抽样、分层抽样和系统抽样方法; 3、平均数、方差、标准差;几何概型、古典概型、二

适用年级 课时时长(分钟)

高中三年级 60

教学目标

1、了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图; 2、理解它们各自的特点.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.能从样本数据中提取 基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释; 3、会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样 本估计总体的思想; 4、会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.理解随机抽样的必要性

和重要性. 5、会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.了解分层抽样和系统抽样方法.

教学重点

1、随机抽样、分层抽样和系统抽样三种抽样方法; 2、用样本估计总体;平均数,方差。

教学难点

古典概型、几何概型、二项分布的综合应用

教学过程
一、课堂导入
1.该部分常考内容有几何概型、古典概型、离散型随机变量的概率分布、均值、方差,常与相互独立事件的概率、n 次 独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看,两种题型都有可能出现,填空题突出考查基础知识、基本技能,有时会在 知识交汇点处命题;解答题则着重考查知识的综合运用,考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的概率分 布等,都属于中、低档题.

二、复习预习
(1)随机事件的概率范围:0≤P(A)≤1;必然事件的概率为 1; 不可能事件的概率为 0. (2)古典概型的概率公式 m A中所含的基本事件数 P(A)= n = . 基本事件总数 (3)几何概型的概率公式 P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? .

三、知识讲解
考点1 条件概率
在 A 发生的条件下 B 发生的概率: P(B|A)= P?AB? . P?A?

相互独立事件同时发生的概率 P(AB)=P(A)P(B).

考点 2 独立重复试验
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为
k n-k P n(k)=Ck ,k=0,1,2,?,n. np (1-p)

考点3 超几何分布
k n-k CM CN-M 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则 P(X=k)= Cn ,k=0,1,2,?,m,其中 m N

=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.此时称随机变量 X 服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽 样,超几何分布中的参数是 M,N,n.

考点 4 离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,ξ 取每一个值 xi 的概率为 P(ξ=xi)=pi,则称下表: ξ P 为离散型随机变量 ξ 的概率分布表. (2)离散型随机变量 ξ 的概率分布具有两个性质:①pi≥0,②p1+p2+?+pi+?=1(i=1,2,3,?). (3)E(ξ)=x1p1+x2p2+?+xnpn+?为 ξ 的数学期望,简称期望. V(ξ)=(x1-E(ξ))2· p1+(x2-E(ξ))2· p2+?+(xn-E(ξ))2· pn+?叫做随机变量 ξ 的方差. (4)性质 ①E(aξ+b)=aE(ξ),V(aξ+b)=a2V(ξ); ②X~B(n,p),则 E(X)=np,V(X)=np(1-p); ③X~两点分布,则 E(X)=p,V(X)=p(1-p). x1 p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ?

四、例题精析
考点一 例1 相互独立事件的概率

如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连结成一个系统.当 K 正常 工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知 K、 A1、A2 正常工作的概率依次为 0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为________.

【规范解答】0.864 由题意知 K,A1,A2 正常工作的概率分别为 P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8, ∵K,A1,A2 相互独立, ∴A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 P( A1 A2)+P(A1 A 2)+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8= 0.96. ∴系统正常工作的概率为 P(K)[P( A1 A2)+P(A1 A 2)+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864. 【总结与反思】 本题考察了求相互独立事件的概率,属于基础题。

考点二 例2

随即变量的均值

甲乙两支球队进行总决赛,比赛采用七场四胜制,即若有一队先胜四场,则此队为总冠军,比赛结束.因两队实 1 力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为2.据以往资料统计,第一场比赛可获得门票收入40万元,以后每场比赛门 票收入比上一场增加10万元. (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为 300 万元的概率; (2)设总决赛中获得的门票总收入为 X,求 X 的均值 E(X).

1 【规范解答】(1) 4.(2) E(X)=377.5 (1)依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为 40,公差为 10 的等差数列. 设此数列为{an},则易知 a1=40,an=10n+30, n?10n+70? ∴Sn= =300. 2 解得 n=-12(舍去)或 n=5,所以总决赛共比赛了 5 场. 14 1 则前 4 场比赛的比分必为 1∶3,且第 5 场比赛为领先的球队获胜,其概率为 C1 4( ) = . 2 4 (2)随机变量 X 可取的值为 S4,S5,S6,S7,即 220,300,390,490. 1 1 又 P(X=220)=2· (2)4=8, 14 1 P(X=300)=C1 4( ) = , 2 4 15 5 P(X=390)=C2 5( ) = , 2 16

16 5 P(X=490)=C3 6( ) = . 2 16 所以,X 的概率分布为 X P 220 1 8 300 1 4 390 5 16 490 5 16

1 1 5 5 所以 X 的均值为 E(X)=220×8+300×4+390×16+490×16=377.5(万元). 【总结与反思】本题考察了随即变量的概率和均值求法,结合了数列的求和公式,属于综合应用,我们要能够知道 随即变量均值公式的求法,带人数值即可。

考点三 例3

二项分布的期望

某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需要再补种 2 粒,补种的种子

数记为 X,则 X 的数学期望为________.

【规范解答】200 种子发芽率为 0.9,不发芽率为 0.1,每粒种子发芽与否相互独立,故设没有发芽的种子数为 ξ,则 ξ~B(1 000,0.1), ∴E(ξ)=1 000×0.1=100,故需补种的种子数的期望为 2·E(ξ)=200. 【总结与反思】本题考察了二项分布的期望公式,带人数值即可。

考点四

几何概型的应用

例 4 花园小区内有一块三边长分别是 5 m, 5 m, 6 m 的三角形绿化地, 有一只小花猫在其内部玩耍, 若不考虑猫的大小, 则在任意指定的某时刻,小花猫与三角形三个顶点的距离均超过 2 m 的概率是________.

π 【规范解答】1-6 如图所示,当小花猫与三角形 ABC 的三个顶点的距离均超过 2 m 时,小花猫要在图中的空白区域内.由于三角形为等腰三角形, 底边 BC 上的高 AD=4 m,所以△ABC 的面积是 12 m2,因为三角形 的内角和等于 π,则图中的三个扇形的面积之和等于半径为 2 的圆面积的一半,即 3 个 扇形的面积之和等于 2π,所以空白区域的面积为 12-2π,故所求的概率 P= π -6. 【总结与反思】本题考察了概率中几何概型的计算公式,重点是能够根据几何概型的概念判断此题是考察几何概型的, 根据计算公式带人即可。 12-2π 12 =1

考点五

概率的综合应用

1 例 5 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是2外, 2 其余每局比赛甲队获胜的概率都是3.假设各局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1, 则胜利方得 3 分, 对方得 0 分; 若比赛结果为 3∶2, 则胜利方得 2 分, 对方得 1 分. 求 乙队得分 X 的概率分布及数学期望.

【规范解答】 (1)设“甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利”分别为事件 A,B,C, 2 2 2 8 则 P(A)=3×3×3=27, 2? 2 8 ?2?2 ? P(B)=C2 3?3? ×?1-3?× = , ? ? ? ? 3 27 2?2 1 4 ?2?2 ? P(C)=C2 4?3? ×?1-3? × = . ? ? ? ? 2 27 (2)X 的可能的取值为 0,1,2,3. 16 则 P(X=0)=P(A)+P(B)=27, 4 P(X=1)=P(C)=27, 2?2 ?2?2 ? 1? 4 ? P(X=2)=C2 4×?1-3? ×?3? ×?1-2?= , ? ? ? ? ? ? 27 ?1? 2?1?2 2 1 1 ?3? × × = . P(X=3)=?3?3+C3 ? ? ? ? 3 3 9 ∴X 的概率分布为

X P 16 4 4 1 7 ∴E(X)=0×27+1×27+2×27+3×9=9.

0 16 27

1 4 27

2 4 27

3 1 9

【总结与反思】本题第(1)小问考察了相互独立事件的概率,第(2)小问考察了离散型随即变量的期望。

课程小结
概率模型的应用,需熟练掌握以下常考的五种模型: (1)基本事件的发生具有等可能性,一般可以抽象转化为古典概型问题,解决古典概型问题的关键是分清基本事件个 数n与事件A中包含的基本事件个数m; (2)与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题,一般可以应用几何概型求解,即随机事件A的概率可用“事件 A包含的基本事件所占图形的度量(长度、 面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、 面积或体积)” 之比表示; (3)两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题,可转化为互斥事件来解决,解决这类问题的关键是分清事件是 否互斥


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