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求递推数列的通项公式的十一种方法(包含特征根和不动点)


求递推数列的通项公式的九种方法
利用递推数列求通项公式, 在理论上和实践中均有较高的 价值.自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和高中 数学联赛的热点之一.

13 4 1 1 ? ? , 公 比 为 . 故 9 3 9 3 1 1 1 1 1 bn ?1 ? b1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n . 故 a n ? a n ?1 ? ( ) n . 由 3 9 3 3 3 3 1 1 n 逐差法可得: a n ? ? ( ) . 2 2 3 b1 ? a 2 ? a1 ?
例 4 已知数列{ an },其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且当 n≥3 时,

一、作差求和法
例 1 在数列{ an }中, a1 ? 3 , a n ?1 通项公式 an . 解 : 原 递 推 式 可 化 为 : a n ?1 ? a n ?

an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 , 求 通 项 公 式 an 。 解
1 ,求 ? an ? n(n ? 1)



an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 得: (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 1 ,令 bn?1 ? an ? an?1 ,则上式为 bn?1 ? bn?2 ? 1 ,因此 {bn } 是一个

1 1 ? 则 n n ?1

等差数列, b1 ? a2 ? a1 ? 1 ,公差为 1.故 bn ? n .。 由 于

1 1 1 1 a 2 ? a1 ? ? , a3 ? a 2 ? ? 1 2 2 3 1 1 1 1 a 4 ? a3 ? ? ,……,a n ? a n ?1 ? ? 逐项相加 3 4 n ?1 n 1 1 得: a n ? a1 ? 1 ? .故 a n ? 4 ? . n n

b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? an ? 1
又 b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? 所以 a n ? 1 ?

n(n ? 1) 2

1 1 n(n ? 1) ,即 a n ? (n 2 ? n ? 2) 2 2

二、作商求和法 四、积差相消法
例 2
2

设 数 列 { an } 是 首 项 为 1 的 正 项 数 列 , 且
2

,则它的通项 (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0 (n=1,2,3 …) 公式是 an =▁▁▁(2000 年高考 15 题) 解:原递推式可化为:

例5 (1993 年全国数学联赛题一试第五题) 设正数列 a0 ,

a1 , an … , an , … 满 足

a n a n ?2 ? an?1an?2 = 2a n?1

(n ? 2) 且 a0 ? a1 ? 1,求 {an } 的通项公式.
∵ an?1 ? an > 解 将递推式两边同除以

[(n ? 1)an?1 ? nan ](an?1 ? an ) =0
0,

an?1a n?2 整 理 得 :

a n ?1 n ? an n ?1


an a ? 2 n?1 ? 1 a n?1 an?2
设 bn =

a a 2 1 a3 2 a 4 3 n ?1 ? , ? , ? , ……, n ? a1 2 a2 3 a3 4 a n ?1 n an 1 1 ? ,即 an = . n a1 n

an ,则 b1 ? a n ?1

a1 =1, bn ? 2bn?1 ? 1 ,故有 a0
⑴ b3 ? 2b2 ? 1 ⑵

逐项相乘得:

b2 ? 2b1 ? 1
… … …

… ( n ?1)

bn ? 2bn?1 ? 1

三、换元法
例 3 已知数列{ an },其中 a1 ? 时, a n ? a n ?1 ?

由 ⑴ ?2

n?2

+ ⑵ ?2

n ?3

0 + … +( n ? 1 ) 2 得

4 13 , a 2 ? ,且当 n≥3 3 9

bn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1
an n = 2 ?1 . a n ?1

=

2n ? 1





1 (a n ?1 ? a n ? 2 ) ,求通项公式 an (1986 年高 3

考文科第八题改编). 解:设 bn?1 ? an ? an?1 ,原递推式可化为:

逐项相乘得: an = (2 ? 1) ? (2 ? 1) ? ?? (2 ? 1) ,考
2 2 2 n 2

1 bn ?1 ? bn ? 2 , {bn } 3

















虑到 a0 ? 1 ,



1 ? an ? ? 2 2 2 n 2 ?(2 ? 1) (2 ? 1) ? ? ? (2 ? 1)
.

八、待定系数法
待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变 成为何种等比数列,可以少走弯路.其变换的基本形式如下: 1、an?1 ? Aan ? B(A、 B 为常数) 型, 可化为 an?1 ? ? =A ( an ? ? )的形式.

( n ? 0) ( n ? 1)

五、取倒数法
例 6 已知数列{ an }中,其中 a1 ? 1, ,且当 n≥2 时,

例 9 若数列{ an }中,a1 =1,S n 是数列{ an }的前 n 项之 和, 且 S n?1 ?

an ?

a n ?1 ,求通项公式 an 。 2a n?1 ? 1
将 an ?

Sn (n ? 1 ) , 求数列{ an }的通项公式是 an . 3 ? 4S n
Sn 1 1 可变形为 ? 3? ?4 S n?1 Sn 3 ? 4S n
1 S n ?1 1 ? ?) Sn

解 递 推 式 S n?1 ? (1) 设 ( 1 ) 式



a n ?1 1 1 两边取倒数得: ? 这 ? 2, a n a n ?1 2a n?1 ? 1

说明 {

1 1 } 是一个等差数列,首项是 ? 1 ,公差为 2,所以 an a1







? ? ? 3(

1 1 . ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1,即 a n ? 2n ? 1 an

(2) 比较(1)式与(2)式的系数可得 ? ? 2 ,则有

1 S n?1

? 2 ? 3(

1 1 1 故数列{ ? 2) 。 ? 2 }是以 ? 2 ? 3 为首 Sn Sn S1 1 ? 2 = 3 ? 3n?1 ? 3n 。 所 以 Sn

六、取对数法
例 7 若数列{ an }中,a1 =3 且 an?1 ? an (n 是正整数) , 则它的通项公式是 an =▁▁▁(2002 年上海高考题). 解 由 题 意 知 an > 0 , 将 an?1 ? an 两 边 取 对 数 得
2 2

项,3 为公比的等比数列。

Sn ?


1 。 3 ?1
n

n

?2



a n ? S n ? S n?1

1 1 ? 2 ? 3n ? n ? ? 。 3 ? 2 3n?1 ? 2 32 n ? 8 ? 3n ? 12

lg an?1 ? 2 lg an , 即

lg a n ?1 ? 2 , 所 以 数 列 { l ga n } 是 以 lg a n

数 列 { an } 的 通 项 公 式 是 an ? ?

1 ? ?

? 2 ? 3n ? ? 32n ? 8 ? 3n ? 12

lg a1 = lg 3 为 首 项 , 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ,

( n ? 1) ( n ? 2)



lg an ? lg a1 ? 2 n?1 ? lg 32

n ?1

,即 an ? 32

n ?1

. 2、 an?1 ? Aan ? B ? C (A、B、C 为常数,下同)型,
n

七、平方(开方)法
例 8 若数列{ an }中, a1 =2 且 a n ? 求它的通项公式是 an .
2 3 ? an , ?1 (n ? 2 )

可化为 an?1 ? ? ? C n?1 = A(an ? ? ? C )的形式.
n

例 10 在数列{ an }中, a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3 通项公式 an 。

n?1

,求



将 an ?
2

3? a

2 n ?1

两边平方整理得 a ? a
2 n

2 n?1

数 ? 3。

解:原递推式可化为:

2 列 { an } 是 以 a1 =4 为 首 项 , 3 为 公 差 的 等 差 数 列 。 2 an ? a12 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1 。 因 为 an > 0 , 所 以

an?1 ? ? ? 3n ? 2(an ? ? ? 3n?1 )
比 较 系 数 得



?

=-4 , ① 式 即 是 :

an ? 3n ? 1 。

an?1 ? 4 ? 3n ? 2(an ? 4 ? 3n?1 ) .
则 数 列 {an ? 4 ? 3
n?1

} 是一个等比数列,其首项

a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5 ,公比是 2.

∴ an ? 4 ? 3n?1 ? ?5 ? 2 n?1 即 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2 n?1 . 3 、

例 13 在各项均为正数的数列 {an } 中, Sn 为数列 {an } 的 前 n 项和, Sn = 型 , 可 化 为

an?2 ? A ? an?1 ? B ? an

1 1 ( an + ) ,求其通项公式。 2 an

an?2 ? ?an?1 ? ( A ? ? ) ? (an?1 ? ?an ) 的形式。
例 11 在 数 列 { an } 中 , a1 ? ?1, a2 ? 2 , 当 n ? N , 求通项公式 an .

求递推数列通项的特征根法与不动点法
一、形如 an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数)的数列 形如 a1 ? m1 , a2? m,2 n?a ? 2

an?2 ? 5an?1 ? 6an ①
解:①式可化为:

an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ?an )
比较系数得 ? =-3 或 ? =-2,不妨取 ? =-2.①式可化为:

p ?1 n ? a

n

q ( a ,是常数) p q

的二阶递推数列都可用特征根法求得通项 an ,其特征 方程为 x2 ? p x ? …① q 若①有二异根 ? , ? ,则可令 an ? c1? n ? c 2 ? n (c ,1c 是待定常数) 若 ① 有 二 重 根 ? ?? , 则 可 令
2

an?2 ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an )
则 {an?1 ? 2an }是一个等比数列, 首项 a2 ? 2a1 =2-2 (-1) =4,公比为 3. ∴ an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 .利用上题结果有:

an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1 .
4 、

an ? ( c c) ? n ( 1c, 是待定常数) c 1 ? n2 2
型 , 可 化 为

an?1 ? Aan ? Bn ? C

再利用 a1 ? m 1 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an . , a 2? m , 2

an?1 ? ?1n ? ?2 ? A[an ? ?1 (n ? 1) ? ?2 ] 的形式。
例 12 在 数 列 { an } 中 , a1 ? ① 求通项公式 an . 解 ①式可化为:

3 , 2an ? an?1 =6 n ? 3 2


a1 ? 2

1
,? a2


n?






a? 3 1
n


*

{an }





? 3 a ,? 2 ? n

,求数列 a2 n{ (an } 的通 N )

项 an . 解:其特征方程为 x2 ? 3x ? 2 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 2 ,令

2(an ? ?1n ? ?2 ) ? an?1 ? ?1 (n ? 1) ? ?2
② 比较系数可得:

an ? c1 ?1n ? c2 ? 2n ,
? a1 ? c1 ? 2c2 ? 2 ? ? a2 ? c1 ? 4c2 ? 3

?1 =-6, ?2 ? 9 ,② 式为 2bn ? bn?1
9 {bn } 是一个等比数列,首项 b1 ? a1 ? 6n ? 9 ? ,公 2 1 比为 . 2 9 1 n ?1 ∴ bn ? ( ) 2 2 1 n 即 a n ? 6n ? 9 ? 9 ? ( ) 2 1 n 故 a n ? 9 ? ( ) ? 6n ? 9 . 2







?c1 ? 1 ? ? 1 c2 ? ? ? 2



?an ? 1 ? 2n?1 .



2




n?


2 ?





{an }





a1 ? 1
项 an .

,? a2

2? a,

? 4 n

求数列 {an a ? 1 n * 4, a n (} 的通 N

)

解:其特征方程为 4 x 2 ? 4 x ? 1 ,解得 x1 ? x2 ?

九、猜想法
运用猜想法解题的一般步骤是: 首先利用所给的递推式 求出 a1 , a2 , a3 , ……,然后猜想出满足递推式的一个通项公式

1 ,令 2

?1? an ? ? c1 ? nc2 ? ? ? , ?2?

n

an ,最后用数学归纳法证明猜想是正确的。



1 ? a ? ( c ? c ) ? ?1 1 1 2 ? ? 2 ? ? a ? ( c ? 2c ) ? 1 ? 2 2 1 2 ? ? 4

, 得

?c1 ? ?4 ? ? c2 ? 6

等比数列,? ,

an ? 1 1 ? 1 ? 3n ? (?1)n ? ? ? ? ? ,? an ? n . an ? 1 3 ? 3 ? 3 ? (?1)n

n ?1

3n ? 2 ? an ? n ?1 . 2

例 4.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ? 求数列 {an } 的通项 an .

2an ? 1 (n ? N * ) , 4an ? 6

二、形如 an ? 2 ?

Aan ? B 的数列 Can ? D Aa * n ? B ,a1 ? m , n ? N ( A , B , C ,是D Ca n ? D

解:其特征方程为 x ?

对于数列 an ? 2 ?

常数且 C ? 0 , A D? B C ) ?0 其 特 征 方 程 为 x?
2 …② Cx ? ( D? A ) x ? B ?0

A x? B , 变 形 为 C x? D

若②有二异根 ? , ? , 则可令

an ?1 ? ? a ?? ? c ? n (其 an?1 ? ? an ? ?

中 c 是待定常数) ,代入 a1 , a2 的值可求得 c 值.
? a ?? ? a ?? 这样数列 ? n , 公比为 c 的等 ? 是首项为 1 a1 ? ? ? an ? ? ?

2x ?1 ,即 4 x 2 ? 4x ? 1 ? 0 ,解得 4x ? 6 1 1 1 x1 ? x2 ? ? ,令 ? ?c 1 1 2 an?1 ? an ? 2 2 3 由 a1 ? 2, 得 a2 ? ,求得 c ? 1 , 14 ? ? ? 1 ? 1 2 是以 ? 数列 ? ? 为首项,以 1 为公差 ? 1 5 ? an ? 1 ? a1 ? ? 2? 2 1 2 3 的等差数列,? ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? , 1 5 5 an ? 2 13 ? 5n ? an ? . 10n ? 6

比数列,于是这样可求得 an . 若②有二重根 ? ? ? ,则可令
1 1 ? ?c an?1 ? ? an ? ?

(其中 c 是待定常数) ,代入 a1 , a2 的值可求得 c 值.
? 1 ? 1 这样数列 ? ,公差为 c 的 ? 是首项为 an ? ? ? an ? ? ?

等差数列,于是这样可求得 an . 此方法又称不动点法.
an?1 ? 2 (n ? 2) ,求 2an?1 ? 1

例 3.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ? 数列 {an } 的通项 an . 解:其特征方程为 x ? 得 x1 ? 1, x2 ? ?1,令 由 a1 ? 2, 得 a2 ?

x?2 ,化简得 2 x2 ? 2 ? 0 ,解 2x ?1

an ?1 ? 1 a ?1 ? c? n an ?1 ? 1 an ? 1

4 1 ,可得 c ? ? , 5 3

? a ? 1? 1 a ?1 1 ? 数列 ? n ? 是以 1 ? 为首项,以 ? 为公比的 3 a1 ? 1 3 ? an ? 1 ?


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