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第1讲 等差数列与等比数列限时训练

专题四 数



第 1 讲 等差数列与等比数列

(限时:45 分钟) 【选题明细表】 知识点、方法 等差数列、等比数列的基本运算 等差数列、等比数列的性质 等差数列、等比数列的证明 等差数列、等比数列的综合 一、选择题 1.(2018·吉林省百校联盟联考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 2a11=a9+7,则 S25 等于( D ) (A) (B)145 (C) (D)175 题号 1,3,4,5,7,8 2,10 11,12 6,9,11,12

解析:由题意可得 2a11=a9+a13,所以 a13=7, 所以 S25= ×25= ×25=25a13=25×7=175.选 D.

2.(2018·湖南省永州市一模)在等比数列{an}中,已知 a1=1,a4=8,若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 2 项和第 6 项,则数列{bn}的前 7 项和为 ( B ) (A)49 (B)70 (C)98 (D)140 解析:在等比数列{an}中,

因为 a4=a1·q3,即 8=1×q3,所以 q=2, 所以 a3=4,a5=16, 根据题意,等差数列{bn}中, b2=4,b6=16, 因为 b6=b2+4d, 所以 16=4+4d,所以 d=3, 所以 b1=1,b7=19, {bn}前 7 项和 S7= 故选 B. 3.(2018·广东广州市一模)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则{an}前 6 项的和为( B ) (A)-20 (B)-18 (C)-16 (D)-14 =70,

解析:因为 a1,a3,a4 成等比数列, 所以 =a1·a4, 所以(a1+4)2=a1(a1+6), 所以 a1=-8, 所以 S6=6×(-8)+ 选 B. 4.(2018·辽宁大连八中模拟)若记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,S3=6,则 S4 等于( C ) (A)10 或 8 (B)-10 ×2=-18,

(C)-10 或 8 (D)-10 或-8 解析:由等比数列求和公式,当 q≠1 时得

S3=

=

=6,

所以 q2+q-2=0, 所以 q=-2 或 q=1(舍去), 当 q=-2 时,S4= 当 q=1 时,S4=4a1=8.故选 C. 5.(2018·云南玉溪高三适应性训练)程大位 《算法统宗》 里有诗云 “九 百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言. 务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996 斤棉花,分别赠送给 8 个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多 17 斤,直到第八个孩 子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩 子分得斤数为( B ) (A)65 斤 (B)184 斤 (C)183 斤 (D)176 斤 =-10,

解析:由题意可得,8 个孩子所得的棉花构成公差为 17 的等差数列,且 前 8 项和为 996, 设首项为 a1,结合等差数列前 n 项和公式有 S8=8a1+ d=8a1+28×17=996.

解得 a1=65,则 a8=a1+7d=65+7×17=184(斤). 即第八个孩子分得斤数为 184 斤.故选 B.

6.(2018·安徽江南十校二模)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和 为 Sn, =a2 +a2 017 且 =d ,则 S2 018 等于( B )

(A)0 (B)1 009 (C)2 017 (D)2 018 解析:因为 =d , 所以 - =d( - ), 即 =(1+d) -d , 又 =a2 所以 +a2 017 ,

所以 所以 S2 018= =1 009(1+1+2 017d)=1 009.故选 B.

7.(2018·百校联盟联考)我国古代数学著作 《九章算术》 有如下问题: “今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺 各重几何?”意思是“现有一根金杖,长 5 尺,一头粗,一头细,在粗的 一端截下 1 尺,重 4 斤;在细的一端截下 1 尺,重 2 斤.问依次每一尺各 重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为 M,现将该金 杖截成长度相等的 10 段,记第 i 段的重量为 ai(i=1,2,…,10),且 a1<a2<…<a10,若 48aj=5M,则 j 等于( C ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 解析:由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列, 记为{an},设公差为 d,则

解得 a1= ,d= , 所以该金杖的总重量 M=10× + 因为 48aj=5M, 所以 48[ +(j-1)× ]=75, 即 39+6j=75,解得 j=6. 二、填空题 8.(2018·陕西西工大附中八模)若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3n+a, 则 a 的值为 解析:因为 Sn=3n+a, 所以 a1=S1=3+a, a2=S2-S1=(9+a)-(3+a)=6, a3=S3-S2=(27+a)-(9+a)=18, 因为 = , . × =15,

所以 a=-1. 答案:-1 9.(2018·辽宁葫芦岛二模 ) 已知数列 {an} 的各项均为整数 ,a8=-2, a13=4, 前 12 项依次成等差数列 , 从第 11 项起依次成等比数列 , 则 a15= .

解析:设公差为 d,则 a11=a8+3d=-2+3d,a12=a8+4d=-2+4d, 因为第 11 项,第 12 项,第 13 项成等比数列,

所以

=a11a13,

所以(-2+4d)2=4(-2+3d), 所以 4d2-7d+3=0, 因为 d 为整数, 所以 d=1,

所以 a12=-2+4=2,q=

=2,

所以 a15=a13q2=4×22=16. 答案:16 10.(2018·福建厦门二检)已知数列{an}满足 a1=1,a2=3,|an-an-1|=n(n ∈N,n≥3),{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,则 a2 018= 解析:因为{a2n-1}是递增数列, 所以 a2n+1-a2n-1>0, 所以(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0, 因为 2n+1>2n, 所以|a2n+1-a2n|>|a2n-a2n-1|, 所以 a2n+1-a2n>0(n≥2), 又 a3-a1=5>0, 所以 a2n+1-a2n>0(n≥1)成立, 由{a2n}是递减数列, 所以 a2n+2-a2n<0,同理可得 a2n+2-a2n+1<0(n≥1), 所以 .

所以 a2n+2-a2n=-1, 所以{a2n}是首项为 3,公差为-1 的等差数列. 故 a2 018=3+(1 009-1)×(-1)=-1 005. 答案:-1 005 三、解答题 11.(2018· 安 徽 马 鞍 山 一 检 ) 已 知 数 列 {an} 的 首 项 为 a1=1, 且 (an+1)·an+1=an,n∈N*. (1)求证:数列 (2)设 bn= (1)证明:an+1= 故数列 是等差数列; ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ? = = +1? - =1,

是以 =1 为首项,以 1 为公差的等差数列.

(2)解:由(1)可知, =n,an= , bn=

= = = ,

Tn=b1+b2+b3+…+bn

=(1- )+( - )+( - )+…+( -

)=1-

=1-

.

12.(2018·青海西宁二模)已知数列{an}满足 a1=2,an=2an-1+2n(n≥2).

(1)证明:数列{ }为等差数列,并求{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足 bn=log2 ,记数列{ }的前 n 项和为 Tn,设角 B 是

△ABC 的内角,若 2sin B>Tn 对于任意的 n∈N*恒成立,求角 B 的取值 范围. 解:(1)因为 an=2an-1+2n,两边同时除以 2n,可得 = 所以 又 =1, 所以数列{ }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列; 所以 =1+(n-1)×1=n, 所以 an=n·2n. (2)由(1)知,an=n·2n,则 bn=log2 =n, 所以 = = , =1<1, =1,

+1,

所以 Tn=1- + - + - +…+ -

又因为 2sin B>Tn 对于任意 n∈N*恒成立, 所以 2sin B≥1,

即 sin B≥ , 又 B∈(0,π ), 所以 ≤B≤ , 所以 B∈[ , ].


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