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直线的斜率与点斜式方程



9.1.2直线的斜率与点斜式方程

烟台电子工业学校

吴庆华

9.1.2直线的斜率与点斜式方程

烟台电子工业学校

吴庆华

情景引入

学习目标、重难点

1、掌握直线斜率 的概念并理解它与 方向向量的关系; 2、掌握求直线斜 率的三个公式; 3、能根据条件熟 练地求直线点斜式 方程.

直线斜率的

能根据条件 求直线斜率.

公式和点斜式
方程.

复习回顾

1、什么是直线的方向向量? 与一条直线平行的非零向量,用 v 表示 2、一条直线有几个方向向量?它们之间平行吗?

无数个 互相平行

y v o

l

x

建构知识

直线的斜率定义:

→ 如果 v =(v1,v2) 是直线 l 的一个方向向量,且 v1≠0,

v2 那么 就叫做直线 l 的斜率,通常用 k 表示. v1

y

l v =(v1,v2)

v2 k = v ( v1≠0) 1

o

x

当v1=0时,直线l 的斜率不存在,此时直线l 与x轴垂直。

课堂竞技场

已知直线的方向向量求其斜率

k=

v2 ( v1≠0) v1

1、v =(2,2)
3、 v =(-2,6)

k=1

2、v = (3,0) k=0

k= - 3

→ 4、 v = (0,1) k不存在

继续挖掘
已知直线 l 的斜率为 k ,方向向量是→ v =(v1,v2) 如何 用 k 表示它的另一个方向向量呢?

思考: v ≠0, 1 → v 1 v
1

→ v .

1 v2 v1≠0, (v1,v2) = (1, ) = v1 v1

(1,k) .

结论:如果已知直线的斜率为k ,则(1,k)是这 条直线的一个方向向量。

→ v =(1,k)

课堂竞技场

已知直线的斜率k,求其方向向量

→ v =(1,k )

1、k =3
3、k =1

v =(1,3) v =(1,1)

2、 k =0

v =(1,0)
v =(1,-2)

4、 k= -2

诱思探究
(1)由不同的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)
能确定一条直线吗?
y


(2)由P1,P2能写出直线的一个方向 向量吗?若能,请写出方向向量.
P1 o

P2
x




P1P2

= ( x2-x1 , y2-y1 )

(3)如果 x2-x1≠ 0,直线的斜率能确定吗?若能,请写出斜率.

y 2- y 1 k= x -x ( x2-x1≠ 0) 2 1


x2-x1 =0

时,k 不存在,

l 与x 轴垂直.

课堂竞技场

经过下列两点的直线的斜率 是否存在?如果存在求斜率. (1)(1,-1),(-3,2)

y2-y1 k= x -x ( x2-x1≠ 0) 2 1

k=k= 0

3 4

(2)(1,-2),(5,-2)
(3)(3,4),(3, -1)

k 不存在
k= 3 3

(4)(3,0),(0, 3 )

建构知识

直线的倾斜角定义:
我们把一条直线l 向上的方向与 x 轴正方向所成的最小

正角 ? ,叫做直线l 的倾斜角.
l
y

?
O
x

直线向上的方向
x 轴正方向

最小正角

继续挖掘

思考:l1与l2的倾斜角各是多少?
规定:

y

l1 l2
O

x

当直线l 和x 轴平行或重合时,

倾斜角?

= 0? .

继续挖掘

倾斜角的范围:

0?≤? <180?
倾斜角与斜率的关系:

k =tan ?

(?≠ 90?)

当 ? = 90? 时 ,斜 率 不 存 在.

你问我答

已知直线的倾斜角求其斜率. 1、 ? = 0 ° k = 0 2、? = 30° k =
3 3

k =tan ? (?≠90?)

5、? = 90°

k 不存在
3
3 3

6、? = 120° k = 7、? = 135° k = -1 8、? = 150° k = -

3、? = 45° k = 1 4、? = 60° k = 3

建构知识

观察思考:已知直线 l 经过点P(x0 , y0 ),y
其斜率是k,求直线 l 的方程。
1、已知→ v =(v1,v2),点 P(x0 , y0) , 则点向式方程: 0

l

点斜式方程 v =(1,k)
P(x0,y0)

y - y = k ( x - x0 )
v2 ( x - x0 ) - v1 ( y - y0 ) = 0
→ v =(1 1,k k)

O

x

2、已知直线的斜率k,则方向向量是多少? 3、如何利用点向式方程求直线方程?

k ( x - x0 ) - 1· ( y - y0 ) = 0

例题讲解 例1 已知直线 l 过点A(1 , 2),且斜率为 - 2, 求直线 l 的方程. 解:由直线的点斜式方程得 y-2=-2(x -1) 于是所求直线 l 的方程为 2x+y-4=0
y - y0 = k ( x - x0 )

巩固练习

用点斜式写出满足下列条件的直线方程.
1、过坐标原点,斜率为2;

2x - y = 0
2、过点(0,2),斜率为-2.

2x + y - 2 = 0

例题讲解

例2 已知直线l 过点 A(0,3),且倾斜角是45? ,
求直线 l 的方程. 解:由直线的斜率公式得 k = tan 45°= 1 由直线的点斜式方程得 y–3 =1(x–0)
k =tan ? (?≠90?)

于是所求直线 l 的方程为
x–y+3 =0

巩固练习 已知直线l 过点 A(1,2),且倾斜角是 60° , 求直线 l 的方程. 解:由直线的斜率公式得 k = tan60°= 3 由直线的点斜式方程得 y–2 =

3( x –

1 )

于是所求直线l的方程为

3

x– y + 2 -

3

= 0

课堂小结 1、求直线的斜率,一般有三种情况: v2 (1 )k = v 1
(2)k =

( v1≠0 )
( x2-x1 ≠ 0)

y2-y1 x2-x1

(3)k = tan ?

( ? ≠ 90°)

2、直线的点斜式方程.

y - y0 = k ( x - x 0 )

课后作业

选 做

必 做
教材 P 84

斜率为2的直线
过点(3,5), (a,7),(-1,b)三 点,求a,b的值?

3 、4


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