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必修二数学


第四章 一、选择题

圆与方程

1.圆 C1 : x2+y2+2x+8y-8=0 与圆 C2 : x2+y2-4x+4y-2=0 的位 置关系是( A.相交 ). B.外切 C.内切 D.相离

2.两圆 x2+y2-4x+2y+1=0 与 x2+y2+4x-4y-1=0 的公共切线有 ( ). A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

3.若圆 C 与圆(x+2)2+(y-1)2=1 关于原点对称,则圆 C 的方程是 ( ). A.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x-1)2+(y+2)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+(y-2)2=1

4.与直线 l : y=2x+3 平行,且与圆 x2+y2-2x-4y+4=0 相切的直 线方程是( A.x-y± C.2x-y- ).
5 =0 5 =0

B.2x-y+ D.2x-y±

5 =0

5 =0

5.直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等于 ( ). A.
2

B.2

C.2

2

D.4

2

6.一圆过圆 x2+y2-2x=0 与直线 x+2y-3=0 的交点,且圆心在 y 轴 上,则这个圆的方程是( A.x2+y2+4y-6=0 C.x2+y2-2y=0 ). B.x2+y2+4x-6=0 D.x2+y2+4y+6=0
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7.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离 与最小距离的差是( A.30 ). B.18 C.6
2

D.5

2

8. 两圆(x-a)2+(y-b)2=r2 和(x-b)2+(y-a)2=r2 相切, 则( A.(a-b)2=r2 C.(a+b)2=r2 B.(a-b)2=2r2 D.(a+b)2=2r2

).

9.若直线 3x-y+c=0,向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位, 平移后与圆 x2+y2=10 相切,则 c 的值为( A.14 或-6 14 10.设 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到点 C 的距离|CM| =( A.
53 4

). C.8 或-12 D. 6 或-

B.12 或-8

).
2

B. 53

C.

53 2

D.

13 2

二、填空题 11.若直线 3x-4y+12=0 与两坐标轴的交点为 A,B,则以线段 AB 为直径的圆的一般方程为____________________. 12.已知直线 x=a 与圆(x-1)2+y2=1 相切,则 a 的值是_________. 13. 直线 x=0 被圆 x2+y2―6x―2y―15=0 所截得的弦长为_________. 14. 若 A(4, -7, 1), B(6, 2, z) , |AB|=11, 则 z=_______________. 15.已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆(x-1)2+(y -1)2=1 的两条切线,A,B 是切点,C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最 小值为 .
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三、解答题 16.求下列各圆的标准方程: (1)圆心在直线 y=0 上,且圆过两点 A(1,4),B(3,2); (2)圆心在直线 2x+y=0 上,且圆与直线 x+y-1=0 切于点 M(2,- 1 ).

17.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 AB 的中点,F 是 BB1 的中点,G 是 AB1 的中点,试建立适当的坐标系,并确定 E,F,G 三 点的坐标.

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18. 圆心在直线 5x―3y―8=0 上的圆与两坐标轴相切, 求此圆的方程.

19.已知圆 C :(x-1)2+(y-2)2=2,点 P 坐标为(2,-1),过点 P 作圆 C 的切线,切点为 A,B. (1)求直线 PA,PB 的方程; (2)求过 P 点的圆的切线长; (3)求直线 AB 的方程.

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20.求与 x 轴相切,圆心 C 在直线 3x-y=0 上,且截直线 x-y=0 得 的弦长为 2
7 的圆的方程.

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第四章 一、选择题 1.A

圆与方程

参考答案

解析:C1 的标准方程为(x+1)2+(y+4)2=52,半径 r1=5;C2 的标准 方程为(x-2)2+(y+2)2=( =
13 .

10 )

2

,半径 r2=

10 .圆心距

d=

(2 +1)2 +(2 -4)2

因为 C2 的圆心在 C1 内部,且 r1=5<r2+d,所以两圆相交. 2.C 解析:因为两圆的标准方程分别为(x-2)2+(y+1)2=4,(x+2)2+(y -2)2=9, 所以两圆的圆心距 d= 因为 r1=2,r2=3, 所以 d=r1+r2=5,即两圆外切,故公切线有 3 条. 3.A 解析:已知圆的圆心是(-2,1),半径是 1,所求圆的方程是(x-2)2 +(y+1)2=1. 4.D 解析:设所求直线方程为 y=2x+b,即 2x-y+b=0.圆 x2+y2―2x― 4y+4=0 的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=1. 由 故所求直线的方程为 2x-y± 5.C 解析:因为圆的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=2,显然直线 x-y+4
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(2 + 2)2 +(-1- 2)2

=5.

2- 2+b 2 2 +12

=1 解得 b=±

5



5 =0.

=0 经过圆心. 所以截得的弦长等于圆的直径长.即弦长等于 2 6.A 解析:如图,设直线与已知圆交于 A,B 求圆的圆心为 C. 依条件可知过已知圆的圆心与点 C 的直 知直线垂直. 因为已知圆的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0), 所以过点(1,0)且与已知直线 x+2y-3=0 垂直的直线方程为 y=2x -2.令 x=0,得 C(0,-2). 联立方程 x2+y2-2x=0 与 x+2y-3=0 可求出交点 A(1,1).故所求 圆的半径 r=|AC|=
12 +32
(第 6 题)

2.

两点, 所

线与已



10 .

所以所求圆的方程为 x2+(y+2)2=10,即 x2+y2+4y-6=0. 7.C 解析: 因为圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=(3 2),r=3
2. 2)
2

, 所以圆心为(2,

设圆心到直线的距离为 d,d= 10 >r,
2

所以最大距离与最小距离的差等于(d+r)-(d-r)=2r=6 8.B

2.

解析:由于两圆半径均为|r|,故两圆的位置关系只能是外切,于是有 (b-a)2+(a-b)2=(2r)2. 化简即(a-b)2=2r2. 9.A
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解析:直线 y=3x+c 向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位. 平移后的直线方程为 y=3(x-1)+c-1,即 3x-y+c-4=0. 由直线平移后与圆 x2+y2=10 相切,得 10, 所以 c=14 或-6. 10.C 解析:因为 C(0,1,0),容易求出 AB 的中点 M ? ? 2,
? 3 ? , 3? , 2 ?

0-0+c - 4 32 +12



10 ,即|c-4|=

所以|CM|= 二、填空题

?3 ? (2 - 0)2 + ? -1? +(3- 0)2 2 ? ?

2



53 2



11.x2+y2+4x-3y=0. 解析:令 y=0,得 x=-4,所以直线与 x 轴的交点 A(-4,0). 令 x=0,得 y=3,所以直线与 y 轴的交点 B(0,3). 所以 AB 的中点,即圆心为 ? ?- 2,
? 3? ?. 2?

因为|AB|=

42 +32

=5,所以所求圆的方程为(x+2)2+ ? ? y-
?

3? ? 2?

2

= 25 .
4

即 x2+y2+4x-3y=0. 12.0 或 2. 解析:画图可知,当垂直于 x 轴的直线 x=a 经过点(0,0)和(2,0)时 与圆相切, 所以 a 的值是 0 或 2. 13.8. 解析:令圆方程中 x=0,所以 y2―2y―15=0.解得 y=5,或 y=-3.
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所以圆与直线 x=0 的交点为(0,5)或(0,-3). 所以直线 x=0 被圆 x2+y2―6x―2y―15=0 所截得的弦长等于 5-(- 3)=8. 14.7 或-5. 解析: 由 15. 2
2

(6 - 4)2 +(2 + 7)2 +( z -1)2

=11 得(z-1)2=36. 所以 z=7, 或-5.


四边形

解析:如图, S
1 2

PACB =2S △PAC=

|PA| · |CA| · 2 = |PA| , 又 |PA| = 最小值, 的距离,
(第 15 题)

故求|PA|最小值, 只需求|PC| |PC|2 - 1, 另|PC|最小值即 C 到直线 3x+4y+8=0
4+8| 为 |3+ =3 . 2 2 3 +4

于是 S 四边形 PACB 最小值为 三、解答题

32- 1=2 2



16.解:(1)由已知设所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,于是依题意, 得
? ?a =-1, (1- a)2+16=r 2, ? 解得 ? ? 2 ? ? . ? (3 - a)2+4 =r 2. ?r = 20 ?

故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20. (2)因为圆与直线 x+y-1=0 切于点 M(2,-1), 所以圆心必在过点 M(2,-1)且垂直于 x+y-1=0 的直线 l 上. 则 l 的方程为 y+1=x-2,即 y=x-3. 由? ?
? y =x- 3, ? ?2 x+y=0.

解得 ? ?

? x =1, ? ? y = - 2.

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即圆心为 O1(1,-2),半径 r=

(2 -1)2 +(-1+ 2)2



2.

故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. 17.解:以 D 为坐标原点,分别以射线 DA,DC,DD1 的方向为正方 向,以线段 DA,DC,DD1 的长为单位长,建立空间直角坐标系 Dxyz,E 点在平面 xDy 中,且 EA= 1 .
2
1 ? 所以点 E 的坐标为 ? ?1, , 0 ? , ? 2 ?

又 B 和 B1 点的坐标分别为(1,1,0),(1,1,1),
1? ? 1 1? 所以点 F 的坐标为 ? ,, ?. ?1,1, ? ,同理可得 G 点的坐标为 ?1 ? 2?

? 2 2?

18.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 因为圆与两坐标轴相切, 所以圆心满足|a|=|b|,即 a-b=0,或 a+b=0. 又圆心在直线 5x―3y―8=0 上, 所以 5a―3b―8=0.由方程组 ? ? 解得 ? ?
?a=4, ? ?b=4, ?5a-3b-8=0, ? ?a-b=0,

或? ?

?5a-3b-8=0, ? ?a+b=0,

或? ?

?a=1,

? ?b=-1.

所以圆心坐标为(4,4),(1,-1).

故所求圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=16,或(x-1)2+(y+1)2=1. 19.解:(1)设过 P 点圆的切线方程为 y+1=k(x-2),即 kx―y―2k― 1=0. 因为圆心(1,2)到直线的距离为 =-1. 故所求的切线方程为 7x―y―15=0,或 x+y-1=0. (2)在 Rt△PCA 中,因为|PC|=
(2 -1)2 +(-1-2)2
2,

- k -3 k 2 +1



2,

解得 k=7,或 k



10 ,|CA|= 2 ,

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所以|PA|2=|PC|2-|CA|2=8.所以过点 P 的圆的切线长为 2 (3)容易求出 kPC=-3,所以 kAB= 1 .
3

2.

如图,由 CA2=CD·PC,可求出 CD= CA =
PC

2

2 10



设直线 AB 的方程为 y= 1 x+b,即 x-3y+3b=0.
3



2 10



1- 6 + 3b 1+ 3
2

解得 b=1 或 b= 7 (舍).
3

(第 19 题)

所以直线 AB 的方程为 x-3y+3=0. (3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解.

20.解:因为圆心 C 在直线 3x-y=0 上,设圆心坐标为(a,3a), 圆心(a,3a)到直线 x-y=0 的距离为 d= 又圆与 x 轴相切,所以半径 r=3|a|, 设圆的方程为(x-a)2+(y-3a)2=9a2, 设弦 AB 的中点为 M,则|AM|= 在 Rt△AMC 中,由勾股定理,得
? - 2a ? ? ? ? ? 2 ? ?
2

- 2a 2



7.

(第 20 题)

+(

7)

2

=(3|a|) .

2

解得 a=±1,r2=9. 故所求的圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9,或(x+1)2+(y+3)2=9.

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