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368msccom:2019-2020年高中数学必修四2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案

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2019-2020 年高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景

及其含义》教案

教学目的:

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;

4.掌握向量垂直的条件.

教学重点:平面向量的数量积定义

教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

授课类型:新授课

教 具:多媒体、实物投影仪

内容分析:

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生 推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识 点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的 5 个重要性质;平面向量数量积 的运算律.

教学过程:

一、复习引入:

1. 向量共线定理

? 向量 b

与非零向量

? a

共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ

,使

? b =λ

? a

.

2.平面向量基本定理:如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内

的任一向量

? a

,有且只有一对实数λ

1,λ

2

使

? a



1 e1 +λ

2 e2

3.平面向量的坐标表示
分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平面 向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj

把 (x, y) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? (x, y)

4.平面向量的坐标运算

若 a ? (x1, y1 ) , b ? (x2 , y2 ) ,则 a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,

?a ? (?x,?y) .

若 A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1, y2 ? y1 ?

5.

? a



? b

? (b

0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0

6.线段的定比分点及λ P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实数λ ,

使 P1P = λ PP2 , λ 叫 做 点 P 分 P1P2 所 成 的 比 , 有 三 种 情 况 :

λ >0(内分)

(外分) λ <0 (λ <-1)

7. 定比分点坐标公式:

( 外分)λ <0 (-1<λ <0)

若点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),λ 为实数,且 P1P =λ PP2 ,则点 P 的坐标为

( x1 ? ?x2 , y1 ? ?y2 ),我们称 λ 1?? 1??

为点 P 分 P1P2 所成的比.

8. 点 P 的位置与 λ 的范围的关系:

①当 λ >0时, P1P 与 PP2 同向共线,这时称点 P 为 P1P2 的内分点.

②当 λ <0( ? ? ?1)时, P1P 与 PP2 反向共线,这时称点 P 为 P1P2 的外分点.
9.线段定比分点坐标公式的向量形式:

在平面内任取一点 O,设 OP1 =a, OP2 =b,
可得 OP = a ? ?b ? 1 a ? ? b . 1?? 1?? 1??
10.力做的功:W = |F|?|s|cos , 是 F 与 s 的夹角. 二、讲解新课:
1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b,作 OA =a,OB =b,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫a与 b的夹角. 说明:(1)当 θ =0时,a与b同向;
(2)当 θ =π 时,a与b反向;
(3)当 θ = ? 时,a与b垂直,记a⊥b; 2

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0?≤?≤180?
C 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos 叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos ,
(0≤θ ≤π ).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. ?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos 的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b,而 a?b 是两 个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略, 也不能用“×”代替. (3)在实数中,若 a 0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a 0,且 a?b=0,不能 推出 b=0.因为其中 cos 有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b 0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c a = c
如右图:a?b = |a||b|cos = |b||OA|,b?c = |b||c|cos = |b||OA| ? a?b = b?c 但 a c
(5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共
线. 3.“投影”的概念:作图
定义:|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当 为锐角时投影为正值;当 为钝角时投影为负值;当 为直角时投影为 0;当 = 0 时投影为 |b|;当 = 180 时投影为 |b|. 4.向量的数量积的几何意义:
数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos 的乘积.

5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量.
1 e?a = a?e =|a|cos 2 a b a?b = 0 3 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b =

|a||b|. 特别的 a?a = |a|2

或| a |? a ? a

4 cos = a ? b | a || b |
5 |a?b| ≤ |a||b| 三、讲解范例: 例 1 已知|a|=5, |b|=4, a 与 b 的夹角 θ =120o,求 a·b. 例 2 已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60o 求(a+2b)·(a-3b). 例 3 已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. 例 4 判断正误,并简要说明理由.
①a·0=0;②0·a=0;③0- AB = BA ;④|a·b|=|a||b|;⑤若a ≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为 0;⑦对任 意向量a,b,с 都有(a·b)с =a(b·с );⑧a与b是两个单位向量,则a2= b2.
解:上述 8 个命题中只有③⑧正确; 对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 0·a=0;对于②:应有0·a=0; 对于④:由数量积定义有|a·b|=|a|·|b|·|cosθ |≤|a||b|,
这里 θ 是a与b的夹角,只有 θ =0或 θ =π 时,才有|a·b|=|a|·|b|; 对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a·b=0; 对于⑥:由a·b=0可知a⊥b可以都非零; 对于⑦:若a与 с 共线,记a=λ с . 则a·b=(λ с )·b=λ (с ·b)=λ (b·с ), ∴(a·b)·с =λ (b·с )с =(b·с )λ с =(b·с )a 若a与 с 不共线,则(a·b)с ≠(b·с )a. 评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
例 6 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是 60°时, 分别求a·b. 解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角 θ =0°,
∴a·b=|a|·|b|cos0°=3×6×1=18; 若a与b反向,则它们的夹角 θ =180°,

∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18; ②当a⊥b时,它们的夹角 θ =90°, ∴a·b=0; ③当a与b的夹角是 60°时,有
a·b=|a||b|cos60°=3×6× 1 =9 2
评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因此,当a∥ b时,有 0°或 180°两种可能. 四、课堂练习:

1.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( )

A.60°

B.30°

C.135°

D.45°

2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为 ? ,那么向量 m=a-4b 的模为( ) 3

A.2

B.2 3

C.6

D.12

3.已知 a、b 是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的( )

A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知向量 a、b 的夹角为 ? ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|=

.

3

5.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的单位向

量,那么 a·b=

.

6.已知 a⊥b、c 与 a、b 的夹角均为 60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2=______.

7.已知|a|=1,|b|= 2 ,(1)若 a∥b,求 a·b;(2)若 a、b 的夹角为60°,求|a+b|;(3) 若 a-b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角. 8.设 m、n 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角. 9.对于两个非零向量 a、b,求使|a+tb|最小时的 t 值,并求此时 b 与 a+tb 的夹角.
五、小结(略) 六、课后作业(略)
七、教学后记:


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