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浙江省杭州二中2014届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


杭州二中 2013 学年第一学期高三年级期中考试数学(理)试卷
注意事项:考试时间:120 分钟;满分:150 分。本场考试不得使用计算器,请考生用 水笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上,答在试卷上的无效。 一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1. 设 a、 b 为向量,则“

a ? b ? a b ”是“ a // b ”的(

) D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

1 2.在△ABC 中, a =3 2, b =2 3, cos C = ,则△ ABC 的面积为( 3 A.3 3 B.2 3 C.4 3 D. 3 )

3. 已知函数 f ( x) ? log 1 x ? 1 ,则下列结论正确的是(
2

A. f ( ? ) ? f (0) ? f (3) C. f (3) ? f ( ? ) ? f (0)

1 2

B. f (0) ? f ( ? ) ? f (3) D. f (3) ? f (0) ? f ( ? )

1 2

1 2

4.将函数 y ? f ?( x) sin x 的图象向左平移

? 个单位,得到函数 y ? 1 ? 2 sin 2 x 的图象,则 4
4 ? , 且 ? 为第二象限角, 则 tan( ? ? ) ?( 5 4 1 C. ? 7 D. ? 7
n ? 2012

1 2

f ( x) 是( ) A. 2 cos x

B. 2 sin x

C. sin x

D. cos x

5. 若 sin(? ? ? ) sin ? ? cos(? ? ? ) cos ? ? A. 7 B.



1 7

6.若数列 ?an ?,?bn ? 的通项公式分别是 an ? ( ?1) 意 n ? N 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. ? -1, ?
?

( ?1)n ?2013 a, bn ? 2 ? , 且 an ? bn 对任 n

) C. ? -2, ?

? ?

1? 2?

B. ? -2, ?

? ?

1? 2?

? ?

3? 2?

D. ? -1, ?

? ?

3? 2?

7.设函数 f(x)=x2-23x+60, g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+…+g(20)=( A.0 B.38 C. 56
3

) D.112

8. 设函数 f ? x ? ? x ? 4x ? a ? 0 ? a ? 2? 有三个零点 x1 , x2 , x3 , 且 x1 ? x2 ?x3 , 则下列结论 正确的是( ) B. x2 ? 0 C. 0 ? x2 ? 1 D. x3 ? 2

A. x1 ? ?1

9.已知 f ( x) ? loga ( x ? 1), g( x) ? 2loga (2 x ? t )(a ? 1) ,若 x ? [0,1), t ? [4,6) 时,

F (x) ? g ( x) ? f ( x) 有最小值 4 ,则 a 的最小值为(
A.1 B. 2 C.1 或 2


D. 2 或 4

?4 ? 8 x ? 12 (1 ? x ? 2) ? [1, ?? ) 1 x 10.已知定义在 上的函数 f ( x ) ? ? ,则( f ( )( x ? 2) ? ? 2 2
A.在 [1,6) 上,方程 f ( x ) ? B.关于 x 的方程 f ( x ) ?

)

1 x ? 0 有 5 个零点 6

1 ? 0 ( n ? N ? )有 2n ? 4 个不同的零点 2n
?

C.当 x ? [2n?1,2n ] ( n ? N )时,函数 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的面积为 4 D.对于实数 x ? [1, ??) ,不等式 xf ( x ) ? 6 恒成立

二.填空题(本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)
11.已知 cos(

?

4 ? ? ) ? , 则 cos 2? 的值是 2 5
0

. .

12.平面向量 a与b 的夹角为 60 , a ? (2,0), a ? 2b ? 2 3, 则 b ?

13.函数 f ( x) ? sin ?x ? 3cos ?x( x ? R), 又f (? ) ? ?2, f ( ? ) ? 0, 且 ? -? 的最小值等于

? , 则正数 ? 的值为 2

.
2 2

14.已知正实数 a、 b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a ? b ? 15.记数列 ?an ? 的前 n 和为 s n ,若 ? 的值为 .

1 的最小值为 ab

.

? sn ? ? 是公差为 d 的等差数列,则 ?an ? 为等差数列时, d ? an ?

16.设实数 x1 、 x2 、

、 xn 中的最大值为 max ?x1,x2, ,xn ? ,最小值

c , 设 ?ABC 的三边长分别为 a、b、c , 且 a ?b ? 设 ?ABC min?x1,x2, ,xn ? ,
的倾斜度为 t ? max ? ,, ? ? min ? ,, ? ,设 a ? 2 ,则 t 的取值范围 是 .

?a b c ? ?b c a ?

?a b c ? ?b c a ?

17.已知向量 ?、、 ? ? 满足 ? ? 1 , ? ? ? ? ? , (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 .若对每一确 定的 ? , ? 的最大值和最小值分别是 m 、n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值 是 .

三.解答题(本大题有 5 小题,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 已知集合 A= x x ? 3x ? 2 ? 0 ,集合 B= y y ? x ? 2 x ? a ,集合
2 2

C= x x 2 ? ax ? 4 ? 0 .命题
p : A B ? ? ,命题 q : A ? C (Ⅰ)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若命题 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.
19. (本题满分 14 分) 在数列 ?an ? 中, 点 P(ai , ai ?1 )(i ? 1,2,

?

?

?

?

?

?

, n) 在直线 y ? 2 x ? k 上,数列 ?bn ? 满足条件:

(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? bn log 2

b1 ? 2, bn ? an?1 ? an (n ? N ? ).
1 , sn ? c1 ? c2 ? bn ? cn , 求 2n?1 ? sn ? 60n ? 2 成立的正整数 n 的最

小值. 20.(本题满分 14 分)

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R . 2 2 ? 5? ] 时,求函数 f ( x) 的最小值和最大值 (Ⅰ)当 x ? [ ? , 12 12 (Ⅱ)设△ABC 的对边分别为 a, b, c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin B ? 2 sin A ,求 a , b 的
已知函数 f ( x) ? 值. 21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? ln

x (0 ? x ? 2) . 2? x

(Ⅰ)是否存在点 M (a, b) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数

y ? f ( x) 的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)定义 Sn ?
2 n ?1 i ?1

? f ( n ) ? f ( n ) ? f ( n ) ? ??? ? f (

i

1

2

2n ? 1 ) ,其中 n ? N* ,求 S2013 ; n
a
*

(Ⅲ) 在 (2) 的条件下, 令 Sn ? 1 ? 2an , 若不等式 2 n ? (an )m ? 1 对 ?n ? N ,且 n ? 2 恒成立,求实

数 m 的取值范围. 22. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) , 若y? 阶比增函数” ; 若y?

f ( x) 在 (0, ?? ) 上为增函数, 则称 f ( x ) 为 “一 x

f ( x) 在 (0, ?? ) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶 x2

比增函数”组成的 集合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ? 2 .
3 2
[来源:Z_xx_k.Com]

(Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,若 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 ,求实数 h 的取值范 围; (Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d ? (2d ? t ? 4) ? 0 ; ( Ⅲ

a
d

b
d

c

a?b?c
来源:学+科+网]

[

t

4

)









?

?f (

?

x) | f 使得任取 ? (x 2 且存在常数

? , )

?

, k

?

x

请问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立?若存 在,求出 M 的 最小值;若不存在,说明理由.

杭州二中 2013 学年第一学期高三年年级期中考试数学(理)答案
一、选择题

1 C

2 C

3 C

4 B

5 B

6 C

7 D

8 C

9 B

10 D

二、填空题 7 11. ? 25 15.1 或
1 2

12.1 16. [1,
5 ?1 ) 2

13.1 17.
1 2

14.

17 2

三、解答题
18. 解;

y ? x 2 ? 2 x ? a ? ( x ? 1)2 ? a ? 1 ? a ? 1,? B ? ? y y ? a ? 1?

,

A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ?x 1 ? x ? 2? , C ? x x 2 ? ax ? 4 ? 0

?

?

?

?

(Ⅰ)由命题 p 是假命题,可得 A B=? ,即得 a ? 1 ? 2,? a ? 3 . p ? q 为真命题,? p、 q 都为真命题, (Ⅱ) 即A

B ? ?, 且A?C ? a ?1 ? 2 ? ?有 ? 1 ? a ? 4 ? 0 ,解得 0 ? a ? 3 . ? 4 ? 2a ? 4 ? 0 ?

a ? 2an ? k ,?bn ? 2an ? k ? an ? an ? k 19.解: (Ⅰ)依题意 n?1 ?bn?1 ? an?1 ? k ? 2an ? k ? k ? 2(an ? k ) ? 2bn b 又 b1 ? 2, 而 n ?1 ? 2 ,? 数列 ?bn ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. bn
即得 bn ? 2 2n?1 ? 2n ,为数列 ?bn ? 的通项公式. -------6 分 (Ⅱ)由 cn ? bn log 2

1 1 ? 2n ? log2 n ? ?n ? 2n. bn 2

?sn ? ?(c1 ? c2 ?
上两式相减得

? cn ) ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?

? n ? 2n

??2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?
sn ? 2 ? 22 ? 23 ?

? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2

? 2n ? n ? 2n ?1 ?

? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 n ?1 n ?1 由 2n?1 ? sn ? 60n ? 2 ,即得 n ? 2 ? 60n,?2 ? 60 ,
n ?1 5 n ?1 6 又当 n ? 4 时, 2 ? 2 ? 32 ? 60 ,当 n ? 5 时, 2 ? 2 ? 64 ? 60.

故使 2n?1 ? sn ? 60n ? 2 成立的正整数的最小值为 5. -------14 分

20.解: (Ⅰ) f ( x) ?
由 x ? [?

? 3 1 3 1+cos 2 x 1 sin 2 x ? cos2 x ? ? sin2 x ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 6 2 2 2 2 2
] ,? 2 x ?
2

? 5?
12 12 ,

?
6

? [?

? 2?
3 , 3

]

? f ( x ) 的最小值为 ? 1 ? 3 , 最大值0. -------7 分
(Ⅱ)由 f (C ) ? 0 即得 f (C ) ? sin(2C ? 则 2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,而又 C ? (0, ? ) , ?

?
6

? (?

? 11?
6 , 6

),? 2C ?

?

?
2

6

,? C ?

?
3

,则由

b ? 2a b ? 2a ? ? 即? ? 2 2 2 2 2 ?c ? a ? b ? 2ab cos C ?3 ? a ? b ? ab
解得 a ? 1, b ? 2 . ----------14 分

21.(1)假设存在点 M (a, b) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q
也在函数 y ? f ( x) 的图像上,则函数 y ? f ( x) 图像的对称中心为 M (a, b) . 由 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b ,得 1 ? ln 即 2 ? 2b ? ln

x 2a ? x ? 1 ? ln ? 2b , 2? x 2 ? 2a ? x

?2 ? 2b ? 0, ?a ? 1, ? x 2 ? 2ax 解得 ? ? 0 对 ?x ? (0, 2) 恒成立,所以 ? 2 ? x ? 2ax ? 4 ? 4a ?4 ? 4a ? 0, ?b ? 1.

所以存在点 M (1,1) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函 数 y ? f ( x) 的图像上. -------5 分 (Ⅱ)由(1)得 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2(0 ? x ? 2) .

i i i ,则 f ( ) ? f (2 ? ) ? 2 (i ? 1, 2, ???, 2n ? 1) . n n n 1 2 2 1 因为 S n ? f ( ) ? f ( ) ? ??? ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ①, n n n n 1 2 2 1 所以 S n ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ? ??? ? f ( ) ? f ( ) ②, n n n n
令x? 由①+②得 2Sn ? 2(2n ?1) ,所以 Sn ? 2n ?1(n ? N* ) . 所以 S2013 ? 2 ? 2013 ?1 ? 4025 .-------10 分

Sn ? 1 ? n( n ? N* ) . 2 n m a m n m * ?? 因为当 n ? N 且 n ? 2 时, 2 n ? ( an ) ? 1 ? 2 ? n ? 1 ? . ln n ln 2
(Ⅲ)由(2)得 Sn ? 2n ?1(n ? N* ) ,所以 an ? 所以当 n ? N 且 n ? 2 时,不等式
*

m n m ? n ? ?? ?? 恒成立 ? ? . ? ln n ln 2 ln 2 ? ln n ?min

设 g ( x) ?

ln x ? 1 x ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? . ln x (ln x)2

当 0 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, e) 上单调递减; 当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (e, ??) 上单调递增.

因为 g (2) ? g (3) ?

2 3 ln 9 ? ln 8 ? ? ? 0 ,所以 g (2) ? g (3) , ln 2 ln 3 ln 2 ? ln 3

3 . ln 3 m 3 m 3ln 2 ?? 由 ? g ( n) ?min ? ? ,得 ,解得 m ? ? . ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 3ln 2 , ??) .-------15 分 所以实数 m 的取值范围是 ( ? ln 3
所以当 n ? N* 且 n ? 2 时, ? g (n) ?min ? g (3) ? 22.解:(Ⅰ) 函数,? h ? 0

f ( x) ??1, 且 f ( x) ??2 , 即 g ( x ) ?

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 上是增 x

2分 f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h ' ( x ) ? 1 ? 2 , 当 h( x ) 是增函数时 而 h( x ) ? 2 x x x h ? 0 ,?

h( x ) 不是增函数时, h ? 0 ,综上 h ? 0
(Ⅱ)

4 分.

f (a ) f (a ? b ? c) 4 ? ? , a a?b?c a?b?c 4a 4b 4c ? f (a ) ? d ? , f (c) ? t ? ,同理 f (b) ? d ? ,则有 a?b?c a?b?c a?b?c 4( a ? b ? c) ? 2d ? t ? 4 ? 0 f ( a ) ? f ( b) ? f ( c ) ? 2d ? t ? ?4 , , 又 a?b?c d d d (b ? a ) ? ,? ? 0, a b ab

f ( x) ??1, 且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c ,则

而 b ? a ? 0 ? d ? 0 ,? d ? 0 ,? d (2d ? t ? 4) ? 0 (Ⅲ)

8 分.

? ? f ( x ) f ( x ) ? ? 2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??), f ( x ) ? k

?

?

0 ,? ? ) 使得 f ( x ) ? k , 对 x ?( ?对任意 f ( x) ? ? ,存在常数 k , x ? (0, ??) 成立,假设存在 x0 ? (0, ??) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,记

成立.先证明 f ( x ) ? 0 对

f ( x0 ) ? m ? 0. x0 2

f ( x) 是 二 阶 比 增 函 数 , 即

f ( x) f ( x ) f ( x0 ) ? ?m , 是 增 函 数 , ? x ? x0 时 , 2 x x2 x02

? f ( x) ? mx 2 ,

?一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k ,这与对 x ? (0, ??) , f ( x ) ? k 矛
盾.

11 分

? f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立. 即任意 f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立.

下面证明 f ( x ) ? 0 在 x ? (0, ??) 上无解 : 假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 ,一定存在

x 3 ? x2 ? 0 ,
f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾,? f ( x ) ? 0 在 x ? (0, ??) 上无解. x3 x2
综上,对任意 f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立,存在 M ? 0, 使x ? (0, ??) ,任 意 f ( x) ? ? , 有 f ( x ) ? M 成立,? M min ? 0 .

15 .


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