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双曲线及其标准方程带动画_图文

北京摩天大楼 巴西利亚大教堂 法拉利主题公园 花瓶 探索研究 1.回顾椭圆的定义? 平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点轨迹叫做椭圆。 Y O F1?? c, 0 ? M?x, y? F2? c, 0 ? X 思考:如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”,那么动点的轨迹会是怎样的曲线? 即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么? 画双曲线 演示实验:用拉链画双曲线 ①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F1F2|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F2|=2a 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线 根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗? 回2.忆双椭曲圆线的定义 等值于平(常面大数平内于面(与︱内小F两1与于F个2两︱︱定个)F点1定F的F2点1︱点,F)的F1,2轨的的F迹距点2的叫离的距做的轨离椭差迹的圆的叫和绝做为对双一值曲个线定. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. M 注意 (1)距离之差的绝对值 | |MF1| - |MF2| | = 2a F1 o F2 (2)常数要大于0小于|F1F2| 0<2a<2c ①常数等于|F1F2|时 P Q M F1 F2 M ||MF1|-|MF2||=|F1F2|时,M点一定在上图中的射线F1P, F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。 ②常数大于|F1F2 |时 |MF1|-|MF2| >|F1F2| 是不可能的,因为三角 形两边之差小于第三边。此时无轨迹。 ③常数等于0时 ∵若常数2a= |MF1|-|MF2| =0 则|MF1|=|MF2| F1 F2 此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平 M 分线。 3.双曲线的标准方程 1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方,标程线? 系 2.设点.设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) F1 3.列式.|MF1| - |MF2|=? 2a y M o F2 x 即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a 4.化简. (x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? ?2a ( (x ? c)2 ? y2 )2 ? ( (x ? c)2 ? y2 ? 2a)2 cx ? a2 ? ?a (x ? c)2 ? y2 F1 (c2 ? a2 )x2 ? a2y2 ? a2(c2 ? a2) 令c2-a2=b2 x2 a2 y2 ? b2 ?1 y M o 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 y 焦点在y轴上 y M M F1 O F2 x F2 x O F1 x2 a2 ? y2 b2 ?1 y2 x2 a2 ? b2 ?1 (a ? 0,b ? 0)并且c2 =a2 ? b2 双曲线定义及标准方程 定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|) y y 图象 M F1 o F2 x M F2 x F1 方程 焦点 a.b.c 的关系 x2 a2 ? y2 b2 ?1 y2 x2 a2 ? b2 ? 1 F ( ±c, 0) F(0, ± c) c2 ? a2 ? b2 (c ? a, c ? b, a与b的大小不确定) 思考:如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上? 判断:x2 16 ? y2 9 ? 1与 y2 9 ? x2 16 ? 1的焦点位置? 结论:看 x2 , y 2前的系数,哪一个为正,则 焦点在哪一个轴上。 例题分析 例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的 绝对值等于6,则 3 5 4 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______ (2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点P, |PF1|=10, 则|PF2|=_4_或__1_6____ 双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系? 双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭圆 双曲线 定义 方程 |MF1|+|MF2|=2a x2 y2 a2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) y2 a2 ? x2 b2 ? 1(a ?b ? 0) ||MF1|-|MF2||=2a x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) y2 a2 ? x2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 焦点 a.b.c的关 系 F(±c,0) F(0,±c) a>b>0,a2=b2+c2 F(±c,0) F(0,±c) a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

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