当前位置:首页 >> 数学 >>

附录 中国数学奥林匹克竞赛试题


附录

中国数学奥林匹克竞赛试题
1987 第二届年中国数学奥林匹克

1. 设 n 为自然数,求方程 zn+1-zn-1=0 有模为 1 的复根的充份必要条件是 n+2 可被 6 整 除. 2. 把边长为 1 的正三角形 ABC 的各边都 n 等分, 过各分点平行于其它两边的直线, 将 这三角形分成小三角形,和小三角形的顶点都称为结点,在第一结点上放置了一个 实数.已知 i. A,B,C 三点上放置的数分别为 a,b,c. ii. 在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中, 两组相对顶点上放置 的数之和相等. 试求 3. 放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离. 4. 所有结点上数的总和 S. 某次体育比赛,每两名选手都进行一场比赛,每场比赛一定决出胜负,通过比赛确 定优秀选手, 选手 A 被确定为优秀选手的条件是: 对任何其它选手 B, 或者 A 胜 B, 或者存在选手 C,C 胜 B,A 胜 C. 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名,求证这名选手胜所有其它选手. 在一个面积为 1 的正三角形内部,任意放五个点,试证:在此正三角形内,一定可 以作三个正三角形盖住这五个点, 这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边, 并且它们的面积之和不超过 0.64. 设 A1A2A3A4 是一个四面体,S1, S2, S3, S4 分别是以 A1, A2, A3, A4 为球心的球,它们 两两相切.如果存在一点 O,以这点为球心可作一个半径为 r 的球与 S1, S2, S3, S4 都 相切,还可以作一个半径为 R 的球积四面体的各棱都相切,求证这个四面体是正四 面体. m 个互不相同的正偶数与 n 个互不相同的正奇数的总和为 1987,对于所有这样的 m 与 n,问 3m+4 的最大值是多少?请证明你的结论.

3.

4.

5.

6.

1988 年第三届中国数学奥林匹克
1. 设 a1, a2, ... , an 是给定的不全为零的实数,r1, r2, ... , rn 为实数,如果不等式 r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+rn(xn-an)≤√(x12+ x22+ ... + xn2) + √(a12+ a22+ ... + an2) 对任何实数 x1, x2, ... , xn 成立,求 r1, r2, ... , rn 的值. 2. 设 C1,C2 为同心圆,C2 的半径是 C1 的半径的 2 倍,四边形 A1A2A3A4 内接于 C1, 交圆 C2 于 B1. A1A2 延长线交 C2 于 B2, 2A3 延长线交圆 C2 于 B3, 设 A 将 A1A4 延长, A3A4 延长线交圆 C2 于 B4.试证:四边形 B1B2B3B4 的周长 2(四边形 A1A2A3A4 的周 长).并确定的号成立的条件. 3. 在有限的实数列 a1, a2, ... , an 中, 如果一段数 ak, ak+1, ... , ak+l-1 的算术平均值大于 1988, 那么我们把这段数叫做一条"龙", 并把 ak 叫做这条龙的"龙头"(如果某一项 an>1988, 那么单独这一项也叫龙). 假设以上的数列中至少存在一条龙,证明:这数列中全体可以作为龙弄的项的算术 平均数也必定大于 1988. 4. (1)设三个正实数 a,b,c 满足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4). 求证:a,b,c 一定是某个三角形的三条边长. (2)设 n 个正实数 a1, a2, ... , an 满足 (a12+ a22+ ... + an2)2>(n-1)(a14+ a24+ ... + an4)其中 n≥3. 求证:这些数中任何三个一定是某个三角形的三条边长. 5. 给出三个四面体 AiBiCiDi(i=1, 2, 3),过点 Bi,Ci,Di 作平面 αi,βi,γi(i=1, 2, 3),分 别与棱 AiBi,AiCi,AiDi 垂直(i=1, 2, 3),如果九个平面 αi,βi,γi(i=1, 2, 3)相交于一 点 E,而三点 A1,A2,A3 在同一直线 l 上,求三个四面体的外接球面的放条(形状怎 样?位置如何?). 6. 如 n 是不小于 3 的自然数,以 f(n)表示不是 n 的因子的最小自然数,例如 f(12)=5. 如果 f(n)3,又可作 f(f(n)).类似地,如果,f( f(n) )≥3,又可作 f( f( f(n)))等等.如 果 f( f(...f(n) ...)) =2,共有 k 个 f,就把 k 叫做 n 的"长度".如果 ln 表示 n 的长度,试 对任意自然数 n (n≥3),求 ln.并证明你的结论.

1989 年第四届中国数学奥林匹克
1. 在半径为 1 的圆周上,任意给定两个点集 A,B,它们都由有限段互不相交的弧组 成,其中 B 的每段的长度都等于 π/m,m 是自然数.用 Aj 表示将集合 A 反时针方向 在圆同上转动 jπ/m 弧度所得的集合(j=1, 2, ...). 求证:存在自然数 k,使得 L(Aj∩B)≥L(A)L(B)/(2π).这里 L(x)表示组成点集 x 的 互示相交的弧段的长度之和. 2. 设 x1, x2, ... , xn 都是正数(n≥2)且 x1+ x2+ ... +xn=1.求证:

. 3. 设 S 为复平面上的单位圆同(即模为 1 的复数的集合),f 为从 S 到 S 的映射,对于任 意 S 的元素 z,定义 f(1)(z)=f(z),f(2)(z)=f( f(z)),...,f(k)(z)=f( f(k-1)(z) ).如果 S 的元素 c,使得 f(1)(z)≠c,f(2)(c)≠c,...,f(n-1)(c)≠c,f(n)(c)≠c.则称 c 为 f 的 n—周期点. 设 m 是大于 1 的自然数,f 定义为 f(z)=zm,试计算 f 的 1989—周期点的总数. 4. 设点 D,E,F 分别在△ABC 的三边 BC,CA,AB 上,且△AEF,△BFD,△CDE 的内切圆有相等的半径 r, 又以 r0 的 R 分别表示△DEF 和△ABC 的内切圆半径. 求 证:r+r0=R. 5. 空间中有 1989 个点,其中任何三点不共线,把它们分成点数各不相同的 30 组,在 任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形. 6. 设 f:(1, +∞)→(0, +∞)满足以下条件:对于任意实数 x,y>1,及 u,v>0,有 f(xuyv) ≤f(x)1/(4u) f(y)1/(4v).试确定所有这样的函数.

1990 年第五届中国数学奥林匹克
1. 如下图,在凸四边形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行,圆 O1 过 A,B 且与边 CD 相切 于 P,圆 O2 过 C,D 且与边 AB 相切于 Q,圆 O1 与 O2 相交于 E,F.求证:EF 平 分线段 PQ 的充要条件是 BC//AD.

2. 设 x 是一个自然数,若一串自然数 x0=1, x2, ... , xn=x 满足 xi-1<i=1, 2, ...,l,则称 { x0 , x1 , ... , xn}为 x 的一条因子链.l 称为该因子链的长度.L(x)与 R(x)分别表示 x 的最长因子链的长度和最长因子链的条数.对于 x=5k×31m×1990n,k,m,n 都是自 然数,试求 L(x)与 R(x). 3. 设函数 f(x)对 x>0 有定义,且满足条件: i. 对任何 x,y≥0,f(x)f(y)≤x2 f(x/2) +y2 f(y/x); ii. 存在常数 M>0, 当 0≤x≤1 时,| f(x) | ≤M. 求证:f(x)≤x2 . 4. 设 a 是给定的正整数,A 和 B 是两个实数,试确定方程组: x2 +y2 +z2 =(13a)2 ,x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3 有整数解的充份必要条件(用 A,B 的关系式表示,并予以证明). 5. 设 X 是一个有限集合,法则 f 使的 X 的每一个偶子集 E(偶数个元素组成的子集)都 对应一个实数 f(E),满足条件: a. 存在一个偶子集 D,使得 f(D)>1990; b. 对于 X 的任意两个示相交的偶子集 A,B,有 f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990. 求证:存在 X 的子集 P,Q,满足 iii. P∩Q 是空集,P∪Q=X; iv. 对 P 的任何非空偶子集 S,有 f(S)>1990 v. 对 Q 的任何偶子集 T,有 f(T)≤1990. 6. 凸 n 边形及 n-3 条在 n 边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分图.求证: 当且仅当 3|n 时,存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发,经过 图中各线段恰一次,最后回到出发点).

1991 年第六届中国数学奥林匹克
1. 平面上有一凸四边形 ABCD. i. 如果平面上存在一点 P,使得 ABP,BCP,CDP,DAP 面积都相等, 问四边形 ABCD 应满足甚么条件? ii. 满足(i)的点 P,平面上最多有几个?证明你的结论. 2. 设 I=[0,1],G={ (x, y) | x,y 为 I 的元素},求 G 到 I 的所有映像 f,使得对 I 的任何 x,y,z 有 i. f( f(x,y), z) =f( x, f(y,z) ); ii. f(x, 1) =x, f(1,y)=y; iii. f(zx, zy) =zk f(x,y). 这里,k 是与 x,y,z 无关的正数. 3. 地面上有 10 只小鸟在啄食,其中任意 5 只小鸟中至少有 4 只在一个圆上,问有鸟最 多的圆上最少有几只鸟? 4. 求满足方程 x2n+1-y2n+1=xyz+22n+1 的所有正整数解组(x, y, z, n),这里 n≥2,z≤5×22n. 5. 求所有自然数 n,使得 min 自然数 k( k2+[n/k2] )=1991.这里[n/k]表示 n/k 的整数部份. 6. MO 牌足球由若干多边形皮块用三种示同颜色的丝线缝制而成,有以下特点: i. 任一多边形皮块的一条边恰与另一多边形皮块同样长的一条用一种六色的 丝线缝合; ii. 足球上每结点,恰好是三个多边形的顶点,每一结点的三条缝线不相同. 求证:可以在 MO 牌足球的每一结点上放置一个不等于 1 的复数,使得每一多边形 的所有顶点上放置的复数的乘积都相等.

1992 年第七届中国数学奥林匹克
1. 设方程 xn+an-1xn-1+an-2xn-2+....+a1x+a0=0 的系数都是实数,且适合条件 0<a0≤a1≤a2 ≤....≤an-1≤1.已知 λ 为方程的复数根且适合条件|λ|>1,试证:λn+1=1. 2. 设 x1, x2, ... , xn 为非负实数,记 xn+1= x1,a=min{x1, x2, ... , xn},试证:
n n

i=1

1+xi_ 1 ∑ ∑ (xi-a)2 , ≤n+ 1+xi+1 (1+a)2
i=1

3. 且等式成立当且仅当 x1 =x2= ... =xn. 4. 在平面上划上一个 9x9 的方格表,在这上小方格的每一格中都任意填入+1 或-1.下 面一种改变填入数字的方式称为一次变动;对于任意一个小方格有一条公共边的所 有小方格(不包含此格本身)中的数作连乘积,于是每取一个格,就算出一个数,在 所有小格都取遍后,再将这些算出的数放入相应的小方格中.试问是否总可以经过 有限次变动,使得所有方小方格中的数都变为 1? 5. 凸四边形内接于圆 O,对角线 AC 与 BD 相交于 P,ABP 与 CDP 的外接圆相交于 . P 和另一点 Q,且 O,P,Q 三点两两不重合.试证∠OQP=90 6. 在有 8 个顶点的简单图中,没有四边形的图的边数的是大值是多少? 7. 已知整数序列{a1, a2, ...... }满足条件: 1. an+1=3an-3an-1+an-2,n=2, 3, ...... 2. 2a1= a0+a2-2. 3. 对任意的自然数 m,在序列{a1, a2, ...... }中必有相继的 m 项 ak, ak+1, ... , ak+m-1 都为完全平方数. 试证:序列{a1, a2, ...... }的所有项都是完全平方数.

1993 年第八届中国数学奥林匹克
1. 设 n 是奇数,试证明存在 2n 个整数 a1, a2, ... , an;b1, b2, ... , bn,使得对于任意一个整 数 k,0<k<n,下列 3n 个数 ai+ai,ai+bi,bi+ bi+k 其中 i=1, 2, ..., n,=, 0< j<n)被 3n 除 时余数互不相同. 2. 给定自然数 k 及实数 a>0,在下列条件 k1+ k2+ ... +kn=k,ki 为自然数其中 1≤r≤k 下,求 ak1+ ak2+ ... + akr 的最大值. 3. 设圆 K 和 K1 同心,它们的半径分别为 R 和 R1,R1>R.四边形 ABCD 内接于圆 K, 四边形 A1B1C1D1 内接于圆 K1,点 A1,B1,C1,D1 分别在射线 CD,DA,AB,BC 上,求证:SA1B1C1D1 /SABCD≥ R12/R2. 4. 给定集合 S={z1, z2, ... , z1993},其中 z1, z2, ... , z1993 是非零复数(可看作平面试的非零 向量).求证可以把 S 中的元素分成若干组,使得 i. S 中每个元素属于且仅属于其中一组; . ii. 每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过 90 ; . iii. 将任意两组中复数分别求和,求得和数之间的夹角大于 90 . 5. 10 人到书店买书,已知 i. 每人都买了三种书; ii. 任何两人所买的书,都至少有一种相同. 问购买人数最多的一种书最(至)少有几人购买?说明理由. 6. 设函数 f: +∞)→(0, +∞)满足以下条件: (0, 对于任意正实数 x, 有 f(xy)≤f(x)f(y). y, n 2 1/2 试证:对任意的正实数 x 及自然数 n,有 f(x )≤f(x)f(x ) ...f(x)1/n.

1994 年第九届中国数学奥林匹克
1. 设 ABCD 是一个梯形(AB//CD),E 是线段 AB 试一点,F 是线段 CD 上一点,线段 CE 与 BF 相交于点 H,线段 ED 与 AF 相交于点 G,求证:SEHFG≤SABCD/4.如果 ABCD 是一个任意的凸圆边形,同样结论是否成立?请说明理由. 2. n(n≥4)个盘子里放有总数不少于 4 的糖块,从任意的两个盘子各取一块糖,放入另 一个盘子中,称为一次操作,问能可经过有限次操作,将所有的糖块集中列一个盘 子里去?证明你的结论. 3. 求适合以下条件的所有函数 f:[0, +∞)→[0, +∞), i. f(2x)≤2(x+1); ii. f(x+1) = [ f(x)2 -1]/x. 4. 已知 f(z)=C0zn+C1zn-1+C2zn-2+....+Cn-1z+Cn 是一个 n 次复系数多项式,求证:一定存 在一个复数 z0,|z0|≤1,满足 |f(z0)|≥|C0|+|Cn|.

5. 对任何自然数 n,求证:

,

其中 0C0=1,[(n-k)/2]表示(n-k)/2 的整数部份. 6. 设 M 为平面试坐标为(Px1994,7Px1994)的点,其中 P 是素数,求满足下述条件的直 角三角形的个数: i. 三角形的三个顶点都是整点,面且 M 是直角顶点; ii. 三角形的内心是坐标原点.

1995 年第十届中国数学奥林匹克
1. 设 2n 个实数 a1, a2, ... , an;b1, b2, ... , bn(n≥3)满足 i. a1+ a2+ ... +an=b1+ b2+ ... +bn; ii. 0<a1= a2,ai+ ai+1= ai+2 (i=1, 2, ..., n-2); iii. 0<b1≤b2,bi+ bi+1≤ bi+2 (i=1, 2, ..., n-2). 求证:an-1+ an≤bn-1+bn. 2. 设 N 为自然数集合,f:N→N 适合条件:f(1)=1,对于任何自然数 n 都有 o 3f(n) f(2n+1) =f(2n) ( 1+3f(n) ); o f(2n) < 6 f(n). 试求方程 f(k) +f(l)=293,其中 k<l 的所有解. 3. 试求

的最小值,其中 x 和 y 是任意整数. 4. 空间有四个球,它们的半径分别为 2,2,3,3,每个球都与其余 3 个球外切,另有 一个小球与那圆球都外切,求该小球的半径. 5. 设 a1, a2, ... , a10 是 10 个两两不同的自然数,它们的和为 1995,试求 a1a2+a2a3+...+a9a10+a10a1 的最小值. 6. 设 n 是大于 1 的奇数,已给

.设

, i=1, 2, .... , n 其中

.

记 求证:m 是 n 的倍数.

,k=1, 2, ....若正整数 m 满足

,

1996 年第十一届中国数学奥林匹克
1. 设 H 是锐角△ABC 的垂心, A 向 BC 为直径的圆作切线 AP, 由 AQ, 切点分别为 P, Q.求证:P,H,Q 三点共线.

2. 设 S={1, 2, ... , 50},求最小自然数 k,使 S 的任一 k 元素中,都存在两个不同的数 a 和 b,满足(a+b)整除 ab. 3. 设 R 为实数集合,函数 f:R→R 适合条件 f( x3+y3 )=(x+y)( f(x)2 -f(x)f(y) +f(y)2 ),x, y 为实数.试证:对一切实数 x,都有 f( 1996 x ) = 1996 f(x). 4. 8 位歌手参加艺术会,准备为他们安排 m 次演出,每次由其中 4 位登台表演.要求 8 位歌手中任意两位同时演出的次数都一样多,请设计一种方案,使得演出的次数 m 最少.

5. 设 n 为自然数, 求证:

,且

.

. 6. 在△ABC 中,∠C=90 ,∠A=30 ,BC=1,求△ABC 的内接三角形(三顶点分别在三 边上的三角形)的最长边的最小值.
. .

1998 年第十三届中国数学奥林匹克
1. 在一个非钝角△ABC 中,AB>AC,∠B=45 ,O 和 I 分别是△ABC 的外它和内心, 且√2 OI =AB - AC,求 sin∠A. 2. 对于给定的大于的正整数 n,是否存在 2n 个两两不周的正整数,同时满足以下两个 条件: 1. a1+a2+....+an =b1+b2+....+bn ;
.

2. 请说明理由.

.

3. 设 S={1, 2, .... , 98}, 求最小自然数 n, 使得 S 的任一 n 元子集中都可以选出 10 个数, 无论怎样将这 10 个数均分成两组,总有一组中存在一个数与另外 4 个数都互质,而 另一组总有一个数与另外 4 个数都不互质. 4. 求所有大于 3 的自然数 n,使得得 1+nC1+nC2+nC3 整除 22000. 5. 设 D 为锐角三角形 ABC 内部一点,且满足条件: DAxDBxAB + DBxDCxBC + DCxDAxCA=ABxBCxCA. 试确定 D 点的几何位置,并证明你的结论

6. 设 n≥2,x1, x2, ...., xn 为实数,且 定的自然数 k (1≤k≤n),求| xk |的最大值.

.对于每一个固

1999 年第十四届中国数学奥林匹克
1. 在锐角△ABC 中,∠C >∠B,点 D 是边 BC 上一点,使得∠ADB 是钝角,H 是△ ABD 的垂心,点 F 在△ABC 内部且在△ABD 的外接圆周上.求证点 F 是△ABC 垂 心的充份必要条件是:HD 平行于 CF 且 H 在△ABC 的外接圆周上. 2. 给定实数 a,设实数多项式序列{ fn(x) }满足 f0(x)=1,fn+1(x)=xfn(x)+fn(ax),其中 n=0, 1, .... 1. 求证:fn(x)=xn fn(1/x),其中 n=0, 1, .... 2. 求证:fn(x)的明显表达式. 3. MO 太空城由 99 个空间站组成,全两空间站之间有管形通道相联.规定其中 99 条 通道为双向通行的主干道,其余通道严格单向通行,如果某四个空间站可以通过它 们之间的通道从其中任一站到达另外任一站,则称这四个站的集合为一个互通四站 组. 试为 MO 太空城设计一个方案,使得互通四站组的数目最大(请具体算出该最大数, 并证明你的结论). 4. 设 m 是给定的整数,求证:存在整数 a,b 和 k,其中 a,b 均不能被 2 整除,k≥0, 使得 2m=a19+b99+k × 21999. 5. 求最大的实数 λ,使得当实系数多项式 f(x)=x3+ax2+bx+c 的所有根都是非负实数时, 只要 x≥0,就有 f(x)≥λ(x - a)3.并问上式中等号何时成立? 6. 设 4x4x4 的大正方体由 64 个单位正方体组成.选取其中的 16 个单位正方体涂成红 色,使得大正方体中每个由 4 个单位正方体椭成的 1x1x4 的小长方体中,都恰有 1 个红正方体.问 16 个红正方体共有多少种不同取法?说明理由.

2000 中国数学奥林匹克(第十五届全国中学生数学冬令营) 中国数学奥林匹克(第十五届全国中学生数学冬令营 五届全国中学生数学冬令营)
第一天 一,设 a,b,c 为△ABC 的三条边,a≤b≤c,R 和 r 分别为△ABC 的外接圆半径 和内切圆半径. 令 f=a+b-2R-2r,试用角 C 的大小来判定 f 的符号. 二, 数列{an}定义如下: 1=0, 2=1, n=(1/2)nan-11+(1/2)n(n-1)an-22+(-1)n(1 a a a 1 2 n-2-2 n-1-1 -n/2),n≥3.试求 fn=an+2Cn an-11+3Cn an-22+…+(n-1)Cn a2+nCn a1 的最简表 达式. 三,某乒乓俱乐部组织交流活动,安排符合以下规则的双打赛程表. 规则为: (i)每名参加者至多属于两个对子; (ii)任意两个不同对子之间至多进行一次双打; (iii)凡表中同属一对的两人就不在任何双打中作为对手相遇. 统计各人参加的双打次数,约定将所有不同的次数组成的集合称为"赛次 集". 给定由不同的正整数组成的集合 A={a1,a2,…,ak},其中每个数都能被 6 整除. 试问最少必须有多少人参加活动,才可以安排符合上述规则的赛程表,使 得相应的赛次集恰为 A. 请证明你的结论. 第二天 四,设 n≥2.对 n 元有序实数组 A=(a1,a2,…,an),令 bk= ai,k=1,2,…, n. 称 B=(b1,b2,…,bn)为 A 的"创新数组";称 B 中的不同元素个数为 A 的"创新阶数". 考察 1,2,…,n 的所有排列(将每种排列都视为一个有序数组),对其中 创新阶数为 2 的所有排列,求它们的第一项的算术平均值. 五,若对正整数 n,存在 k,使得 n=n1n2…nk= -1,其中 n1,…,

nk 都是大于 3 的整数,则称 n 具有性质 P. 求具有性质 P 的所有数 n . 六,某次考试有 5 道选择题,每题都有 4 个不同答案供选择. 每人每题恰选 1 个答案. 在 2000 份答卷中发现存在一个 n,使得任何 n 份答卷中都存在 4 份, 其中每两份的答案都至多 3 题相同. 求 n 的最小可能值.

2001 年第十六届中国数学奥林匹克
1. 给定 a, . 内接于单位圆 ABCD 的凸四边形适合以下条件:

1. 圆心在这凸四边形内部; 2. 最大边长是 a , 最小边长是 .

过点 A,B,C,D 依次作圆 Γ 的四条切线 LA,LB,LC,LD.已知 LA 与 LB,LB 与 LC, C 与 LD, D 与 LA 分别相交于 A' , , , 四点. 求面积之比 SA'B'C'D' /SABCD L L B' C' D' 的最大值与最小值. 2. 设 X={1,2,3, … 2001}, 求最小的正整数 m,适合要求:对 X 的任何一个 m 元子集 W, 都存在 u,v ( u 和 v 允许相同 ),使得 u+v 是 2 的方幂. 3. 在正 n 边形的每个顶点上各停有一只喜鹊.偶受惊吓, 众喜鹊都飞去. 一段时间 后, 它们又都回到这些顶点上, 仍是每个顶点上一只, 但未必都回到原来的顶点. 求 所有正整数 n,使得一定存在 3 只喜鹊,以它们前后所在的顶点分别形成的三角形 或同为锐角三角形,或同为直角三角形,或同为钝角三角形 4. 设 a, b, c, a+b-c, a+c-b, b+c-a, a+b+c 是 7 个两两不同的质数, 且 a, b, c 中有两数之和 是 800.设 d 是这 7 个质数中最大数与最小数之差.求 d 的最大可能值. 5. 将周长为 24 的圆周等分成 24 段. 从 24 个分点中选取 8 个点,使得其中任何两点 间所夹的弧长都不等于 3 和 8.问满足要求的 8 点组的不同取法共有多少种?说明 理由. 6. 记 a=2001.设 A 是适合下列条件的正整数对(m,n)所组成的集合: 1. m < 2a; 2. 2n | (2am-m2+n2); 3. n2-m2+2mn≤2a(n-m).



, 求



.

2002 年中国数学奥林匹克
上海 1 月 27 日-28 日早上 8:00-12:30,每题 21 分. 1. 三角形 ABC 的三边长分别为 a,b,c,b<c,AD 是角 A 的内角平分线,点 D 在边 BC 上. 1. 求在线段 AB,AC 内分别存在点 E,F(不是顶点)满足 BC=CF 和∠BDE=∠ CDF 的充份必要条件(用角 A,B,C 表示); 2. 在点 E 和 F 存在的情况下,用 a,b,c 表示 BE 的长. 2. 设多项式序列{ Pn(x) }满足:P1(x)=x2-1,P2(x)=2x(x2-1),且 Pn+1(x)Pn-1(x)=( Pn(x) )2-(x2-1)2,n=2, 3, ..... 设 Sn 为 Pn(x)各项系数的绝对值之和,对于任意正整数 n,求非负整数 kn 使得 2-knSn 为奇数. 3. 18 支足球队进行单循环赛,即每轮将 18 支球队分成 9 组,每组的两队赛一场,下 一轮重新分组进行比赛,共赛 17 轮,使得每队都与另外 17 支队各赛一场.按任意 可行的程序比赛了 n 轮之后,总存在 4 支球队,它们之间总共只赛了 1 场.求 n 的 最大可能值.

4. 对于平面上任意四个不同点 P1,P2,P2,P4,求 的最小值. 5. 平面上横纵坐标都为有理数的点称为有理点.证明平面上的全体有理点可以分为三 个两两不相交的集合,满足条件: 1. 在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含这三个集个中每个集合的点. 2. 在任意一条直线上不可能有三个点分别属于这三个集合. 6. 给定实数 c,1/2<c<1,求最小的常数 M,使得对任意整数 n≥2,及实数 0<a1≤ a2

≤ ....≤ an,只要满足 其中 m 不超过 cn 的最大整数.

,总有

,

2003 年中国数学奥林匹克暨第 18 届全国中学生数学冬令营
湖南 长沙 2003-1-15 -- 16
一 设点 H,I 分别为锐角ΔABC 的内心和垂心,点 B1,C1 分别为边 AC,CB 的中点.已知 射线 B1I 交边 AB 于点 B(B2≠B) 射线 C1I 交 AC 的延长线于点 C2, 2C2 与 BC 相交于 K, , B 2 试证: I, 1 三点共线的充要条件是ΔBKB2 和ΔCKC2 的面积相等. A, A A1 为ΔBHC 的外心. 二 求出同时满足如下条件的集合 S 的元素个数的最大值 (1)S 中的每个元素都是不超过 100 的正整数; (2)对于 S 中的任意两个不同的元素 a,b,都存在 S 中的元素 c,使得 a 与 c 的最大公约 数等于 1,并且 b 与 c 的最大公约数也等于 1; (3)对于 S 中的任意两个不同的元素 a,b,都存在 S 中异于 a,b 的元素 d,使得 a 与 d 的最大公约数大于 1,并且 c 与 d 的最大公约数也大于 1. 三 给定正整数 n,求最小的正数λ,使得对于任何 θ i ∈ (0,

π
2

), (i = 1, 2, , n) ,只要

tan θ1 tan θ 2 tan θ n = 2
就有

n 2

cos θ1 + cos θ 2 + + cos θ n
不大于λ. 四 求所有满足 am≥2,m≥2 的三元数组(a,m,n) ,使得 an+203 是 am+1 的倍数. 五 某公司需要录用一名秘书, 共有 10 人报名, 公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面试, 前 3 个面试后一定不录用. 自第 4 个人开始将他们与前面面试过的人相比较, 如果他的能力 超过了前面所有已面试过的人,就录用他;否则就不录用,继续试下一个.如果前面 9 个都 不录用,那么就录用最后一个面试的人. 假定这 10 个人的能力各不相同,可以按能力由强到弱排为第 1,第 2,……,第 10. 显然该公司到底录用哪一个人,与这 10 个人的报名顺序有关,大家知道,这样的排列共有 10!种.我们以 Ak 表示能力第 k 的人能够被录用的不同报名顺序数目,以

Ak 表示他被录 10!

用的可能性. 证明:在该公司经理的方针之下,有 (1) A1>A2>…>A8=A9=A10; (2)该公司有超过 70%的可能性录取到能力最强的 3 个人之一,而只有不超过 10%的 可能性录用到能力最弱的 3 人之一. 六 设 a,b,c,d 为正实数, 满足 ab+cd=1, Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的 点 四个点,求证:

a 2 + b2 c2 + d 2 (ay1 + by2 + cy3 + dy4 ) + (ax4 + bx3 + cx2 + dx1 )2 ≤ 2 + . cd ab


相关文章:
2016 (第32届) 中国数学奥林匹克试题及解答.doc
2016 (第32届) 中国数学奥林匹克试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区
中国数学奥林匹克第十五届试题.doc
中国数学奥林匹克第十五届试题_学科竞赛_小学教育_教育专区。中国数学奥林匹克第十五届试题,中国数学奥林匹克试题,2017中国数学奥林匹克试题,女子奥林匹克数学竞赛,...
2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word).doc
2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012 年中国数学奥林匹克(CMO)试题第一天 ? 上两点 D 、 E 分别为弧 1. 如图 ...
2016 (第32届) 中国数学奥林匹克试题及解答.doc
2016 (第32届) 中国数学奥林匹克试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016 (第32届) 中国数学奥林匹克试题及解答 文档贡献者 867450065 贡献于2016-12-01 ...
第25届中国数学奥林匹克(CMO)竞赛试题(图片版,含答案).doc
第25届中国数学奥林匹克(CMO)竞赛试题(图片版,含答案)_学科竞赛_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 第25届中国数学奥林匹克(CMO)竞赛试题(图片版...
2016年第32届中国数学奥林匹克(CMO)试题.doc
2016年第32届中国数学奥林匹克(CMO)试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年第32届中国数学奥林匹克(CMO)试题。 文档贡献者 张英笑 贡献于2016-11-27 ...
2016年第32届中国数学奥林匹克(CMO)竞赛试题(图片版,无....doc
2016年第32届中国数学奥林匹克(CMO)竞赛试题(图片版,无答案)_数学_高中教育_教育专区。2016年第32届中国数学奥林匹克(CMO)竞赛试题(图片版,无答案) ...
第三十届中国数学奥林匹克试题解答.pdf
第三十届中国数学奥林匹克试题解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。蕴秀斋周老师大作
第31届中国数学奥林匹克试题.doc
第31届中国数学奥林匹克试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。第31届中国数学奥林匹克试题201512.16 第31 届中国数学奥林匹克江西 鹰潭 第一天(2015 年 12 月 16...
2015第31届中国数学奥林匹克竞赛(CMO)试题及解答.doc
2015第31届中国数学奥林匹克竞赛(CMO)试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。对2015年第31届中国数学奥林匹克竞赛(CMO)试题作了详细的证明。...
第32届中国数学奥林匹克(CMO)竞赛试题(图片版,无答案).doc
第32届中国数学奥林匹克(CMO)竞赛试题(图片版,无答案)_学科竞赛_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 第32届中国数学奥林匹克(CMO)竞赛试题(图片版...
2015年CMO 中国数学奥林匹克试题.pdf
2015年CMO 中国数学奥林匹克试题 - 第 30 届中国数学奥林匹克 重庆
2015年中国数学奥林匹克试题解答.doc
2015年中国数学奥林匹克试题解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。 文档贡献者
2015年中国数学奥林匹克(CMO)试题及其解答(扫描版)_图文.doc
2015年中国数学奥林匹克(CMO)试题及其解答(扫描版) - 1 2 3 4 5 6... 2015年中国数学奥林匹克(CMO)试题及其解答(扫描版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。1 2...
2014年第30届中国数学奥林匹克试题+答案_图文.doc
2014年第30届中国数学奥林匹克试题+答案 - 2014 年中国数学奥林匹克(第 30 届全国中学生数学冬令营) 第一天试题 2014 年 12 月 20 日 8:00-12:30 重庆 ....
2002年中国数学奥林匹克试题及解答_图文.pdf
2002年中国数学奥林匹克试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2002年中国数学奥林匹克试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区...
第七至十九届中国数学奥林匹克竞赛试题含答案.doc
高考资源网(www.ks5u.com) ,您身边的高考专家第七至十九届中国数学奥林匹克 十九届中国数学奥林匹克竞赛试题 届中国数学奥林匹克 第七届中国数学奥林匹克 (1992...
奥数:附录:小学数学奥林匹克试题分类索引.doc
奥数:附录:小学数学奥林匹克试题分类索引_学科竞赛_小学教育_教育专区。小学奥数,...奥数精品 附录 小掌数学奥林匹克试题 分类索引 (五至六年级) 在这里,我们主要...
奥数:附录:小学数学奥林匹克试题分类索引 (3).doc
数学精品 附录 小掌数学奥林匹克试题 分类索引 (五至六年级) 在这里,我们主要...基本题 这些都是小学数学的常规计算题,并不需要数学竞赛方面的知识,只要认真和...
【精品】2016奥林匹克竞赛(中国区)选拔赛试 九年级数学....doc
【精品】2016奥林匹克竞赛(中国区)选拔赛试 九年级数学试题(附答案) - 2016 中国区选拔赛 考生须知:本卷考试时间 90 分钟,共 120 分,每题 5 分,考试期间,...
更多相关标签: