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一次函数与几何图形综合题_教师版

一、填空题:

x+1

1、若分式3x—2 的值为零,则 x=



0.4x+

1 5

y

2、不改变分式的值,把分式

1 5

x+0.2y

的分子、分母各基系数化为整数,则





1

3、计算:x+2 +(x—2)—1=



4、用科学数法表示—1350000=

;0.000018=



5、计算:m— 3m2nn +m3—m2nn =



6、计算:(a—b+

4ab a—b

)(a+b—

4ab a+b

)=



7、方程2x4—x 1 =2x—x+21 的解是



8、某市为了治理污水,需要铺设一段全长为 3000 米的污水排放管道,为了尽量减少施工

对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天的工作效率比原计划增加 25%,结果提前

20 天完成这一任务,求原计划每天铺设管道多少米?设原计划每天铺设 x 米管道,根据

题意可列得方程



9、已知

x+ 1 x

=3,求

x4

x2 ? x2

?

1

=

1
。10、使分式 1 ? 1 有意义的条件为
x



11、若

a

是方程

x2-5x+1=0

的根,则

a4+

1 a4

=



12、若实数

a,b

满足

a b

?

b a

?

2

,则

a2 ? ab ? b2 a2 ? 4ab ? b2

的值为:



二、选择题:

—x

9、下列分式中与分式x—y 的值相等的是(

):

x A、x+y ;

—x

x

B、 y—x ; C、 y— x ;

x D、— y— x ;

10、当 X 为任意实数时,下列各式中一定有意义的是( ):

x—1 A、 x2 ;

x—1

x—1

x—1

B、x2—1 ; C、 x2+1 ; D、 x+1 ;

a1 11、化简:a÷b ·a 的结果是(

b ):A、1; B、a ;

C、ab;

1

1

12、计算:a—1 + a2—1 的结果是(

):

a D、b ;

a2+a—2

a+1

a+2

A、(a—1)(a2—1) ; B、a2—1 ; C、a2—1 ;

a—1 D、a2—1 ;

1

14

13、分式方程x—3 + x+3 =x2—9 的解是(

):

A、无解; B、x=2; C、 x=—2; D、x=2 或 x=—2;

x2

4

14、如果解方程x—2 =x + x(x—2) 出现增根,则增根只可能是(

):

A、0 或者; B、4; C、0 或 4; D、不能确定;

15、炎炎夏日,甲安装队为 A 小区安装 66 台空调,乙安装队为 B 小区安装 60 台空调,两 队同时开工,恰好同时完成。甲队比乙队每天多安装 2 台,设乙队每天安装 x 台,依题

意,下面所列出的方程中正确性的是( ):

A、6x6 =x6—02 ;

B、x6—62 =6x0 ; C、6x6 =x6+02 ; D、x6+62 =6x0 ;

16、一队学生去春游,预计共需费用 120 元,后来又有 2 人参加进来,总费用不变,于是 每人可少分摊 3 元,求这组学生原来的人数。设这队学生原来的人数为 X,则依题意可

列得方程为( ):

120 120 A、x+2 +3= x ;

120 120

120 120

120 120

B、 x =x+2 —3; C、x—2 = x +3; D、x—2 = x —3。

三、解答题: x2
17、当 x 为何值时,分式9—3x 的值为正数。

18、计算:(—ab )2·(ab22 )3÷(ba22 )2;

x+2y 3y—x 3x—4y 19、计算:x2—y2 + y2—x2 — x2—y2 ;

2—x 1 20、解方程:x—3 +3—x =1;

2 ?3? 7 x ? 3 2 2x ? 6

3 21、计算:(4

)2÷(43

)—2—(π

—3.14)0—(—12

)—2;

四、知识的运用:

22、化简:

x ?2 x2 ?1

?

2x ? 2 x2 ? 2x ?1

?

1 x ?1

23、化简:

1?

a ?1?( a a a?2

?

a2

1) ? 2a

24、已知 1 ? 1 ? 3 ,求分式 2a ? 3ab ? 2b 的值.

ab

a ? ab ? b

25、当 m 为何值时代 数式m2+3 +32 与代数式2m7+6 的值相等。

AB

5x—4

26、如果x—5 +x+2 =(x—5)(x+2)4 ,试求常数 A、B 的值。

x2—2x+1 x—1 27、有这样一道题:“计算 x2—1 ÷ x2+x —x 的值,其中 x=1008,”粗心的小刚错抄成
“x=1080”,但他的结果也是正确的,你能解释这是怎么回事吗?

五、阅读与探究:

28、将四个数 A、B、C、D 排成两行,两列,两边各加上一条竖线,记作 a b ,定交 a b

cd

cd

3X

2

=AD—BC,上述记号就叫二阶行列式,根据以上定义解方程: 1 1 =3 2—x x+2

29、已知

x2 P=x—y

y2 —x—y

,Q=(x+y)—2y(x+y),小敏和小聪两人在 x=2,y=—1 的条件

下分别计算出了 P 值和 Q 值,小明说 Q 值大于 P 值,小聪说 P 值大于 Q 值。聪明的你去

判断一下谁的结论正确,并说明理由。

六、分式方程的应用: 30、在建设社会主义新农村中,某乡镇决定对一段公路进行改造,已知这项工程由甲工程 队单独做需要 40 天完成;如果由乙队先单独做 10 天,那么剩下的工程还需要两队合作 20 天才能完成。 (1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数; (2)求两队合作完成这项工程所需的天数。
31、已知某项工程由甲、乙两队合做 12 天可以完成,共需工程费用 27720 元. 乙队单独完 成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的 1.5 倍,且甲队每天的工程费用比 乙队多 250 元. (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? (2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程,从节约资金的角度考 虑,应选择哪个工程队?请说明理由. 1、直线 y=-2x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,C 在 y 轴的负半轴上,且 OC=OB

y

Q B

o

AP

x

C

(1) 求 AC 的解析式; (2) 在 OA 的延长线上任取一点 P,作 PQ⊥BP,交直线 AC 于 Q,试探究 BP 与 PQ 的数量关系,并
证明你的结论。 (3) 在(2)的前提下,作 PM⊥AC 于 M,BP 交 AC 于 N,下面两个结论:①(MQ+AC)/PM 的值不
变;②(MQ-AC)/PM 的值不变,期中只有一个正确结论,请选择并加以证明。

y

Q B
M

o

AP

x

C

2.(本题满分 12 分)如图①所示,直线 L: y ? mx ? 5m 与 x 轴负半轴、 y 轴正半轴分别交
于 A、B 两点。 (1)当 OA=OB 时,试确定直线 L 的解析式;

第 2 题图①

第 2 题图②

(2)在(1)的条件下,如图②所示,设 Q 为 AB 延长线上一点,作直线 OQ,过 A、B 两点分

别作 AM⊥OQ 于 M,BN⊥OQ 于 N,若 AM=4,BN=3,求 MN 的长。

(3)当 m 取不同的值时,点 B 在 y 轴正半轴上运动,分别以 OB、AB 为边,点 B 为直角

顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE,连 EF 交 y 轴于 P 点,如图③。
问:当点 B 在 y 轴正半轴上运动时,试猜想 PB 的长是否为定值,若是,请求出其值, 若不是,说明理由。
第 2 题图③
一次函数与几何图形综合专题讲座
思想方法小结 : (1)函数方法. 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型, 进而解决有关问题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法 可以解决许多数学问题. (2)数形结合法. 数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在 解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用. 知识规律小结 : (1)常数 k,b 对直线 y=kx+b(k≠0)位置的影响. ①当 b>0 时,直线与 y 轴的正半轴相交; 当 b=0 时,直线经过原点; 当 b﹤0 时,直线与 y 轴的负半轴相交.
②当 k,b 异号时,即- b >0 时,直线与 x 轴正半轴相交; k
当 b=0 时,即- b =0 时,直线经过原点; k
当 k,b 同号时,即- b ﹤0 时,直线与 x 轴负半轴相交. k
③当 k>O,b>O 时,图象经过第一、二、三象限; 当 k>0,b=0 时,图象经过第一、三象限;

当 b>O,b<O 时,图象经过第一、三、四象限; 当 k﹤O,b>0 时,图象经过第一、二、四象限; 当 k﹤O,b=0 时,图象经过第二、四象限; 当 b<O,b<O 时,图象经过第二、三、四象限. (2)直线 y=kx+b(k≠0)与直线 y=kx(k≠0)的位置关系. 直线 y=kx+b(k≠0)平行于直线 y=kx(k≠0) 当 b>0 时,把直线 y=kx 向上平移 b 个单位,可得直线 y=kx+b; 当 b﹤O 时,把直线 y=kx 向下平移|b|个单位,可得直线 y=kx+b. (3)直线 b1=k1x+b1 与直线 y2=k2x+b2(k1≠0 ,k2≠0)的位置关系.
①k1≠k2 ? y1 与 y2 相交;



?k1 ??b1

? ?

k2 b2

? y1 与 y2 相交于 y 轴上同一点(0,b1)或(0,b2);



?k1 ??b1

? ?

k2, b2

? y1 与

y2 平行;



?k1 ??b1

? ?

k2, b2

? y1 与

y2 重合.

例题精讲:
1、直线 y=-2x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,C 在 y 轴的负半轴上,且 OC=OB y

Q B

o

AP

x

C

(4) 求 AC 的解析式; (5) 在 OA 的延长线上任取一点 P,作 PQ⊥BP,交直线 AC 于 Q,试探究 BP 与 PQ 的数量关系,并
证明你的结论。 (6) 在(2)的前提下,作 PM⊥AC 于 M,BP 交 AC 于 N,下面两个结论:①(MQ+AC)/PM 的值不
变;②(MQ-AC)/PM 的值不变,期中只有一个正确结论,请选择并加以证明。

y

Q B
M

o

AP

x

C

2.(本题满分 12 分)如图①所示,直线 L: y ? mx ? 5m 与 x 轴负半轴、 y 轴正半轴分别交
于 A、B 两点。 (1)当 OA=OB 时,试确定直线 L 的解析式;

第 2 题图①

第 2 题图②

(2)在(1)的条件下,如图②所示,设 Q 为 AB 延长线上一点,作直线 OQ,过 A、B 两点分

别作 AM⊥OQ 于 M,BN⊥OQ 于 N,若 AM=4,BN=3,求 MN 的长。

(3)当 m 取不同的值时,点 B 在 y 轴正半轴上运动,分别以 OB、AB 为边,点 B 为直角 顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE,连 EF 交 y 轴于 P 点,如图③。
问:当点 B 在 y 轴正半轴上运动时,试猜想 PB 的长是否为定值,若是,请求出其值, 若不是,说明理由。

考点:一次函数综合题;直角三角形全等的判定. 专题:代数几何综合题.

第 2 题图③

分析:(1)是求直线解析式的运用,会把点的坐标转化为线段的长度;

(2)由 OA=OB 得到启发,证明∴△AMO≌△ONB,用对应线段相等求长度;

(3)通过两次全等,寻找相等线段,并进行转化,求 PB 的长.
解答:解:(1)∵直线 L:y=mx+5m, ∴A(-5,0),B(0,5m), 由 OA=OB 得 5m=5,m=1, ∴直线解析式为:y=x+5. (2)在△AMO 和△OBN 中 OA=OB,∠OAM=∠BON, ∠AMO=∠BNO, ∴△AMO≌△ONB. ∴AM=ON=4, ∴BN=OM=3. (3)如图,作 EK⊥y 轴于 K 点. 先证△ABO≌△BEK, ∴OA=BK,EK=OB. 再证△PBF≌△PKE, ∴PK=PB. ∴PB= 1 BK= 1 OA= 5 .
22 2
点评:本题重点考查了直角坐标系里的全等关系,充分运用坐标系里的垂

y l1
B

直关系证明全等,本题也涉及一次函数图象的实际应用问题.
A
3、如图,直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,直线 l2 与直线 l1 关于 x
轴对称,已知直线 l1 的解析式为 y ? x ? 3 ,

0

x

C l2

(1)求直线 l2 的解析式;(3 分)

y

(2)过 A 点在△ABC 的外部作一条直线 l3 ,过点 B 作 BE⊥ l3 于 E,过点 C

B

作 CF⊥ l3 于 F 分别,请画出图形并求证:BE+CF=EF
(3)△ABC 沿 y 轴向下平移,AB 边交 x 轴于点 P,过 P 点的直线与 AC 边 的延长线相交于点 Q,与 y 轴相交与点 M,且 BP=CQ,在△ABC 平移的过程中,①OM 为定值;②MC 为定值。在这两个结论中, 有且只有一个是正确的,请找出正确的结论,并求出其值。(6 分)

A

0

x

y
C
B

考点:轴对称的性质;全等三角形的判定与性质.

P A

0x

M

C

Q

分析:(1)根据题意先求直线 l1 与 x 轴、y 轴的交点 A、B 的坐标,再根据轴对称的性质
求直线 l2 的上点 C 的坐标,用待定系数法求直线 l2 的解析式;
(2)根据题意结合轴对称的性质,先证明△BEA≌△AFC,再根据全等三角形的性质,结
合图形证明 BE+CF=EF;
(3)首先过 Q 点作 QH⊥y 轴于 H,证明△QCH≌△PBO,然后根据全等三角形的性质和
△QHM≌△POM,从而得 HM=OM,根据线段的和差进行计算 OM 的值.
解答:解:(1)∵直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点, ∴A(-3,0),B(0,3), ∵直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称, ∴C(0,-3) ∴直线 l2 的解析式为:y=-x-3; (2)如图 1. 答:BE+CF=EF. ∵直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称, ∴AB=BC,∠EBA=∠FAC, ∵BE⊥l3,CF⊥l3 ∴∠BEA=∠AFC=90° ∴△BEA≌△AFC ∴BE=AF,EA=FC, ∴BE+CF=AF+EA=EF; (3)①对,OM=3 过 Q 点作 QH⊥y 轴于 H,直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称 ∵∠POB=∠QHC=90°,BP=CQ, 又 AB=AC, ∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ, 则△QCH≌△PBO(AAS), ∴QH=PO=OB=CH ∴△QHM≌△POM ∴HM=OM ∴OM=BC-(OB+CM)=BC-(CH+CM)=BC-OM ∴OM= 1 BC=3.
2 点评:轴对称的性质:对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被
对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相
等.

4.如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),且 a、

b 满足

.

(1)求直线 AB 的解析式; (2)若点 M 为直线 y=mx 上一点,且△ABM 是以 AB 为底的等腰直角三角形,求 m 值;

(3)过 A 点的直线

交 y 轴于负半轴于 P,N 点的横坐标为-1,过 N 点的直线

交 AP 于点 M,试证明

的值为定值.

考点:一次函数综合题;二次根式的性质与化简;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数 法求正比例函数解析式;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 专题:计算题. 分析:(1)求出 a、b 的值得到 A、B 的坐标,设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,代入得到 方程组,求出即可; (2)当 BM⊥BA,且 BM=BA 时,过 M 作 MN⊥Y 轴于 N,证△BMN≌△ABO(AAS), 求出 M 的坐标即可;②当 AM⊥BA,且 AM=BA 时,过 M 作 MN⊥X 轴于 N,同法求出 M 的坐标;③当 AM⊥BM,且 AM=BM 时,过 M 作 MN⊥X 轴于 N,MH⊥Y 轴于 H,证△BHM ≌△AMN,求出 M 的坐标即可. (3)设 NM 与 x 轴的交点为 H,分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G,HD 交 MP 于 D 点, 求出 H、G 的坐标,证△AMG≌△ADH,△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC,推出 PN=PD=AD=AM 代入即可求出答案.

解答:解:(1)要使 b=
必须(a-2)2=0, b - 4 =0,
∴a=2,b=4, ∴A(2,0),B(0,4), 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b, 代入得:0=2k+b,4=b, 解得:k=-2,b=4, ∴函数解析式为:y=-2x+4, 答:直线 AB 的解析式是 y=-2x+4. (2)如图 2,分三种情况:

有意义,

①如图(1)当 BM⊥BA,且 BM=BA 时,过 M 作 MN⊥Y 轴于 N, △BMN≌△ABO(AAS), MN=OB=4,BN=OA=2, ∴ON=2+4=6, ∴M 的坐标为(4,6 ),
代入 y=mx 得:m= 3 , 2
②如图(2)当 AM⊥BA,且 AM=BA 时,过 M 作 MN⊥X 轴于 N,△BOA≌△ANM(AAS),
同理求出 M 的坐标为(6,2),m= 1 , 3
③当 AM⊥BM,且 AM=BM 时,过 M 作 MN⊥X 轴于 N,MH⊥Y 轴于 H,则△BHM≌△ AMN, ∴MN=MH, 设 M(x,x)代入 y=mx 得:x=mx,(2) ∴m=1,
答:m 的值是 3 或 1 或 1. 23
(3)解:如图 3,结论 2 是正确的且定值为 2, 设 NM 与 x 轴的交点为 H,分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G,HD 交 MP 于 D 点,
由 y= k x- k 与 x 轴交于 H 点, 22
∴H(1,0),

由 y= k x- k 与 y=kx-2k 交于 M 点, 22
∴M(3,K), 而 A(2,0), ∴A 为 HG 的中点, ∴△AMG≌△ADH(ASA),
又因为 N 点的横坐标为-1,且在 y= k x- k 上, 22
∴可得 N 的纵坐标为-K,同理 P 的纵坐标为-2K, ∴ND 平行于 x 轴且 N、D 的横坐标分别为-1、1 ∴N 与 D 关于 y 轴对称, ∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC, ∴PN=PD=AD=AM,
∴ PM - PN =2. AM
点评:本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形性质,用待定系数法
求正比例函数的解析式,全等三角形的性质和判定,二次根式的性质等知识点的理解和掌握,
综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.
5.如图,直线 AB:y=-x-b 分别与 x、y 轴交于 A(6,0)、B 两点, 过点 B 的直线交 x 轴负半轴于 C,且 OB:OC=3:1。
(1)求直线 BC 的解析式:
(2)直线 EF:y=kx-k(k≠0)交 AB 于 E,交 BC 于点 F,交 x 轴于 D,是否存在这样的 直线 EF,使得 S△EBD=S△FBD?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由?
(3)如图,P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点,以 P 为直角顶点,BP 为腰在第一象限内作 等腰直角△BPQ,连接 QA 并延长交y轴于点 K,当 P 点运动时,K 点的位置是否发现变化? 若不变,请求出它的坐标;如果变化,请说明理由。
考点:一次函数综合题;一次函数的定义;正比例函数的图象;待定系数法求一次函数解析
式.
专题:计算题.
分析:代入点的坐标求出解析式 y=3x+6,利用坐标相等求出 k 的值,用三角形全等的相等
关系求出点的坐标.

解答:解:(1)由已知:0=-6-b,

∴b=-6,

∴AB:y=-x+6.

∴B(0,6)

∴OB=6

∵OB:OC=3:1,

OC= OB =2, 3
∴C(-2,0)

设 BC 的解析式是 Y=ax+c,代入得;6=0?a+c, 0=-2a+c,

解得:a=3, c=6,

∴BC:y=3x+6.

直线 BC 的解析式是:y=3x+6;

(2)过 E、F 分别作 EM⊥x 轴,FN⊥x 轴,则∠EMD=∠FND=90°.

∵S△EBD=S△FBD, ∴DE=DF.

又∵∠NDF=∠EDM,

∴△NFD≌△EDM,

∴FN=ME.

联立 y=kx-k, y=-x+6



yE=

5k k ?1



联立 y=kx-k,y=3x+6



yF=

9k k-3



∵FN=-yF,ME=yE,

∴ 5k = - 9k . k ?1 k -3

∵k≠0,

∴5(k-3)=-9(k+1),

∴k= 3 ; 7

(3)不变化 K(0,-6).

过 Q 作 QH⊥x 轴于 H,

∵△BPQ 是等腰直角三角形,

∴∠BPQ=90°,PB=PQ,

∵∠BOA=∠QHA=90°,

∴∠BPO=∠PQH,

∴△BOP≌△HPQ,

∴PH=BO,OP=QH,

∴PH+PO=BO+QH,

即 OA+AH=BO+QH,

又 OA=OB,

∴AH=QH,

∴△AHQ 是等腰直角三角形, ∴∠QAH=45°, ∴∠OAK=45°, ∴△AOK 为等腰直角三角形, ∴OK=OA=6, ∴K(0,-6).
点评:此题是一个综合运用的题,关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解.
6. 如图,直线 AB 交 X 轴负半轴于 B(m,0),交 Y 轴负半轴于 A(0,m),OC⊥ AB 于 C(-2,-2)。 (1)求 m 的值;
过G作OB的垂线,垂足为G ?OB ? OA ? ?A OB为等腰直角三角形 ??CBO ? 45? ??CGB, ?CGO, ?OCB都是等腰直角三角形 ?GB ? OG ? CG ? 2 ?m ? -4
(2)直线 AD 交 OC 于 D,交 X 轴于 E,过 B 作 BF⊥AD 于 F,若 OD=OE,求 BF 的 AE
值;

?HBO ? ?FAH(同角的余角相等) ?OE ? OD ??OED ? ?ODE ??FEB ? ?OED,?ADC ? ?ODE(对顶角相等) ??ADC ? ?FEB ??HBO ? ?CAD ??CAD ? ?FAH 在?AFB和?AFH中
??AFB ? ?AFH ? 90? ??AF ? AF(公共边) ???BAF ? ?FAH(已证) ??AFB ? ?AFH(ASA) ?BF ? HF(全等三角形对应边相等) 在?BOH和?AOE中, ??HBO ? ?EAO(已证) ??BO ? AO(已知) ???BOH ? ?AOE ? 90? ??BOH ? ?AOE(ASA) ?BH ? AE(全等三角形对应边相等) ? BH ? BF ? BH ? 2BF ? BF ? BF ? BF ? 1
AE BH 2BF 2
(3)如图,P 为 x 轴上 B 点左侧任一点,以 AP 为边作等腰直角△APM,其中 PA=PM, 直线 MB 交 y 轴于 Q,当 P 在 x 轴上运动时,线段 OQ 长是否发生变化?若不变, 求其值;若变化,说明理由。

7.在平面直角坐标系中,一次函数 y=ax+b 的图像过点 B(-1, ),与 x 轴交于点 A(4,0), 与 y 轴交于点 C,与直线 y=kx 交于点 P,且 PO=PA
(1)求 a+b 的值;
(2)求 k 的值; (3)D 为 PC 上一点,DF⊥x 轴于点 F,交 OP 于点 E,若 DE=2EF,求 D 点坐标. 考点:一次函数与二元一次方程(组). 专题:计算题;数形结合;待定系数法.

分析:(1)根据题意知,一次函数 y=ax+b 的图象过点 B(-1, 5 )和点 A(4,0),把 2
A、B 代入求值即可;

(2)设 P(x,y),根据 PO=PA,列出方程,并与 y=kx 组成方程组,解方程组;

(3)设点 D(x,- 1 x+2),因为点 E 在直线 y= 1 x 上,所以 E(x, 1 x),F(x,0),

2

2

2

再根据等量关系 DE=2EF 列方程求解.

解答:解:(1)根据题意得:

5
=-a+b
2

0=4a+b

解方程组得:a= 1 , b=2 2

∴a+b=- 1 +2= 3 ,即 a+b= 3 ;

22

2

(2)设 P(x,y),则点 P 即在一次函数 y=ax+b 上,又在直线 y=kx 上,

由(1)得:一次函数 y=ax+b 的解析式是 y=- 1 x+2, 2
又∵PO=PA,

∴x2+y2=(4-x)2+y2

y=kx

1
y=

x+2,

2

解方程组得:x=2,y=1,k= 1 , 2

∴k 的值是 1 ; 2

(3)设点 D(x,- 1 x+2),则 E(x, 1 x),F(x,0),

2

2

∵DE=2EF,

∴-

1

x+2-

1

1
x=2×

x,

22 2

解得:x=1,

则- 1 x+2=- 1 ×1+2= 3 ,

2

2

2

∴D(1, 3 ). 2

点评:本题要求利用图象求解各问题,要认真体会点的坐

标,一次函数与一元一次方程组之间的内在联系.
8. 在直角坐标系中,B、A 分别在 x,y 轴上,B 的坐标为(3,0),∠ABO=30°,AC 平分∠OAB 交 x 轴于 C; (1)求 C 的坐标;

解:∵∠AOB=90° ∠ABO=30° ∴∠OAB=30°
又 ∵ AC 是∠OAB 的角平分线 ∴∠OAC=∠CAB=30°
∵OB=3

∴OA= 3 OC=1

即 C(1,0) (2)若 D 为 AB 中点,∠EDF=60°,证明:CE+CF=OC 证明:取 CB 中点 H,连 CD,DH

∵ AO= 3 CO=1

∴AC=2 又∵D,H 分别是 AB,CD 中点

∴DH= 1 AC 2

AB=2 3

∵ DB= 1 AB= 3 BC=2 ∠ABC=30° 2
∴ BC=2 CD=2 ∠CDB=60°

CD=1=DH ∵ ∠EOF=∠EDC+∠CDF=60 ° ∠CDB=∠CDF+∠FDH=60°

∴∠EDC=∠FDH

∵AC=BC=2

∴CD⊥AB ADC=90° ∵∠CBA=30° ∴∠ECD=60°

∵HD=HB=1 ∴∠DHF=60°

在△ DCE 和 △ DHF 中

∠EDC=∠FDH ∠DCE=∠DHF

DC=DH

∴△DCE≌ △ DHF(AAS)

∴CE=HF

∴CH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1

∴CH=OC

∴OC=CE+CF
(3)若 D 为 AB 上一点,以 D 作△DEC,使 DC=DE,∠EDC=120°,连 BE, 试问∠EBC 的度数是否发生变化;若不变,请求值。

解:不变 ∠EBC=60° 设 DB 与 CE 交与点 G

?DC=DE ∠EDC=120° ∴∠DEC=∠DCE=30°

在△ DGC 和△ DCB 中

∠CDG=∠BDC ∠DCG=∠DBC=30
∴△DGC ∽ △ DCB
∴ DC = DB DG DC
DC=DE
∴ DE = DB DG DE
在 EDG 和 BDE 中
DE DB
=
DG DE ∠EDG=∠BDE
∴△EDG ∽ △ BDE
∴∠DEG=∠DBE=30° ∴∠EBD=∠DBE+∠DBC=60° 9、如图,直线 AB 交 x 轴正半轴于点 A(a,0),交 y 轴正半轴于点 B(0, b),且 a 、b
满足 a ? 4 + |4-b|=0
(1)求 A、B 两点的坐标;
(2)D 为 OA 的中点,连接 BD,过点 O 作 OE⊥BD 于 F,交 AB 于 E,求证∠BDO=∠EDA;
y
B

E F

O

D

A

x

(3)如图,P 为 x 轴上 A 点右侧任意一点,以 BP 为边作等腰 Rt△PBM,其中 PB=PM,直线

MA 交 y 轴于点 Q,当点 P 在 x 轴上运动时,线段 OQ 的长是否发生变化?若不变,

求其值;若变化,求线段 OQ 的取值范围.

y

考点:全等三角形的判定与性质;非负数的性质:

M

绝对值;非负数的性质:算术平方根.

B

专题:证明题;探究型.

O

AP

x

Q

分析:①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于 a、b 的方程,解方程组即可求出 a,b
的值,也就能写出 A,B 的坐标;
②作出∠AOB 的平分线,通过证△BOG≌△OAE 得到其对应角相等解决问题;
③过 M 作 x 轴的垂线,通过证明△PBO≌△MPN 得出 MN=AN,转化到等腰直角三角形中
去就很好解决了.
解答:解:①∵ a ? 4 +|4-b|=0
∴a=4,b=4, ∴A(4,0),B(0,4); (2)作∠AOB 的角平分线,交 BD 于 G, ∴∠BOG=∠OAE=45°,OB=OA, ∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF, ∴△BOG≌△OAE, ∴OG=AE. ∵∠GOD=∠A=45°,OD=AD, ∴△GOD≌△EDA. ∴∠GDO=∠ADE. (3)过 M 作 MN⊥x 轴,垂足为 N. ∵∠BPM=90°, ∴∠BPO+∠MPN=90°. ∵∠AOB=∠MNP=90°, ∴∠BPO=∠PMN,∠PBO=∠MPN. ∵BP=MP, ∴△PBO≌△MPN, MN=OP,PN=AO=BO, OP=OA+AP=PN+AP=AN, ∴MN=AN,∠MAN=45°. ∵∠BAO=45°, ∴∠BAO+∠OAQ=90° ∴△BAQ 是等腰直角三角形. ∴OB=OQ=4. ∴无论 P 点怎么动 OQ 的长不变.
点评:(1)考查的是根式和绝对值的性质.
(2)考查的是全等三角形的判定和性质.
(3)本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质,还有特殊三角
形的性质.
10、如图,平面直角坐标系中,点 A、B 分别在 x、y 轴上,点 B

的坐标为(0,1), ∠BAO=30°.(1)求 AB 的长度; (2)以 AB 为一边作等边△ABE,作 OA 的垂直平分线 MN 交 AB 的垂线 AD 于点 D.求证:BD=OE.

yM

E

y E

B

B

O

Ax

O

FA x

D N

D

(3)在(2)的条件下,连结 DE 交 AB 于 F.求证:F 为 DE 的中点.

考点:全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;等边三角形的性质;含 30 度角

的直角三角形.

专题:计算题;证明题.

分析:(1)直接运用直角三角形 30°角的性质即可.

(2)连接 OD,易证△ADO 为等边三角形,再证△ABD≌△

AEO 即可.

(3)作 EH⊥AB 于 H,先证△ABO≌△AEH,得 AO=EH,再

证△AFD≌△EFH 即可.
解答:(1)解:∵在 Rt△ABO 中,∠BAO=30°, ∴AB=2BO=2; (2)证明:连接 OD, ∵△ABE 为等边三角形, ∴AB=AE,∠EAB=60°, ∵∠BAO=30°,作 OA 的垂直平分线 MN 交 AB 的垂线 AD 于点 D, ∴∠DAO=60°. ∴∠EAO=∠NAB 又∵DO=DA, ∴△ADO 为等边三角形. ∴DA=AO. 在△ABD 与△AEO 中, ∵AB=AE,∠EAO=∠NAB,DA=AO ∴△ABD≌△AEO. ∴BD=OE.

(3)证明:作 EH⊥AB 于 H.
∵AE=BE,∴AH= 1 AB, 2
∵BO= 1 AB,∴AH=BO, 2
在 Rt△AEH 与 Rt△BAO 中, AH=BO ,AE=AB ∴Rt△AEH≌Rt△BAO, ∴EH=AO=AD. 又∵∠EHF=∠DAF=90°, 在△HFE 与△AFD 中, ∠EHF=∠DAF,∠EFH=∠DFA,EH=AD ∴△HFE≌△AFD, ∴EF=DF. ∴F 为 DE 的中点.

点评:本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合,来证明角相等和线段相等.

11.如图,直线 y= 1 x+1 分别与坐标轴交于 A、B 两点,在 y 轴的负半轴上截取 3
OC=OB. (1)求直线 AC 的解析式; 解:∵ 直线 y= 1 x+1 分别与坐标轴交于 A、B 两点
3 ∴ 可得点 A 坐标为(-3,0),点 B 坐标为(0,1) ∵ OC=OB ∴ 可得点 C 坐标为(0,-1) 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b 将 A(-3,0),C(0,-1)代入解析式 -3k+b=0 且 b=-1 可得 k=- 1 ,b=-1
3 ∴ 直线 AC 的解析式为 y= 1 x-1
3 (2)在 x 轴上取一点 D(-1,0),过点 D 做 AB 的垂线,垂足为 E,交 AC 于 点 F,交 y 轴于点 G,求 F 点的坐标; 解:∵ GE⊥AB
∴ k EG ? k AB ? ?1



kGE

=

?1
1

=

?

3

3

设直线 GE 的解析式为 y=-3x+b'

将点 D 坐标(-1,0)代入,得 y=-3? ???? ? b' ? 0

∴ b' ? ?3

∴ 直线 GE 的解析式为 y=-3x-3

联立

y=

1

x-1



y=-3x-3,可求出

x

?

?

3 4



3

将其代入方程可得

y= ?

3 4





F

点的坐标为(

?

3 4



?

3 4



(3)过点 B 作 AC 的平行线 BM,过点 O 作直线 y=kx(k>0),分别交直线 AC、
BM 于点 H、I,试求 AH ? BI 的值。 AB
解:过点 O 作 AC 的平行线 ON 交 AB 于点 N ∵BM//AC

? OI OB
∴ OH OC

∵OB=OC ∴OI=OH ∴O 为 IH 的中点 ∵BM//AC

= NB OI
∴ NA OH
∵ OI=OH ∴ NB=NA ∴ N 为 AB 中点 ∴ ON 是四边形 ABIH 的中位线 ∴ AH+BI=2ON
∵ N 是 AB 的中点, ? AOB 是直角三角形
∴ AB=2ON(直接三角形斜边的中线等于斜边的一半) ∴ AH+BI=AB ∴ AH ? BI =1
AB 12.如图,直线 AB:y=-x-b 分别与 x、y 轴交于 A(6,0)、B 两点,过点 B 的直 线交 x 轴负半轴于 C,且 OB:OC=3:1. (1)求直线 BC 的解析式;
解:(1)因为直线 AB:y=-x-b 过点 A(6,0). 带入解析式 就可以得到 b=-6 即直线 AB:y=-x+6 ∵B 为直线 AB 与 y 轴的交点 ∴点 B (0,6) ∵OB:OC=3:1 ∴OC=2 点 C(-2,0) 已知直线上的两点 B、C。设直线的解析式为 y=kx+m

带入 B、C 的坐标。可以算出 k=3 ,m=6

所以 BC 的解析式为:y=3x+6
(2)直线 EF:y=kx-k(k≠0)交 AB 于 E,交 BC 于点 F,交 x 轴于 D,是否 存在这样的直线 EF,使得 S△EBD=S△FBD?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明 理由?

(2) 假设 存在满足题中条件的 k 值

因为直线 EF: y=kx-k(k≠0)交 x 轴于点 D。

所以 D 点坐标为(1,0)

在图中标出点 D,且过点 D 做一直线,相交与直线 AB,BC 分别与点 E,F 然后观察△EBD 和

△FBD

则 S△EBD= 1 DE×h 2

S△FBD= 1 DF×h 2

两个三角形的高其实是一样的

要使这两个三角形面积相等,只要满足 DE=DF 就可以了

∵点 E 在直线 AB 上,∴设点 E 的坐标为(p,-p+6)

∵点 F 在直线 BC 上,∴设点 F 的坐标为(q,3q+6)

而上面我们已经得到点 D 的坐标为(1,0)

点 E、F 又关于点 D 对称,所以我们就可以得到两个等式,即:

(p+q)/2=1

(-p+6+3q+6)/2=0

这样就可以求得:p= 9 ,q=- 5

2

2

点 E 的坐标即为( 9 , 3 ),点 F 的坐标即为(- 5 ,- 3 )

22

22

把点 E 代入直线 EF 的解析式,得到 k= 3 7

所以存在 k,且 k= 3 7
(3)如图,P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点,以 P 为直角顶点,BP 为腰在第一象 限内作等腰直角△BPQ,连接 QA 并延长交 y 轴于点 K,当 P 点运动时,K 点的 位置是否发生变化?若不变,请求出它的坐标;如果变化,请说明理由。

(3) K 点的位置不发生变化

理由:首先假设直线 QA 的解析式为 y=ax+b,点 P 的坐标

为(p,0)过点 Q 作直线 QH 垂直于 x 轴,交点为 H

这样图中就可以形成两个三角形,分别是△BOP 和△PHQ,

且两个三角形都是直角三角形。

∵△BPQ 为等腰直角三角形,直角顶点为 P

∴BP=PQ,∠BPO+∠QPH=180?—90?=90?

又∵在直角三角形中,∴∠QPH+∠PQH=90?

∴根据上面两个等式,我们可以得到∠BPO=∠PQH

且 PB=QP

所以在△BOP 和△PHQ 中

∠BOP=∠PHQ ∠BPO=∠PQH PB=QP

∴△BOP≌△PHQ(AAS)

∴OP=HQ=p

OB=HP=6 (全等三角形的对应边相等)

∴点 Q 的坐标为(p+6,p)

然后将点 A 和点 Q 的坐标代入直线 QA 的解析式:y=ax+b 中,得到:

a=1,b=-6

也就是说 a,b 为固定值,并不随点 P(p,0)的改变而改变

这样直线 QA:y=x-6 的延长线交于 Y 轴的 K 点也不会随点 P 的变化而变化了。 求得点 K 的坐标为(0,-6) 实战练习:
1.已知,如图,直线 AB:y=-x+8 与 x 轴、y 轴分别相交于点 B、A,过点 B 作 直线 AB 的垂线交 y 轴于点 D. (1)求直线 BD 的解析式;

(2)若点 C 是 x 轴负半轴上的任意一点,过点 C 作 AC 的垂线与 BD 相交于点 E,请你判断:线段 AC 与 CE 的 大小关系?并证明你的判断;

(3)若点 G 为第二象限内任一点,连结 EG,过 点 A 作 AF⊥FG 于 F,连结 CF,当点 C 在 x 轴的 负半轴上运动时,∠CFE 的度数是否发生变化?若 不变,请求出∠CFE 的度数;若变化,请求出其变化范围.

2.直线 y=x+2 与 x、y 轴交于 A、B 两点,C 为 AB 的中点. (1)求 C 的坐标;
(2)如图,M 为 x 轴正半轴上一点,N 为 OB 上一点,若 BN+OM=MN,求∠ NCM 的度数;
(3)P 为过 B 点的直线上一点,PD⊥x 轴于 D,PD=PB,E 为直线 BP 上一点, F 为 y 轴负半轴上一点,且 DE=DF,试探究 BF-BE 的值的情况.
3.如图,一次函数 y=ax-b 与正比例函数 y=kx 的图象交于第三象限内的点 A,与

y 轴交于 B(0,-4)且 OA=AB,△OAB 的面积为 6. (1)求两函数的解析式; (2)若 M(2,0),直线 BM 与 AO 交于 P,求 P 点的坐标;

(3)在 x 轴上是否存在一点 E,使 S△ABE=5,若存在,求 E 点的坐标;若不存 在,请说明理由。
一次函数测试题

一.选择题(每题 3 分)

(总分100分)

1.已知:一次函数 y ? (a ?1)x ? b 的图象如图所示,那么,a 的取值范围是( )
y
A、 a ?1 B、 a ?1 C、 a ? 0 D、 a ? 0

2.下列函数中,自变量 x 的取值范围是 x≥2 的是( )

O

x

A.y= 2 ? x B.y= 1 x?2

C.y= 4 ? x2

D.y= x ? 2 · x ? 2

3..函数 y=ax+b 与 y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是( )

A

B.

C.

D.

4.如果直线 y=x+m 与两坐标轴围成的三角形面积等于 2,则 m 的值是( )

A、±3 B、3 C、±4 D、4

5.无论 m 为何实数,直线 y ? x ? 2m 与 y ? ?x ? 4 的交点不可能在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6.已知点A(-5,y1)和点B(-4,y2)都在直线 y ? ?7x ? b 上,则 y1 与 y2 的大小关系

为(



A. y1 ? y2

B. y1 ? y2

C. y1 ? y2

D.不能确定

3

3

7.要得到 y=- 2 x-4 的图像,可把直线 y=- 2 x( ).

(A)向左平移 4 个单位 (C)向上平移 4 个单位

(B)向右平移 4 个单位 (D)向下平移 4 个单位

8.已知一次函数 y =(m+2)x+(1-m),若 y 随 x 的增大而减小,且此函数图象

与 y 轴的交点在 x 轴的上方,则 m 的取值范围是( )

A. m>-2

B. m <1

C. m <-2 D. m <1 且 m≠-2

9.已知两点 M(3,5),N(1,-1),点 P 是 x 轴上一动点,若使 PM+PN 最短,

则点 P 的坐标应为

1

2

4

3

A. ( 2 ,-4)B. ( 3 ,0) C. ( 3 ,0)D. ( 2 ,0)

10.某储运部紧急调拨一批物资,调进物资共用4小时,调

进物资 2 小时后开始调出物资(调进物资与调出物资的速度均

保持不变).储运部库存物资 S(吨)与时间 t(小时)之间的函数关

系如图所示,这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是( )s

A、4 小时 B、4.4 小时

C、4.8 小时D、5 小时

30

二,填空题(每题 4 分)

10

O

2

4

t

1.已知函数 y=(k-1)x+k2-1,当 k_______时,它是一次函数,当 k=_______?时, 它是正比例函数.

2..一次函数 y=kx+3 与 y=3x+6 的图像的交点在 x 轴上,则 k=



3.已知一次函数 y=(m-2)x+m-3 的图像不经过第二象限,则 m 的取值范围是

________.

4. 等腰三角形的周长为 10cm,将底边长 y (cm)表示为腰长 x (cm)的函数关

系式为( ),其中 x 的取值范围是

y y=2x+b y=ax-3

5. 如图,已知函数 y ? 2x ? b 和 y ? ax ? 3 的图像交于点 P(?2,? 5) ,则

根据图像可得不等式 2x ? b ? ax ? 3 的解集是



-2

O

x

三,解答题(8+10+10+10+12)

1. 已知一次函数 y = (6 + 3m)x + (n- 4), 求:

-5

x y m (1) 为何值时, 随 的增大而减小;

y x (2) m, n 分别为何值时,函数的图象与 轴的交点在 轴的下方?

(3) m, n 分别为何值时,函数的图象经过原点?

x y (4)当 m = - 1, n = - 2 时,设此一次函数与 轴交于 A,与 轴交于 B,试求三角形
AOB 的面积。

2. 小明从家骑自行车出发,沿一条直路到相距 2400m 的邮局办事,小明出发的

同时,他的爸爸以 96m/min 的速度从邮局沿同一条道路步行回家,小明在邮局

停留 2min 后沿原路以原速返回,设他们出发后经过 t min 时,小明与家之间的

距离为 S1 m ,小明爸爸与家之间的距离为 S2 m,,图中折

线 OABD,线段 EF 分别是表示 S1、S2 与 t 之间函数关

s(m)

系的图像. (1)求 S2 与 t 之间的函数关系式:

2400 E

AB

(2)小明从家出发,经过多长时间在返回途中追上爸
爸?这时他们距离家还有多远?
O

10 12

C D F t(min)

3. 健身运动已成为时尚,某公司计划组装 A、B 两种型号的健身器材共 40 套, 捐赠给社区健身中心.组装一套 A 型健身器材需甲种部件 7 个和乙种部件 4 个, 组装一套 B 型健身器材需甲种部件 3 个和乙种部件 6 个.公司现有甲种部件 240 个,乙种部件 196 个. (1)公司在组装 A、B 两种型号的健身器材时,共有多少种组装方案; (2)组装一套 A 型健身器材需费用 20 元,组装一套 B 型健身器材需费用 18 元. 求总组装费用最少的组装方案,最少组装费用是多少?

4.某商业集团新进了 40 台空调机,60 台电冰箱,计划调配给下属的甲、乙两个 连锁店销售,其中 70 台给甲连锁店,30 台给乙连锁店.两个连锁店销售这两种 电器每台的利润(元)如下表:

空调机

电冰箱

甲连锁店

200

170

乙连锁店

160

150

设集团调配给甲连锁店 x 台空调机,集团卖出这 100 台电器的总利润为 y(元).

(1)求 y 关于 x 的函数关系式,并求出 x 的取值范围;

(2)为了促销,集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利 a 元销售,其他的销

售利润不变,并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱

的利润,问该集团应该如何设计调配方案,使总利润达到最大?

5.直线 AB: y ? ?x ? b 分别与 x、y 轴交于 A (6, 0) 、B 两点,过点 B 的直线交 x
轴负半轴于 C,且 OB : OC ? 3:1; (1)求直线 BC 的解析式;

(2)直线 EF: y ? kx ? k ( k ? 0 )交 AB 于 E,交 BC 于点 F,交 x 轴于 D,是

否存在这样的直线 EF,使得 S?EBD ? S?FBD ?若存在,求出 k 的值;若不存在,说

明理由?

y

B

C O

A

x

(3)如图,P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点,以 P 为直角顶点、BP 为腰在第一象 限内作等腰直角三角形△BPQ,连结 QA 并延长交 y 轴于点 K。当 P 点运动时, K 点的位置是否发生变化?如果不变请求出它的坐标;如果变化,请说明理由。
y
Q
B

O

A

P

x

K