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河南省洛阳市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)


洛阳市 2017—2018 学年第二学期期中考试 高二数学试卷(文) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 n 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题,共 60 分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2.考试结束,将容题卡交回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M={ x | ?2 < x < 2 }, i 为虚数单位, a ?| 1 ? i | ,则下列选项正确的是 A. a ? M B. {a} ? M C. {a} ? M D.a ? ? M

2.下列三句话按照“三段论”模式排列顺序正确的是 (1) y ? sin x( x ? R) 是周期函数;(2)三角函数都是周期函数; (3) y ? sin x( x ? R) 是三角函数. A. (1)(2)(3) B. (2)(1)(3) C. (2)(3)(1) D. (3)(2)(1)

3.下列 4 种说法:①在频率分布直方图中,众数的左边和右边的直方图的面积相 等; ②标准差越小,样本数据的波动也越小;③两个随机变量相关性越强,则 相关系数越接近 1; ④对分类变量 X 和 Y, 它们的随机变量 K2 的观测值 k 来说 k 越 小,“X 与 Y 有关系”的把握程度越大。其中说法正确的是 A.①② 4.复数 z ? B.②③ C.②④ D.③④
1? i ? 1 的共轭复数在复平面上对应的点在 1? i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限.

D.第四象限

? ? 0.95x ? a ,则 a 5.已知 x, y 的取值如下表所示,若 y 与 x 线性相关,且 y

X y

0 2.2

1 4.3

3 4.8

4 6.7

A. 2.2 B. 2.9 C. 2.8 D. 2.6

6.当 x ? (0,??) 时, x ?
x?

1 4 x x 4 ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ,由此推广可得 x x 2 2 x

m ? n ? 1 ,则实数 m 的取值应为 xn

A. n

B. n2

C. n n

D. n + 1

7.我国古代数学著作 《九章算术》 记载了很多算法问题, 现执行如图所示的程序框图,该算法的功能是 A.计算 1 + 2 + 3 + 4 + …n-1 的值 B.计算 1 + 2 + 3 + 4 + …n 的值 C.计算 1+2 + 3 + 4 +…+(n+l)的值 D.计算 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n + sin ? + sin 2? + …的值 8.已知 a ? 20.2 , b ? 0.22 , c ? logx ( x 2 ? 0.2) (x > 1) ,则 a,b,c 的大小关系是 A. a < b < c C. b < a < c B. c <b < a D. b < c < a

9.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有割之弥细,所失弥少,割之又 割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”它体现了一种无限与有限的转 化过程。 比如在表达式 1 +

1 中“…” 即代表无限次重复, 但原式却是个定值, 1 1 ? ...

它可以通过方程 1 +

1 5 ?1 ? x 求得 x ? 。类比上述过程,则 x 2

2018? 2017 2018? 2017 ... ?

A. 2017

B. 2018

C. 2019

D.2020

10.如图,若(1)处填入语句 i ? m ? 1 ,(2)中填入语句
n ? 2i ,则下列说法正确的是

A.若 m= 3,则输出 S ?

7 8 1 2

B.若 m > 10,则输出结果 S < C.若 m> 100,则输出结果 S> 1

D.若 m 是任意大于 2 的正实数,则输出结果 S < 11.[ n ]表示不超过 n 的最大整数; 若 S1 ? [ 1] ? [ 2 ] ? [ 3] ? 3 , 若 S2 ? [ 4 ] ? [ 5] ? [ 6 ] ? [ 7 ] ? [ 8] ? 10 ,

1 2

若 S3 ? [ 9 ] ? [ 10] ? [ 11] ? [ 12] ? [ 13] ? [ 14] ? [ 15] ? 21,…, 则 Sn ? A. n(2n ? 1) B. n(n ? 2) C. n(n ? 3) D. (n ? 1) 2 ? 1

12.设函数 f ( x) 的导函数为 f ' ( x) , f ' ( x) 的导函数为 f ' ' ( x) ,若 f ' ' ( x0 ) ? 0 ,则

M ( x0 , y0 ) 是 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的对称中心.已知函数
1 2 198 199 )? f( ) ? ... ? f ( )? f( )? f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 1 ,则可求得 f ( 100 100 100 100

A. 199

B. -199

C. 597

D.-597

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知 i 是虚数单位,若 z ? (1 ? m i)(3 ? i)(m ? R) 是纯虚数,则 z 的虚部 是 .
1 1 1 1 1 1 ? ? ? < 1; < 2 ;③ < 3 ,则第 2 2 6 2 6 12

14.观察下列不等式:① n 个不等式为 .

15.在平面内,三角形的面积为 S,周长为 C,则它的内切圆半径为 r ?

2S 在空间 C

中,三棱锥的体积为 V,表面积为 S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切 球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径 R = .

16.已知函数 f ( x) ? a ln(x ? 1) ? x 2 , 在区间 ( 2, 3)内任取两个实数 m, n , 且 m? n , 若不等式
f (m ? 1) ? f (n ? 1) > 1 恒成立,则实数 a 的值范围为 m?n

.

三、解答题:本大题共 6 个小題,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。

17.(本小题满分 10 分) 已知 m ? R ,复数 z ? (m2 ? 5m ? 6) ? (m2 ? 2m ? 15)i . (1)若 z 与复数 (1 ? i)(?5 ? 7i) 相等,求 m 的值; (2)若 z 对应的点在第一象限,求 m 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 某高校对生源基地学校一年级的数学成绩进行摸底调査, 已知其中两个摸底 学校分别有 11D0 人、 1000 人, 现采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了 105 名学生的数学成绩, 并作出了频数分布统计表如下: (一年级人数为 1100 人的学 校记为学校一,一年级 人数为 1000 人的学校记为学校二) 学校一: 分组 频数 分组 频数 [70,80) [80,90) [90,100) 10 [130,140) 3 [100,110) 15 [140,150) 1

2 3 [110,120 [120,130) 15 ) X

学校二: 分组 频数 分组 频数 [70,80) [80,90) .[90,100) [100,110)

1 2 [110,120 [120,130) 10 ) 10

9 . 8 [130,140). [140,150). y 3

(1)计算 x, y 的值; (2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀,请分别估计两个学校数学成绩的 优秀率; (3)由以上统计数据填写下面 2 ×2 列联表,并判断是否有 97.5%的把握认为 两个学校的数学成绩有差异。 学校一 优秀 非优秀 总计 学校二 总计

附:

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PCD 是边长为 2 的正 三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是菱形,∠ADC = 60°, M 为的中点, (1)求四棱锥 P —ABCD 的体积; (2)求证:PA 丄平面 CDM. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ?
1 , x[0,1] . x ?1

(1)用分析法证明: f ( x) ? 1 ? x ? x 2 ; (2)证明:
3 2 < f ( x) ? . 4 3 3x ? 2 1 (x ? ) . 2x ?1 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 F ( x) ?

(1) 已知数列{an}满足 a1 ? 2, an ? 1 ? F (an ) , 求证: 数列{ (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 bn ?
2n ? 1 1 1 1 an ,求证: 2 ? 2 ? ... ? 2 <2. 2 b1 b2 bn

1 }是等差数列; an ? 1

22.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C:
1 x2 y2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率 e ? .如左、右焦点分别为 F1 , F2 , 2 2 a b

巧,上顶点为 A,在 x 轴负半轴上有一点 B 满足 AB 丄 AF2,0 为坐标原点. (1)若过 A,B,F2 三点的圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (2)过点 0 作两条相互垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值.


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