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寒假专题 常见递推数列通项公式的求法 人教版


寒假专题 常见递推数列通项公式的求法
一. 本周教学内容: 寒假专题——常见递推数列通项公式的求法 二. 本周教学重、难点: 1. 重点: 递推关系的几种形式。 2. 难点: 灵活应用求通项公式的方法解题。 典型例题】 【典型例题】 [例 1] a n +1 = ka n + b 型。 (1) k = 1 时, a n +1 ? a n = b ? {a n } 是等差数列, a n = b ? n + ( a1 ? b) (2) k ≠ 1 时,设 a n +1 + m = k (a n + m) 比较系数: km ? m = b ∴ {a n + ∴ m= ∴ a n +1 = ka n + km ? m

b k ?1

b b } 是等比数列,公比为 k ,首项为 a1 + k ?1 k ?1 b b b b ∴ an + = (a1 + ) ? k n ?1 ∴ a n = ( a1 + ) ? k n ?1 ? k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 [例 2] a n +1 = ka n + f ( n) 型。
(1) k = 1 时, a n +1 ? a n = f ( n) ,若 f (n) 可求和,则可用累加消项的方法。 例:已知 {a n } 满足 a1 = 1 , a n +1 ? a n = 解: ∵ a n +1 ? a n =

1 求 {a n } 的通项公式。 n(n + 1)

1 1 1 = ? n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 ? ∴ a n ? a n ?1 = ? a n?1 ? a n? 2 = n ?1 n n ? 2 n ?1 1 1 ? a n ? 2 ? a n ?3 = …… n?3 n?2 1 1 1 a3 ? a 2 = ? a 2 ? a1 = 1 ? 2 3 2 1 1 对这( n ? 1 )个式子求和得: a n ? a1 = 1 ? ∴ an = 2 ? n n (2) k ≠ 1 时,当 f ( n) = an + b 则可设 a n +1 + A( n + 1) + B = k ( a n + An + B )
∴ a n +1 = ka n + ( k ? 1) An + ( k ? 1) B ? A

∴ ?

?(k ? 1) A = a a b a 解得: A = ,B = + k ? 1 (k ? 1) 2 k ?1 ?(k ? 1) B ? A = b ∴ {a n + An + B} 是以 a1 + A + B 为首项, k 为公比的等比数列
∴ a n + An + B = ( a1 + A + B ) ? k
n ?1 n ?1

∴ a n = ( a1 + A + B ) ? k
n

? An ? B

将 A、B 代入即可

(3) f ( n) = q ( q ≠ 0,1)

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1

等式两边同时除以 q n +1 得 令 Cn =

an 则 C n +1 qn [例 3] a n +1 = f ( n) ? a n 型。 (1)若 f (n) 是常数时,可归为等比数列。 (2)若 f (n) 可求积,可用累积约项的方法化简求通项。 1 2n ? 1 例:已知: a1 = , a n = a n ?1 ( n ≥ 2 )求数列 {a n } 的通项。 3 2n + 1 a a a a a 2n ? 1 2 n ? 3 2 n ? 5 5 3 3 ? ? ? ? = 解: n ? n ?1 ? n ? 2 ? 3 ? 2 = a n ?1 a n ? 2 a n ?3 a 2 a1 2n + 1 2n ? 1 2n ? 3 7 5 2n + 1 3 1 = ∴ a n = a1 ? 2n + 1 2n + 1 m ? a n ?1 [例 4] a n = k ? 型。 m + a n ?1 1 1 k 1 1 1 考虑函数倒数关系有 = k( + ) ∴ =k? + an a n?1 m an a n ?1 m 1 令 Cn = 则 {C n } 可归为 a n +1 = ka n + b 型。 an
练习: 1. 已知 {a n } 满足 a1 = 3 , a n +1 = 2a n + 1 求通项公式。 解: 设 a n +1 + m = 2( a n + m) ∴ an + 1 = 4 ? 2 解:
n ?1

a n +1 k a n 1 = ? + q n+1 q q n q k 1 = Cn + ∴ {C n } 可归为 a n +1 = ka n + b 型 q q

a n+1 = 2a n + m
∴ an = 2
n +1

∴ m =1

∴ {a n +1 + 1} 是以 4 为首项,2 为公比为等比数列

?1
*

2. 已知 {a n } 的首项 a1 = 1 , a n +1 = a n + 2n ( n ∈ N )求通项公式。

a n ? a n ?1 = 2(n ? 1) a n?1 ? a n ? 2 = 2(n ? 2) a n? 2 ? a n ?3 = 2(n ? 3) …… a3 ? a 2 = 2 × 2

+ a 2 ? a1 = 2 × 1
a n ? a1 = 2[1 + 2 + ? + (n ? 1)] = n 2 ? n
∴ an = n ? n ? 1
2

3. 已知 {a n } 中, a n +1 = 解:

n a n 且 a1 = 2 求数列通项公式。 n+2

a n a n ?1 a n ? 2 a3 a 2 n ? 1 n ? 2 n ? 3 n ? 4 2 1 2 ? ? ? ? = ? ? ? ? ? = a n ?1 a n ? 2 a n ?3 a 2 a1 n + 1 n n ? 1 n ? 2 4 3 n(n + 1) a 2 4 ∴ an = ∴ n = a1 n(n + 1) n(n + 1)
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4. 数列 {a n } 中, a n +1 = 解:

2 n +1 ? a n , a1 = 2 ,求 {a n } 的通项。 2 n +1 + a n

2 n +1 + a n 1 1 1 ∴ = + n+1 n +1 a n +1 a n +1 a n 2 2 an 1 1 1 设 bn = ∴ bn +1 = bn + n +1 ∴ bn = bn ?1 + n an 2 2 1 ∴ bn ? bn ?1 = n 2 1 bn ?1 ? bn ? 2 = n ?1 2 1 bn ? 2 ? bn?3 = n ? 2 …… 2 1 b3 ? b2 = 3 2 1 + b2 ? b1 = 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2 1 1 1 1 1 2 bn ? b1 = 2 + 3 + ? + n = 2 = ? n 1 2 2 2 2 2 1? 2 1 1 1 2n ?1 2n ∴ bn = ? n + = ∴ an = n 2 2 2 2n 2 ?1 1 5. 已知: a1 = 1 , n ≥ 2 时, a n = a n ?1 + 2n ? 1 ,求 {a n } 的通项公式。 2 1 =
解: 设 a n + An + B =

an



∴ ∴

1 [a n ?1 + A(n ? 1) + B ] 2 1 1 1 1 = a n ?1 ? An ? A ? B 2 2 2 2 ? 1 ?? 2 A = 2 ? A = ?4 ? 解得: ? ∴ a1 ? 4 + 6 = 3 ? 1 1 ?B = 6 ? ? A ? B = ?1 ? 2 ? 2 1 {a n ? 4n + 6} 是以 3 为首项, 为公比的等比数列 2 1 3 a n ? 4n + 6 = 3 ? ( ) n?1 ∴ a n = n ?1 + 4n ? 6 2 2
n

1. 已知 {a n } 中, a1 = 3 , a n +1 = a n + 2 ,求 a n 。 2. 已知 {a n } 中, a1 = 1 , a n = 3a n ?1 + 2 ( n ≥ 2 )求 a n 。 3. 已知 {a n } 中, a1 = 1 , a n = 2a n ?1 + 2 ( n ≥ 2 )求 a n 。
n

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3

4. 已知 {a n } 中, a1 = 4 , a n = 4 ?

4 a n ?1

( n ≥ 2 )求 a n 。
2 2S n (n ≥ 2) 2S n ? 1

5. 已知 {a n } 中, a1 = 1 ,其前 n 项和 S n 与 a n 满足 a n = (1)求证: {

1 } 为等差数列 (2)求 {a n } 的通项公式 Sn 1 2 6. 已知在正整数数列 {a n } 中,前 n 项和 S n 满足 S n = ( a n + 2) 8 1 (1)求证: {a n } 是等差数列 (2)若 bn = a n ? 30 ,求 {bn } 的前 n 项和的最小值 2

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4

[参考答案] 参考答案] http://www.DearEDU.com http://www.DearEDU.com 1. 解: 由 a n +1 = a n + 2 ,得 a n = a n ?1 + 2
n n ?1

∴ a n ? a n ?1 = 2

n ?1

a n?1 ? a n ? 2 = 2 n ? 2 ……

+ a 2 ? a1 = 2
∴ a n ? a1 =

2(1 ? 2 n?1 ) = 2n ? 2 1? 2

∴ a n = 2 ? 2 + a1 = 2 + 1
n n

2. 解: 由 a n = 3a n ?1 + 2 得: a n + 1 = 3( a n ?1 + 1) ∴

an + 1 =3 a n ?1 + 1

即 {a n + 1} 是等比数列 ∴ a n = ( a1 + 1) ? 3
n ?1

a n + 1 = (a1 + 1) ? 3 n ?1
3. 解: 由 a n = 2a n ?1 + 2 得
n

? 1 = 2 ? 3 n ?1 ? 1

a n a n ?1 ? =1 2 n 2 n ?1 a a 1 ∴ { n } 成等差数列, n = + ( n ? 1) n n 2 2 2
4. 解:

∴ an = n ? 2 ? 2
n

n ?1

an 4 2(a n ? 2) 1 1 1 = = + = ∴ ( n ≥ 1) an an a n +1 ? 2 2(a n ? 2) 2 a n ? 2 1 1 1 1 ∴ ? = ( n ≥ 1 )设 bn = a n +1 ? 2 a n ? 2 2 an ? 2 1 即 bn +1 ? bn = ( n ≥ 1) 2 1 1 1 n 2 ∴ {bn } 是等差数列 ∴ = + (n ? 1) ? = an = + 2 a n ? 2 a1 ? 2 2 2 n a n+1 ? 2 = 2 ?
5. 解:
2 2S n (1) S n ? S n ?1 = ∴ S n ?1 ? S n = 2 S n S n ?1 2S n ? 1 1 1 1 ? =2 ∴ { } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列 S n S n ?1 Sn 1 ∴ = 2n ? 1 Sn 1 2 2( ) ?2 1 2n ? 1 = (2) S n = ∴ an = (n ≥ 2) 2 1 2n ? 1 4n ? 8n + 3 2? ?1 2n ? 1

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5

又 ∵ a1 = 1 6. 解: (1) a1 = S1 =

?1 ? ∴ an = ? ?2 ? 4 n 2 ? 8n + 3 ?
1 (a1 + 2) 2 8
∴ a1 = 2

n =1 ( n ≥ 2)

1 1 n ≥ 2 时, a n = S n ? S n ?1 = (a n + 2) 2 ? (a n ?1 + 2) 2 8 8 整理得: (a n + a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 4) = 0
∵ {a n } 是正整数数列 (2) bn = ∴ a n + a n ?1 ≠ 0 ∴ a n ? a n ?1 = 4 ∴ a n = 4n ? 2 ∴ {a n } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列

1 (4n ? 2) ? 30 = 2n ? 31 2 2 ∴ S n = n ? 30n ∴ {bn } 为等差数列
2

∴ 当 n = 15 时, S n 的最小值为 15 ? 30 × 15 = ?225

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