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黑龙江省哈师大附中2013届高三上学期第三次月考数学文试题


黑龙江省哈师大附中 2013 届高三第三次月考

数学(文)试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷 (选择题

共 60 分)

一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 正确的) 1 . 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? { x | l gx ? ( B ) B. (1,+∞) (C ) A. , 0 } B ? {x | 2 x ? 1} , 则 ?U ( A∪B ) =

A. (-∞,1) 2. cos 600? 的值为

C. (-∞,1]

D.[1,+∞)

3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

3.已知 sin(

?
2

??) ?

3 , 0 ? ? ? ? ,则 tan ? ? 2
( A )

A.

3 3

B. ?

3 3

C. ? 3

D. 3

4.设 a ? log 1 2, b ? log 1
3 2

1 1 , c ? ( )0.3 ,则 3 2
( B ) B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c

A.a<b<c

5.等差数列 ? an ? 中, a3 ? ?1 , a1 ? a4 ? a7 ? 9 ,则 S7 ? S5 ? ( C ) B.21

A.16

C.26

D.31

6.若数列 ? an ? 满足 a1 ? 2, an ?1an ? an ? 1 ,则 a2013 的值为 ( C )

1 C. ?1 2 x 7.已知 a 是函数 f ( x) ? 2 ? log 1 x 的零点,若 0<x0<a,则有
A.2 B.
2

D.1

A.f(x0)=0 定 8.在 ?ABC 中,

( B ) B.f(x0)<0

C.f(x0)>0

D.f(x0 )的符号不确

a b ,则 ?ABC 一定是 ? cos B cos A
( D ) B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

A.等腰三角形 C.等腰直角三角形

?a+b?2 9. 已知 x>0、 y>0, a、 y 成等差数列, c、 y 成等比数列, x、 b、 x、 d、 则 的最小值是 ( D cd



A.0 B.1 C.2 D.4 10.函数 y=cos(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如右图所示, A、 分别为 B 最 高 与 最 低 点 , 并 且 两 点 间 的 距 离 AB = 2 ( C ) 2 A.x= π π B.x= 2 C.x=1 D.x=2 11.在△ ABC 中, sinA 2cosC+cosA = 是角 A、B、C 成等差数列 cosA 2sinC-sinA ( A ) A.充分非必要条件 C.必要非充分条件 12.已知函数 f ( x) ? x
n ?1

2,则该函数的一条对称轴为

B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(n ? N *) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴

交点的横坐标为 xn ,则 log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012 的值为 ( B ) A.1-log20132012 C.-log20132012 B.-1 D.1

第Ⅱ卷 (非选择题
二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 若 sin(? ?

共 90 分)
7 25

?

3 ) ? ? ,则 sin 2? ? 4 5



14.设 α∈( ? , =

3 ?? ?? 5 ), β∈(0, ? ), cos(α- ? )= ,sin( + β)= , 则 sin (α + β) 4 4 4 4 4 13 5 56 . ? 65
2

15.若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则实数 k

的取值范围是________. [1, ) 16. 给出下列命题: ①函数 y ? sin(

3 2

5? ? 2 x) 是偶函数; 2

②函数 y ? sin(x ?

, ] 上是增函数; 2 2 5? ? ③直线 x ? 是函数 y ? sin(2 x ? ) 图象的一条对称轴; 4 8 ? ? ④将函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象向左平移 单位,得到函数 y ? cos 2 x 的图象; 3 3 4
其中正确的命题的序号是 .①③

?

) 在闭区间 [?

? ?

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分)各项均为正数的等比数列 ? an ? 中, a1 ? 1, a2 ? a3 ? 6 . (1)求数列 ?a n ?通项公式; (2)若等差数列 ?bn ? 满足 b1 ? a2 , b4 ? a4 ,求数列 ?an bn ? 的前 n 项和 S n . 解: (1)由条件知 q ? 0, q ? q ? 6 ? q ? 2
2

2分

? an ? 2n ?1

4分 6分

(2)设数列 ?bn ? 公差为 d ,则 b1 ? 2, b1 ? 3d ? 8,? d ? 2 ,? bn ? 2n

anbn ? n ? 2n

S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2 n 2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1
8分

?? Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1

? 2(2n ? 1) ? n ? 2n ?1
? S n ? (n ? 1)2n ?1 ? 2

10 分 12 分

18. (本题满分 12 分)已知向量 m=(sinωx+cosωx, 3cosωx) ,n=(cosωx-sinωx,2sinωx) , π 其中 ω>0,函数 f(x)=m· n,若 f(x)相邻两对称轴间的距离为2. (1)求 ω 的值,并求 f(x)的最大值及相应 x 的集合; (2)在△ ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 所对的边,△ ABC 的面积 S=5 3,b=4,f(A) =1,求 a.

解: (1) f ( x) ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 2sin(2? x ?

?
6

)

2分

?T ?

2? ? ? ,?? ? 1 2?

4分

在 2x ? 6分

?
6

? 2k? ?

?

? ? ? (k ? Z ) 时 f ( x) 最大值为 2,相应 x 的集合为 ? x | x ? k? ? , k ? Z ? 6 2 ? ?

(2)? f ( A) ? 2sin(2 A ?

?
6

) ? 1, A ? (0, ? ) ? A ?

?
3

8分

1 ? S? ? bc sin A ? 3c ? 5 3,? c ? 5 2
? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 21,? a ? 21

10 分 12 分

19. (本题满分 12 分)数列 ? an ? 前 n 项和为 S n , a1 ? 4, an ?1 ? 2Sn ? 2n ? 4 . (1)求证:数列 ?an ? 1? 为等比数列; (2)设 bn ?

an ? 1 ,数列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,求证: 8Tn ? 1 . an an ?1

解 :( 1 ) ? an ?1 ? 2Sn ? 2n ? 4,? n ? 2 : an ? 2Sn ?1 ? 2(n ? 1) ? 4 ? n ? 2 : an ?1 ? 3an ? 2 2分 又 a2 ? 2S1 ? 2 ? 4 ? 10 ? n ? 1: an ?1 ? 3an ? 2 4分 故 数3 列

an ? 1 ? a1 ? 1 ? ? ? an ? ? ? 1 ?1 0? , 3 0 , an ? 1
6分 (2)由(1) an ? 1 ? 3 ,? an ? 3 ? 1, ? bn ?
n n

?an ? 1?

为 等 比 数 列

3n 1 1 1 ? ( n ? n ?1 ) n n ?1 (3 ? 1)(3 ? 1) 2 3 ? 1 3 ? 1

9



1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? ( 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 ) 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1
11 分



1 1 1 ( ? n?1 ) 2 4 3 ?1

1 ?Tn ? ,? 8n ? 1 T 8
2

12 分

20. (本题满分 12 分)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上任一点 Q 到其内一点 P(3,1) 及焦点 F 的距离之 和的最小值为 4 . (1)求抛物线的方程;

(2)设动直线 y ? kx ? b 与抛物线交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点,且 y1 ? y2 的值为定值 ,过弦 AB 的中点 M 作平行于抛物线的轴的直线交抛物线于点 D ,求 ?ABD 的面 a(a ? 0) 积. 解: (1)由抛物线定义, | QF | ? | QP |? 3 ?

p ? 4,? p ? 2, 2

2分

?抛物线的方程为 y 2 ? 4 x
(2)由 ?

4分

? y2 ? 4x ? y ? kx ? b

得 y2 ?

4 4b 4 4b =0,? y1 ? y2 ? , y1 y2 ? y? k k k k

?M (

2 ? kb 2 1 2 6分 , ), D( 2 , ) 2 k k k k 1 1 1 ? kb ? S?ABD ? | DM || y1 ? y2 |? ? 2 ? a 2 2 k
16(1 ? kb) ? a, k2
10 分

8分

?| y1 ? y2 |?

? S?ABD

1 a2 a3 ? ? ?a ? 2 16 32

12 分

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1 ( p ? R) . (1) p ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)若对任意的 x ? 0 ,恒有 f ( x) ? p x ,求实数 p 的取值范围.
2 2

解: (1) p ? 1, f '(1) ? 1 ? 1 ? 0, f (1) ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 ,

?曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? 0
(2) f '( x) ?

2分

1 ? p( x ? 0) x
4分

当 p ? 0 时, f '( x) ? 0, f ( x) 在 (0, ??) 上递增,函数 f ( x) 无极值; 当 p ? 0 时, (0,

1 1 ) 上 f '( x) ? 0, f ( x) 单调递增; ( , ??) 上 f '( x) ? 0, f ( x) 单调递减 p p
6分

1 ? f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ? ln p , f ( x) 无极小值 p

(3)记 g ( x) ? f ( x) ? p x ? ln x ? px ? 1 ? p x ( x ? 0)
2 2 2 2

? g '( x) ?

1 ( px ? 1)(2 px ? 1) ? p ? 2 p2 x ? x ?x

7分 8分

当 p ? 0 时, g ( x) ? ln x ? 1, g (e) ? 0 不符合条件 当 p ? 0 时, px ? 1 ? 0, (0, 调递减

1 1 ) 上 g '( x) ? 0, g ( x) 单调递增;( , ??) 上 g '( x) ? 0, g ( x) 单 2p 2p

? g ( x) 的最大值为 g (

4 1 1 e ) ? ? ln(2 p) ? ? 0,? p ? 2p 4 2

10 分

当 p ? 0 时,2 px ? 1 ? 0, (0, 调递减

?1 ?1 ) 上 g '( x) ? 0, g ( x) 单调递增;( , ??) 上 g '( x) ? 0, g ( x) 单 p p

? g ( x) 的最大值为 g (

?1 ) ? ? ln(? p) ? 1 ? 0,? p ? ?e p
4

故, p 的取值范围是 (??, ?e] ? [

e , ??) 2

12 分

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多选,则按所做的第一题计分.做答时请写 清题号 22. (本题满分 10 分)选修 4 ? 1: 几何证明选讲 如图所示,已知 D 为△ ABC 的 BC 边上一点,⊙O1 经过点 B.D,交 AB 于另一点 E,⊙O2 经过点 (1)证明 连接 GD,因为四边形 BDGE,CDGF 分别内接于⊙O1, ⊙O2, ∴∠AEG=∠BDG,∠AFG=∠CDG, 又∠BDG+∠CDG=180° ,∴∠AEG+∠AFG=180° . 3分 即 A,E,G,F 四点共圆,∴∠EAG=∠EFG. 5分 (2)解 因为⊙O2 的半径为 5,圆心 O2 到直线 AC 的距离为 3, 所以由垂径定理知 FC=2 5 2 ? 3 2 =8,又 AC=10,∴AF=2, ∵AG 切⊙O2 于 G,∴AG2=AF· AC=2× 10=20,AG=2 5 . 23. (本题满分 10 分)选修 4 ? 4 : 坐标系与参数方程 极 坐 标 系 中 , 已 知 圆 心 C (3, 7分 10 分

?

6

( ( ) , 半 径 r=1 . 1 ) 求 圆 的 极 坐 标 方 程 ; 2 ) 若 直 线

? 3 ? ? x ? ?1 ? 2 t 与圆交于 A, B 两点,求 AB 的中点 M 与点 P(-1,0)的距离. (t为参数) ? ? y ? 1t ? 2 ?

? 3 3? 3 ? ? ( y ? )2 ? 1 解: (1)由已知得圆心 C (3 cos ,3 sin ) ,半径 1,圆的方程为 ? x ? ? ? 6 6 2 ? 2 ?

?

?

2

2分 即 x ? y ? 3 3x ? 3 y ? 8 ? 0 所以极坐标方程为 ? ? 3 3? cos? ? 3? sin ? ? 8 ? 0
2 2 2

5

分 (1) 把直线方程代入圆方程得 t ? ( 3 ? 6)t ? 9 ? 3 3 ? 0, ? ? 3 ? 0
2

7分

设 t1 , t 2 是方程两根 ? t1 ? t2 ? ?( 3 ? 6) 24. (本题满分 10 分)选修 4 ? 5: 不等式选讲

所以 PC ?

t1 ? t2 3 ? 3? 2 2

10 分

已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2 ? k . (1) f ( x) ? 3 恒成立, k 的取值范围; 若 求 (2) k ? 1 当 时,解不等式: f ( x) ? 3x . 解: (1) x ? 3 ? x ? 2 ? k ? 3, ?x ? R恒成立 分 又 x ?3 ? x ? 2 ? x ?3? x ? 2 ?1 分

( 即 x ? 3 ? x ? 2) ? 3 ? k , min

2

( x ? 3 ? x ? 2) i ? 1 ? 3 ? k , 解得k ? 2 m n

5

6 6 ,? ? x ? 2 5 5 2 当 2 ? x ? 3 时, 3x ? 2,解得x ? ,? 2 ? x ? 3 3 当 x ? 3 时, x ? ?4, x ? 3 ?
(2)当 x ? 2 时, 5 x ? 6,解得x ? 综上,解集为 ? ,?? ?

?6 ?5

? ?

10 分


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