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湖北省枣阳市第二中学学高二数学下学期期中试题理解析


湖北省枣阳市第二中学高二年级 2015-2016 学年度下学期期中考试数 学(理科)试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:120 分钟 分值 150 分_ 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.给出下列命题: ①若给定命题 p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ; ②若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题; ③命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题为“若 x ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 ,
2

其中正确的命题序号是( ) A.① B. ①② C. ①③ 2.下列方程所表示的曲线中,关于 x 轴和 y 轴都对称的是( ) A. x ? y ? 1
2 2

D. ②③

B. y =x
2

2

C. ( x ? 1) ? y
2

= 1

D.x - y + 1 = 0

3.已知向量 a ? (1,1,0) , b ? (?1, 0,1) ,且 k a ? b 与 a 互相垂直,则 k =( A.

?

?



1 1 D. ? 3 2 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? 2?x) 4.设 f ( x) 是可导函数,且 lim ? 3 ,则 f ?( x0 ) ? ( ) ?x ?0 ?x 1 A. B. ? 1 C. 0 D. ? 2 2
B. C. ? 5 .观察下列等式: 13 ? 23 ? 32 , 13 ? 23 ? 33 ? 62 , 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 , 根据上述规律,得到

1 3

1 2

13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? (
A. 192 B. 202

) C. 212 D. 222

6.复数 Z 与点 Z 对应, Z 1 , Z 2 为两个给定的复数, Z 1 ? Z 2 ,则 Z ? Z 1 ? Z ? Z 2 决定的 Z 的轨迹是( ) B.线段 Z 1 Z 2 的中垂线 D.以 Z 1 , Z 2 为端点的圆

A 过 Z 1 , Z 2 的直线 C.双曲线的一支

7.已知 F1 F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,若 M 为椭圆上一点,且 ?MF1 F2 的内切圆的 25 16
-1-

周长等于 3? ,则满足条件的点 M 有( A.0 个 B.1 个 C.2 个

) D.4 个

8 . 若 P ? a, b ? 在 函 数 y ? ? x 2 ? 3ln x 的 图 象 上 , 点 Q ? c, d ? 在 函 数 y ? x ? 2 的 图 象 上 , 则

?a ? c?

2

? ? b ? d ? 的最小值为(
2

) C. 2 2 D. 8

A. 2

B. 2

9.阴影部分面积 s 不可用

s ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
n

b

求出的是





10.设 x,y,z>0,则三个数 A.都大于 2 C.至少有一个不小于 2
2 2

z y y z x x + , + , + ( x z x y z y
B.至少有一个大于 2 D.至少有一个不大于 2

)

11.若椭 圆 mx ? ny ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A, B 两点,过原点与线段 AB 的中点的直

线的斜率为

2 n ,则 的值为( 2 m
B.



A.

2

2 2

C.

3 2

D.

2 9

12.如图,线段 AB =8,点 C 在线段 AB 上,且 AC =2, P 为线段 CB 上一动点,点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP = x △ CPD 的面积为 f ( x) .则 f ( x) 的最大 值为(
D
A

) .

C

P

B

A2 2

B. 2

C.3

D. 3 3

二.填空题(本题 4 个小题,每题 5 分) 13.若复数 z = ( m +1 ) - ( m -3 )i 在复平面内对应的点在第一或第三象限,则实数 m 的 取值范围是 .

-2-

? (2 x ? x 2 )e x , x ≤ 0, 1 4.已知函数 f ( x) ? ? 2 g ( x) ? f ( x) ? 2k ,若函数 g ( x) 恰有两个不同的零点, ?? x ? 4 x ? 3, x ? 0,

则实数 k 的取值 范围为 . 15.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数 1,3,6,10,第 n 个三 角形数为

n(n ? 1) 1 2 1 ( k ? 3) ,以下列出了部分 k ? n ? n . 记第 n 个 k 边形数为 N(n,k) 2 2 2 N (n,3) ? 1 2 1 n ? n 2 2

边形数中第 n 个数的表达式: 三 角形数 四边形数 五边形数 六边形数 ?? 可以推测 N (n, k ) 的表达式,由此计算 N (20,15) 的值为_____________. 16.已知在区间 ( a, b) 上, f ( x) ? 0 ,
( a ? x1 ? x 2 ? b) 都有 f (

N (n, 4) ? n 2
N (n,5) ? 3 2 1 n ? n 2 2

N (n, 6) ? 2n 2 ? n

f ' ( x) ? 0 ,对 x 轴上任意两点 ( x1 ,0), ( x 2 ,0) ,
? ? f ( x)dx ,
a b

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) . 若 S1 )? 2 2

f (a ) ? f (b) (b ? a ) , S 3 ? f (a )(b ? a ) ,则 S1 , S 2 , S 3 的大小关系为_________. 2 三.解答题(本题有 6 个小题,请写出必要的文字说明和解答过程,总分 70 分) 2 2 17.已知命题 p:函数 f(x)=x +ax-2 在[-1,1]内有且仅有一个零点.命题 q:x +3(a+ S2 ?
1)x+2≤0 在区间[

1 3 , ]内恒成立.若命题“p 且 q”是假命题,求实数 a 的取值范围. 2 2
2

18.已知关于 x 的方程 x ? (6 ? i ) x ? 9 ? ai ? 0(a ? R ) 有实数根 b. (1)求实数 a, b 的值. (2)若复数 z 满足 | z ? a ? bi | ?2 | z |? 0 . 求 z 为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小 值. 19.一种十字绣作品由相同的小正方形构成,图①,②,③,④分别是制作该作品前四步时 对应的图案,按照如此规律,第 n 步完成时对 应图案中所包含小正方形的个数记为 f (n) .

-3-









(1)求出 f (2) , f (3) , f (4) , f (5) 的值; (2)利用归纳推理,归纳出 f (n + 1) 与 f (n) 的关系式; (3)猜想 f (n) 的表达式,并写出推导过程.
2 2 x2 y 2 4 2 ,且与椭圆 x ? y ? 1 有相同的 的长轴长为 ? ? 1( a ? b ? 0) a 2 b2 2 4

20.巳知椭圆 M :

离心率. (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与 M 有两个交点 A 、 B ,且

??? ? ??? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求 | AB | 的取值范围,若不存在,说明理由.
21.设 a ? R ,函数

f ( x) ? x? | x ? a | ?2 x .

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 在区间 [0 , 3] 上的最大值; (Ⅱ)若 a ? 2 ,写出函数 f ( x) 的单调区间(不必证明) ; (Ⅲ)若存在 a ? [?2 , 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? t ? f (a ) 有三个不相等的实数解,求实 数 t 的取值范围. 22 . 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 ,
?ABC ? 90? , BC / / AD ,且 AB ? AD ? 2 BC ,顶点 P 在底面 ABCD 内的射影恰好落在 AB 的中点 O 上.

(1)求证: PD ? AC ; (2)若 PO ? AB ,求直线 PD 与 AB 所成角的 余弦值; (3) 若平面 APB 与平面 PCD 所成的 二面角为 45? , 求
PO 的值. BC

参考答案 1.AABBC 6.BCDDCAA

13. ( -1,3 )

2 ?1 ? 7 3? } 14. ? ? , ? ? ? {0, 2 2 ? ? e 2
16. S1

15.2490

? S 2 ? S3
-4-

17.{a|a>-

5 } 2

18. (1) a ? b ? 3 ; (2) 2 【解析】 试题分析:(1)复数方程有实根,方程化简为 (b ? 6b ? 9) ? ( a ? b)i ? 0 (a、b∈R),利用
2

复数相等,即

?

b2 ?6b ?9?0 a ?b ? 0 ,解方程组即可.

(2)先把 a、b 代入方程,同时设复数 z ? x ? yi ,化简方程,根据表达式的几何意义,方程 表示圆, 再数形结合,求出 z,得到|z|. 试题解析:解: (1)∵ b 是方程 x ? (6 ? i ) x ? 9 ? ai ? 0(a ? R ) 的实根
2

∴ (b ? 6b ? 9) ? ( a ? b)i ? 0
2

(2 分)



?

b2 ?6b ?9?0 a ?b ? 0 解得 a ? b ? 3

(4 分)

(2)设 z ? s ? ti ( s, t ? R ) ,其对应点为 z ( s, t ) 由 | z ? 3 ? 3i |? 2 | z | 得: ( s ? 3) ? (t ? 3) ? 4( s ? t )
2 2 2 2

即 ( s ? 1) ? (t ? 1) ? 8
2 2

∴ z 点的轨迹是以 O1(-1,1)为圆心, 2 2 为半径的圆,如图所示(8 分)

当 z 点在 OO1 的连线上时, | z | 有 max 或 min ∵ | OO1 |? ∴当 z ? 1 ? i 时, | z | 有最小值,且 | z |min ?

2, r ? 2 2

2

(10 分)

19. (1) f ?2 ? ? 5 , f ?3? ? 13 , f ?4 ? ? 25 , f ?5? ? 41 ;(2) f ?n ? 1? ? f ?n ? ? 4n ;(3)猜 想 f ?n ? ? 2n ? 2n ? 1
2

解:(1)图①中只有一个小正方形,得 f ?1? ? 1 ;
-5-

图②中有 3 层,以第 3 层为对称轴,有 1+3+1=5 个小正方形,得 f ?2 ? ? 5 ; 图③中有 5 层,以第 3 层为对称轴,有 1+3+5+3+1=13 个小正方形,得 f ?3? ? 13 ; 图④中有 7 层,以第 4 层为对称轴,有 1+3+5+7+5 +3+1=25 个小正方形,得 f ?4 ? ? 25 ; 图⑤中有 9 层,以第 5 层为对称轴 ,有 1+3+5+7+9+7+5+3+1=41 个小正方形, f ?5? ? 41 ; (2)? f ?1? ? 1; f ?2 ? ? 5; f ?3? ? 13; f ?4 ? ? 25; f ?5? ? 41;

? f ?2 ? ? f ?1? ? 4 ? 4 ?1 ? f ?3? ? f ?2 ? ? 8 ? 4 ? 2 ? f ?4 ? ? f ?3? ? 12 ? 4 ? 3 ? f ?5? ? f ?4 ? ? 16 ? 4 ? 4
??

? f ?n ? ? f ?n ? 1? ? 4 ? ?n ? 1? ? 4n ? 4 ? f ?n ? 1?与f ?n ? 的关系式为: f ?n ? 1? ? f ?n ? ? 4n
(3)猜想 f ?n ? 的表达式 为 2n 2 ? 2n ? 1 由(2)可知

f ?2 ? ? f ?1? ? 4 ? 4 ?1 f ?3? ? f ?2 ? ? 8 ? 4 ? 2 f ?4 ? ? f ?3? ? 12 ? 4 ? 3 f ?5? ? f ?4 ? ? 16 ? 4 ? 4
??

f ?n ? ? f ?n ? 1? ? 4 ? ?n ? 1? ? 4n ? 4
将上述 n ? 1 个子相加,得 f ?n ? ? f ?1? ? 4?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?n ? 1?? 解得 f ?n ? ? 2n ? 2n ? 1
2

f ?n ? 的表达式 f ?n ? ? 2n 2 ? 2n ? 1 .

-6-

20.(Ⅰ) 由 r2 ?

?4 6 ? x2 y 2 8 ? ? 1 (Ⅱ) x 2 ? y 2 ? , AB ? ? , 2 3? 8 4 3 ? 3 ?

8 2 2 2 得 AB ? 1 ? k ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? 3

?

?

? 32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 ? k2 ? ? ?1 ? = 2 4 2 4 ? 3 1 ? 4k ? 4k 3 ? 1 ? 4k ? 4k ?
? ? ? 32 ? 1 ? 32 ? ? ?1 ? k ? 0 ? ? ? ,12 ? ? ? 3 ? 4k 2 ? 1 ? 4 ? ? 3 ? k2 ? ?
当 k ? 0 时, AB ?
2

?4 6 ? 32 ,? AB ? ? , 2 3? , ? 3 ? 3 ? ?4 6 ? 4 6 , 故 AB ? ? , 2 3 ? 为所求. 3 ? 3 ?
a?2 a?2 ] 和 [a, ??) ,单调递减区间是 [ , a] ; 2 2

又当 k 不存在时 , AB ?

21. (1) f (3) ? 9 ; (2) 单调递增区间是 ( ??, (3) (1, ) .

9 8

? 2 x?2 ?x | x ? 2 | ?2 x ? ? , 解: (1)当 a ? 2 , x ? [0,3] 时, f ( x) ? x ? 2 ? ? ? x ? 4 x, 0 ? x ? 2
作函数图像(图像略) ,可知函数 f ( x) 在区间 [0,3] 上是增函数, 所以 f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9

(2) f ( x) ? ?

? 2 ? x ? (2 ? a) x

,

x?a x?a

2 ? ?? x ? (2 ? a) x,

①当 x ? a 时, f ( x) ? ( x ? 因为 a ? 2 ,所 以

a ? 2 2 (a ? 2) 2 ) ? , 2 4

(a ? 2) ?a, 2

所以 f ( x) 在 [a, ??) 上单调递增. ②当 x ? a 时, f ( x) ? ?( x ?

a ? 2 2 (a ? 2) 2 ) ? , 2 4

-7-

因为 a ? 2 ,所以 减.

(a ? 2) a?2 a?2 ? a ,所以 f ( x) 在 (??, ] 上单调递增,在 [ , a] 上单调递 2 2 2 a?2 a?2 ] 和 [a, ??) ,单调递减区间是 [ , a] 2 2

综上,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??, (3) ①当 ?2 ? a ? 2 时,

a?2 a?2 所以 f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数, 关于 x 的 ? a, ?a, 2 2

方程 f ( x) ? tf (a ) 不可能有三个不相等的实数解. ②当 2 ? a ? 4 时,由(2)知 f ( x) 在 ( ??, 是减函数,当且仅当 2a ? tf (a ) ?

a?2 a?2 ] 和 [a, ??) 上分别是增函数,在 [ , a] 上 2 2

(a ? 2) 2 时,方程 f ( x) ? tf (a ) 有三个不相等的实数解. 4

即1 ? t ?

(a ? 2) 2 1 4 ? (a ? ? 4) . 8a 8 a

4 , g(a ) 在 a ? (2, 4] 时是增函数,故 g(a ) max ? 5 a 9 所以,实数 t 的取值范围是 (1, ) 8
令 g(a ) ? a ?
1 PO 22. (1)详见解析; (2) ; (3) ? 3. 3 BC

-8-


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