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www.fzlwc.com:18版高中数学第二章平面向量2.4第1课时向量的数量积学案苏教版必修4

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第 1 课时 向量的数量积
学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景,即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的 功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律,了解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两 个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
知识点一 平面向量的数量积 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,如图.
思考 1 如何计算这个力所做的功?
思考 2 力做功的大小与哪些量有关?
梳理 平面向量的数量积 (1)已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角是 θ ,我们把数量|a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的______(或______),记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos θ . (2)我们规定:零向量与任一向量的数量积为________. 特别提醒:两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,其大小与两个向量的长度及其夹角 都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定. 知识点二 两个向量的夹角 思考 把两个非零向量的起点移至同一点,那么这两个向量构成的图形是什么?
1

梳理 两个向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向量 a,b,如图所示.
作O→A=a,→OB=b,则∠AOB=θ ,称为向量 a 与 b 的夹角. (2)范围:________________. (3)当 θ =________时,a 与 b 同向;当 θ =________时,a 与 b 反向. (4)当 θ =________时,则称向量 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 知识点三 平面向量数量积的几何意义 思考 1 什么叫做向量 b 在向量 a 上的投影?什么叫做向量 a 在向量 b 上的投影?
思考 2 向量 b 在向量 a 上的投影与向量 a 在向量 b 上的投影相同吗?

梳理 (1)条件:向量 a 与 b 的夹角为 θ . (2)投影:
向量 b 在 a 方向上的投影 向量 a 在 b 方向上的投影

|b|cos θ |a|cos θ

(3)a·b 的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与________________________________的乘积. 知识点四 平面向量数量积的性质及运算律 思考 1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别?

思考 2 非零向量的数量积是否可为正数,负数和零,其数量积的符号由什么来决定?
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梳理 (1)数量积性质 ①当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|; ②当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|; ③当 a⊥b 时,a·b=0; ④a·a=|a|2 或|a|= a·a. (2)数量积的运算律 ①a·b=b·a; ②(λ a)·b=a·(λ b)=λ (a·b)=λ a·b; ③(a+b)·c=a·c+b·c.
类型一 求两向量的数量积 例 1 已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a 与 b 的夹角为 30°时,分别求 a 与 b 的数量积.
反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是:(1)求 a 与 b 的夹角 θ ,θ ∈[0°,180°];(2) 分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即 a·b=|a||b|cos θ ,要特别注意书写时 a 与 b 之间用 实心圆点“·”连结,而不能用“×”连结,也不能省去. 跟踪训练 1 已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60° ,则→BD·→CD=________. 类型二 求向量的模 例 2 已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为π3 ,求|a+b|,|a-b|.
3

引申探究 若本例中条件不变,求|2a+b|,|a-2b|.
反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用 a2=|a|2,即|a|= a2,勿忘记开方. 跟踪训练 2 已知|a|=|b|=5,且|3a-2b|=5,求|3a+b|的值.
类型三 求向量的夹角 例 3 设 n 和 m 是两个单位向量,其夹角是 60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角.
反思与感悟 求向量夹角时,应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角,注意 向量夹角的范围是[0,π ]. 跟踪训练 3 已知|a|=2|b|=2,且 a·b=-1. (1)求 a 与 b 的夹角 θ ; (2)求(a-2b)·b; (3)当 λ 为何值时,向量 λ a+b 与向量 a-3b 互相垂直?
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1.已知|a|=8,|b|=4,〈a,b〉=120°,则向量 b 在 a 方向上的投影为________. 2.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=________. 3.若 a⊥b,c 与 a 及与 b 的夹角均为 60°,|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2=_____. 4.在△ABC 中,|→AB|=13,|B→C|=5,|→CA|=12,则A→B·B→C的值是________. 5.已知正三角形 ABC 的边长为 1,求: (1)→AB·→AC;(2)A→B·B→C;
(3)→BC·→AC.
1.两向量 a 与 b 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当 a≠0,b≠0, 0°≤θ <90°时),也可以为负(当 a≠0,b≠0,90°<θ ≤180°时),还可以为 0(当 a=0 或 b=0 或 θ =90°时). 2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是 有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,绝不可混淆. 3.a·b=|a||b|cos θ 中,|b|cos θ 和|a|cos θ 分别叫做 b 在 a 方向上的投影和 a 在 b 方向上的投影,要结合图形严格区分. 4.求投影有两种方法 (1)b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ (θ 为 a,b 的夹角),a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ .
5

(2)b 在 a 方向上的投影为a|·a|b,a 在 b 方向上的投影为a|·b|b. 5.两非零向量 a,b,a⊥b?a·b=0,求向量模时要灵活运用公式|a|= a2.
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答案精析
问题导学 知识点一 思考 1 W=|F||s|cos θ . 思考 2 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关. 梳理 (1)数量积 内积 (2)0 知识点二 思考 角. 梳理 (2)0°≤θ ≤180° (3)0° 180° (4)90° 知识点三 思考 1 如图所示,O→A=a,→OB=b,过 B 作 BB1 垂直于直线 OA,垂足为 B1,则 OB1=|b|cos θ . |b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影,|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影.
思考 2 由投影的定义知,二者不一定相同. 梳理 (3)b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 知识点四 思考 1 向量的线性运算结果是向量,而向量的数量积是数量. 思考 2 由两个非零向量的夹角决定. 当 0°≤θ <90°时,非零向量的数量积为正数. 当 θ =90°时,非零向量的数量积为零. 当 90°<θ ≤180°时,非零向量的数量积为负数. 题型探究 例 1 解 (1)a∥b,若 a 与 b 同向,则 θ =0°, a·b=|a||b|cos 0°=4×5=20; 若 a 与 b 反向,则 θ =180°, ∴a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. (2)当 a⊥b 时,θ =90°,∴a·b=|a||b|cos 90°=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30°时, a·b=|a||b|cos 30°=4×5× 23=10 3.
7

跟踪训练 1 32a2

例 2 解 a·b=|a||b|cos θ =5×5×12=225.

|a+b|= a+b 2= |a|2+2a·b+|b|2

= 25+2×225+25=5 3.

|a-b|= a-b 2= |a|2-2a·b+|b|2

= 25-2×225+25=5.

引申探究



a·b=|a||b|cos

θ

1 25 =5×5×2= 2 ,

|2a+b|= 2a+b 2= 4|a|2+4a·b+|b|2

= 4×25+4×225+25=5 7.

|a-2b|= a-2b 2= |a|2-4a·b+4|b|2

= 25-4×225+4×25=5 3. 跟踪训练 2 解 |3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b|2 =9×25-12a·b+4×25=325-12a·b, ∵|3a-2b|=5,∴325-12a·b=25, ∴a·b=25. ∴|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6a·b+b2

=9×25+6×25+25=400, 故|3a+b|=20. 例 3 解 ∵|n|=|m|=1 且 m 与 n 夹角是 60°,

∴m·n=|m||n|cos 60°=1×1×12=12.

|a|=|2m+n|= m+n 2= 4×1+1+4m·n

= 4×1+1+4×12= 7,

|b|=|2n-3m|= n-3m 2= 4×1+9×1-12m·n

= 4×1+9×1-12×12= 7, a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2

8

=12-6×1+2×1=-72.

设 a 与 b 的夹角为 θ ,

则 cos θ =|aa·||bb|=

-27 7×

7=-12.

又∵θ ∈[0,π ],

∴θ =2π3 ,故 a 与 b 的夹角为23π .

跟踪训练 3 解 (1)∵|a|=2|b|=2,

∴|a|=2,|b|=1,

∴a·b=|a||b|cos θ =-1,

∴cos θ =-12,

又∵θ ∈[0,π ],∴θ =23π .

(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.

(3)∵λ a+b 与 a-3b 互相垂直, ∴(λ a+b)·(a-3b) =λ a2-3λ a·b+b·a-3b2

=4λ +3λ -1-3=7λ -4=0,

∴λ =47.

当堂训练

1.-2 2.1 3.11 4.-25

1

11

5.(1)2 (2)-2 (3)2

9


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