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2014年自主招生考试数学4


2014 年自主招生考试数学(4)
班级: 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 姓名:

1.设集合 M ? {x | x ? 2}, N ? {1, 2,3, 4} ,则 M ? N 的运算结果为
A. ? 1? B. {3, 4} C. {2,3, 4} D. {1, 2,3, 4}



) .

2. 若函数 f ( x) 是定义在 ?? 6,0? , 且在 [?6, 0] 上单调递减, 则
A. f (3) ? f (4) ? 0 C. f (?2) ? f (?5) ? 0 B. f (?3) ? f (?2) ? 0 D. f (4) ? f (?1) ? 0



) .

3.方程 5x ?1 ?103 x ? 8x 的解集是
A. ?1, 4? B. ? ?

( C. ?1, ?

) .

?1 ? ?4?

? 1? ? 4?

D. ? 4, ?

? 1? ? 4?
( ) .

4. 已知平面向量 a ? (3,1) ,b ? ( x, ?3) , 且a ?b , 则实数 x 的值为
A. ? 3 B. ?1 C. 1 D. 3

5.一个简单几何体的主视图、左视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形 ② 正 方 形 ③ 圆 ④ 三 角 形 中 的 哪 几 个 选 项
( ) . A.①②③ B.①③④ 3 2 2 C.①④ 2 D.②③

主视图 第5题

左视图

6. 直线 l 的倾斜角为 ? , sin ? ?

2 4 , 2 ) , 若 P( 2

在直线 l 上, 则直线 l 的方程 (

) .

A. x ? y ? 2 ? 0 , 或 x ? y ? 6 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? y ? 6 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0 ,或 x ? y ? 3 ? 0 D . 2 x ? y ? 2 ? 0 ,或 2 x ? y ? 6 ? 0 ( )

7.已知命题 p : ?x ? R , x ≥ 2 ,那么命题 ?p 为
A. ?x ? R , x ≤ 2 C. ?x ? R , x ≤ ?2 B. ?x ? R , x ? 2 D. ?x ? R , x ? ?2

8. 若 a, 4, 3a 为等差数列的连续三项, 则 a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 9 的值为
A.2047 B.1062 C.1023 D.531



) .

二、填空题: (本题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分)

?x? y ?0 ? 9 . 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1 , 则 z ? 3x ? y 的 最 小 值 ?2 x ? y ? 1 ?

为 . . 10. 如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲乙两人这几 场比赛得分的中位数之和是

11.在△ABC 中,已知边 c = 10,

A=

45 , C = 30 ,边 a 为

?

?

12. 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)<0 的解集是

三解答题: (本题共 4 个小题,每题 10 分,共 40 分)

13.为援助汶川灾后重建,对某项工程进行竞标,共有 4 家企业参与竞标.其中 A 企业来自辽宁省, B 、 C 两家企业来自福建省, D 企业来自河南省.此项工程 需要两家企业联合施工,假设每家企业中标的概率相同. (1)企业 D 中标的概率是多少? (2)在中标的企业中,至少有一家来自福建省的概率是多少?

14. k 为何值时, 直线 y ? kx ? 2 和曲线 2x2 ? 3 y 2 ? 6 有两个公共点?有一个公共 点? 没有公共点?

15. 如图,已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 , AA1 ? 4 . E 、
F 分别是棱 CC1 、 AB 中点.

(1)求证: CF ? BB1 ; (2)求四棱锥 A ? ECBB1 的体积; (3)判断直线 CF 和平面 AEB1 的位置关系,并加以证明.
C1

A1 E

B1

C

A

F

B

16.(1)已知{

an }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. 求 q 的值;
n 2 ? 3n 求数列 {an } 的通项公式; 2 ,

(2) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S n ?


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