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山东省高中数学《第三章 不等式》模块检测 新人教A版必修5

高中新课程数学(新课标人教 A 版)必修五《第三章 不等式》模块 检测
(时间:100 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.如果 a<0,b>0,那么,下列不等式中正确的是 1 1 A. < (
2 2

).

a b

B. -a< b

C.a <b

D.|a|>|b|

1 1 解析 如果 a<0,b>0,那么 <0, >0,

a

b

1 1 ∴ < .

a b

答案 A 2.(2012?大连统考(二))△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比 数列,且 c=2a,则 cos B= ( 1 A. 4
2

). 3 B. 4 C. 2 4 D. 2 3

解析 由题意, b =ac, c=2a, 得 又 由余弦定理, cos B= 得 3 = ,故选 B. 4 答案 B

a2+c2-b2 a2+4a2-a?2a = 2ac 2a?2a

3.等差数列{an}的公差 d<0,且 a2?a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是 ( A.an=2n-2(n∈N ) C.an=-2n+12(n∈N ) 解析 由?
?a2?a4=12, ? ? ?a2+a4=8.
* *

).

B.an=2n+4(n∈N ) D.an=-2n+10(n∈N ) 得?
?a2=2, ? ? ?a4=6
*

*

或?

?a2=6, ? ? ?a4=2.

∵d<0,∴取 a2=6,a4=2, 1 ∴d= (a4-a2)=-2, 2 ∴an=a2+(n-2)d=6-2(n-2) =10-2n. 答案 D

1

4.当 x>1 时,不等式 x+ A.(-∞,2] C.[3,+∞) 解析 ∵x>1,∴x+ 2 ? 1

1 ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x-1 B.[2,+∞) D.(-∞,3]

(

).

1 1 =(x-1)+ +1≥ x-1 ? x-1?

x-1? ? +1=3.∴a≤3. x-1

答案 D 5.等差数列{an}满足 a4 +a7 +2a4a7=9,则其前 10 项之和为 A.-9
2 2 2 2

( D.±15

).

B.-15
2

C.15

解析 a4 +a7 +2a4a7=(a4+a7) =9, ∴a4+a7=±3,∴a1+a10=±3, 10? ∴S10= 答案 D 6.在△ABC 中,BC=2,B= A. 3 2 1 B. 2 π 3 ,当△ABC 的面积等于 时,sin C= 3 2 C. 3 3 D. 3 4 ( ).

a1+a10?
2

=±15.

1 π 3 解析 由三角形的面积公式,得 S= AB?BCsin = ,易求得 AB=1,由余弦定理, 2 3 2 得 AC = AB +BC -2AB?BC?cos
2 2 2

π 1 ,得 AC = 3,再由三角形的面积公式,得 S= 3 2

AC?BCsin C=
答案 B

3 1 ,即可得出 sin C= ,选 B. 2 2

7.在△ABC 中,若 lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,则△ABC 是 ( ). B.直角三角形 D.等腰直角三角形

A.等腰三角形 C.等边三角形

解析 ∵lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2, sin A ∴lg =lg 2.∴sin A=2cos Bsin C,∵A+B+C=180°,∴sin(B+C)=2cos cos Bsin C

Bsin C,∴sin(B-C)=0.
∴B=C,∴△ABC 为等腰三角形.

2

答案 A 8.对任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x +(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,则 x 的取值范围是 ( ). B.x<1 或 x>3 D.x<1 或 x>2
2 2

A.1<x<3 C.1<x<2 解析

?g? ? 设 g(a)=(x-2)a+(x -4x+4),g(a)>0,恒成立?? ? ?g?

1? =x -3x+2>0 -1? =x -5x+6>0
2

2

??

? ?x<1或x>2 ? ?x<2或x>3

?x<1 或 x>3.

答案 B

?2x+y≤40, ?x+2y≤50, 9.若变量 x,y 满足? x≥0, ?y≥0. ?
( A.90 ). B.80

则 z=3x+2y 的最大值是

C.70

D.40

解析 作出可行域如图所示. 1 由于 2x+y=40、x+2y=50 的斜率分别为-2、- ,而 2 3 3x+2y=0 的斜率为- ,故线性目标函数的倾斜角大于 2 2x+y=40 的倾斜角而小于 x+2y=50 的倾斜角,由图 知,3x+2y=z 经过点 A(10,20)时,z 有最大值,z 的最 大 值为 70. 答案 C 10.某企业在今年年初贷款 a 万元,年利率为 γ ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预 计五年内还清,则每年应偿还 ( A. ? ).

a? 1+γ ?
1+γ ?

万元 5 -1
5

B. D. ?

aγ ? 1+γ ?
? 1+γ ?
5

5

万元 -1

aγ ? 1+γ ? C. 万元 4 ? 1+γ ? -1


1+γ ?
2

5

万元
3 4

解析 设每年偿还 x 万元,则:x+x(1+γ )+x(1+γ ) +x(1+γ ) +x(1+γ ) =a(1

3

aγ ? 1+γ ? 5 +γ ) ,∴x= 5 ? 1+γ ? -1
答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上). 1 11.在数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,an+1= Sn(n≥1),则 an=________. 3 1 1 解析 an+1= Sn,an+2= Sn+1, 3 3 1 1 ∴an+2-an+1= (Sn+1-Sn)= an+1, 3 3 4 ∴an+2= an+1(n≥1). 3 1 1 ∵a2= S1= , 3 3

5

?1,n=1, ? ∴an=?1 ?4?n-2 ?3??3? ,n≥2. ? ? ? ?1,n=1 ? 答案 ?1 ?4?n-2 ?3??3? ,n≥2 ? ? ?
12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 a=csin A,则 为________. 解析 ∵a=csin A,∴sin A=sin C?sin A. ∴sin C=1.C=90°.∴A+B=90°, ∴

a+b 的最大值 c

a+b sin A+sin B = =sin A+sin B c sin C

=sin A+cos A= 2sin(A+45°)≤ 2. 答案 2

13.(2011?安徽“三校”联考)2010 年 11 月 12 日广州亚运 会上举行升旗仪式.如图,在坡度为 15°的观礼台上, 某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面,在该 列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的 仰角分别为 60°和 30°, 且座位 A、 的距离为 10 6米, B 则旗杆的高度为________米.

4

AN 10 6 解析 由题,可知∠BAN=105°,∠BNA=30°,由正弦定理,得 = , sin 45° sin 30°
解得 AN=20 3米,在 Rt△AMN 中,MN=20 3sin 60°=30 米.故旗杆的高度为 30 米. 答案 30 14.已知 f(x)=3 -k?3 +2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值范围为________. 解析 由 f(x)>0,得 3 -k?3 +2>0, 2 x 解得 k<3 + x, 3 2 x 而 3 + x≥2 2, 3 ∴k<2 2. 答案 (-∞,2 2) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤) 1 1 1 1 1 15.(10 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 S3, S4 的等比中项为 S5; S3, S4 的等 3 4 5 3 4 差中项为 1,求数列{an}的通项公式. 解 设等差数列{an}的首项 a1=a,公差为 d,则 Sn=na+ 1 1 ?1?3a+3?2d??4?4a+4?3d?=25?5a+5?4d? , ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ?3? ? ? ? ? ? ? ?1? 3?2 ? 1? 4?3 ? ?3?3a+ 2 d?+4?4a+ 2 d?=1?2. ?? ? ? ?
2 2x 2x

x

x

n? n-1?
2

d,依题意,有

?3ad+5d =0, ? 整理得? 5 ?2a+2d=2. ?
12 ∴a=1,d=0 或 a=4,d=- . 5 32 12 32 12 ∴an=1 或 an= - n,经检验,an=1 和 an= - n 均合题意. 5 5 5 5 32 12 ∴所求等差数列的通项公式为 an=1 或 an= - n. 5 5 16.(10 分)在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,若 2b=a+c,B=30°,△ABC 3 的面积为 ,求 b. 2 1 1 3 解 ∵S△ABC= acsin B= acsin 30°= , 2 2 2
5

2

∴ac=6.∵2b=a+c. 由余弦定理,b =a +c -2accos B=(a+c) -2ac-2ac?cos 30°, ∴b =4b -12-6 3, 得 b =4+2 3,∴b=1+ 3. 17.(10 分)(2012?郑州模拟)某渔业公司今年年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞,第一 年需要各种费用 12 万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加 4 万 元.该船每年捕捞总收入 50 万元. (1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少? (2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少? 解 (1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元.则
2 2 2 2 2 2 2

n? n-1? y=50n-98-[12?n+ ?4]
2 =-2n +40n-98 =-2(n-10) +102 ∴当捕捞 10 年后总盈利最大,最大是 102 万元. (2)年平均利润为
2 2

y 49 =-2(n+ -20) n n
≤-2(2

n? -20)=12, n n

49

49 当且仅当 n= ,即 n=7 时上式取等号. 所以,当捕捞 7 年后年平均利润最大,最大是 12 万元. 18.(12 分)已知函数 f(x)=x -2x-8,g(x)=2x -4x-16, (1)求不等式 g(x)<0 的解集; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)g(x)=2x -4x-16<0, ∴(2x+4)(x-4)<0,∴-2<x<4, ∴不等式 g(x)<0 的解集为{x|-2<x<4}. (2)∵f(x)=x -2x-8. 当 x>2 时,f(x)≥(m+2)x-m-15 恒成立, ∴x -2x-8≥(m+2)x-m-15, 即 x -4x+7≥m(x-1). ∴对一切 x>2,均有不等式
2 2 2 2 2 2

x2-4x+7 ≥m 成立. x-1

6



x2-4x+7 4 =(x-1)+ -2≥2 x-1 x-1
?

x-1? ? -2=2(当 x=3 时等号成立). x-1

4

∴实数 m 的取值范围是(-∞,2]. 19.(12 分)在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A 3-1 海里的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75°的方向,距离 A 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里的速度追截 走私船.此时,走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船 沿什么方向能最快追上走私船? 解 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,如图则有 CD= 10 3t,BD=10t, 在△ABC 中,∵AB= 3-1,

AC=2,∠BAC=120°,
∴由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2AB?AC?cos ∠BAC
=( 3-1) +2 -2?( 3-1)?2cos 120°=6. ∴BC= 6. 由正弦定理,得 sin ∠ABC=
2 2

AC?sin ∠BAC 2?sin 120° 2 = = . BC 2 6

∴∠ABC=45°,∴BC 为东西方向, ∴∠CBD=90°+30°=120°,在△BCD 中,由正弦定理,得 sin ∠BCD=

BD?sin ∠CBD 10tsin 120° 1 = = , CD 2 10 3t

∴∠BCD=30°.即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船.

7


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