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数学探究性学习中学生思维障碍与对策


数学探究性学习中学生思维障碍与对策
浙江省临海市外国语学校(317000) 浙江省临海市外国语学校(317000)
摘要

朱先东

学生学习数学都存在不同程度的思维障碍,这些思维障碍阻碍了学生数学能力的发展.本文就

学生在数学探究性学习中的思维障碍,从学生学的角度进行分析和探讨,寻求突破思维障碍的对策,提高 探究性学习实效性. 关键词 数学;探究性学习;思维障碍;对策

数学探究性学习指的是“学生在数学领域或现实生活的情境中,通过发现问题、调查研 究、动手操作、表达与交流等探究性活动,获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程. ” 探究性学习主要在于学生的学, 学生以独立或小组合作的方式进行探索性、 研究性学习活动, 注重主动探索、体验和创新.但学生在探究过程中,总会遇到这样那样的困难,而这些困难 并不都是因为问题本身太难以致学生无法解决, 而是其思维形式或结果与具体问题的解决方 式存在着差异,也就是说,大多数学生的数学思维存在障碍.这种思维障碍的形成既有教的 因素也有学的因素.从教的因素来说,如教师是否创设探究情境,激发学生的探究欲望;是 否设计合适的探究内容;是否保证探究时间和空间;探究过程是否进行合理的指导;对学生 的探究是否给予积极的评价等等. 但本文侧重于探究性学习的主体——学生的学, 着重研究 学生在探究性学习中所形成的主要思维障碍及克服这些思维障碍的对策. 一、 不良学习心理形成的思维障碍 “约拿情结” 1、 约拿情结”形成的思维障碍 约拿是圣经中的人物, 以后转用来指“不幸的人”, 约拿情结指的是总认为自己平庸无 为的观点,这里指的是大多数中学生的自卑心理.这些学生,尽管在许多场合会表现出自己 的聪明才智,然而,一接触数学问题,思维便缺乏主动性,碰到面目新一点问题,就等待别 人讲解,称这些东西都“没有教过”,自己完全不肯思考.尤其在探究性学习过程中,学生 要自己发现问题,通过实践操作,情感体验,合作交流,创造性地解决问题.因此,这些学 生面对探究性问题就产生自己比别人笨的自卑心理和严重的思维惰性. 例如 (人教版七年级 上,P 94 )小明想在两种灯中选购一种,其中一种是 11 瓦的节能灯,售价为 60 元;另一种 灯是 60 瓦的白炽灯, 售价 3 元. 两种灯的照明效果一样, 使用寿命也相同 (3000 小时以上)节 . 能灯售价高,但是较省电;白炽灯售价低,但是用电多.如果电费是 0.5 元/(千瓦时) , 选用哪种灯可以节省费用(灯的售价加电费)? , 学生通过审题后, 都能列出两种灯费用的关系式, 节能灯的费用:60 + 0. × 0. t(元) 5 011 白炽灯的费用: 3 + 0. × 0. t (元) 5 06 .但接下去比较两种灯费用大小时,许多学生出现了 “约拿情结” ,认为自己没有学过不等式,自己无法解决这个问题,不敢大胆地去尝试,因 此,就出现等待老师和同学的讲解的现象. 要克服这种思维障碍, 从学生来讲关键是要树立信心, 养成从不同角度思考问题的习惯, 要敢于尝试.如本题照明时间 t 未知,如果对 t 用特殊值进行尝试,就能发现 t 不同,费用

不同,为了省钱而选择用哪种灯的答案也不同.这样就自然会想到 t 为何值时,这两种灯的 费用相等?从而将不等问题转化为方程问题.对于我们教师来说,要指导学生探究的方法, 如本题从特殊到一般的方法, 要鼓励学生树立探究的自信心和勇气. 对学生的探究不要求全 责备,不仅要关注探究的成果,更要关注探究的态度,哪怕探究失败,在分析原因的同时都 要予以鼓励,这样有利于塑造学生独立的人格品质. 2、意志品质薄弱形成的思维障碍 所谓意志,就是指自觉地确定目的,根据目的调节和支配行动,努力克服困难,从而达 到预定目的的心理过程. 意志品质总与克服自身的和外部的各种困难相联系, 是学生探究性 学习十分重要的学习品质, 它常常决定着学生学习成功与否. 但有些学生在学习过程中意志 力薄弱,见困难不是进而是退.例如学生遇到稍难问题时不能认真分析条件和结论,从多角 度去思考,寻求问题解决的方法,缺乏坚韧性;遇到计算复杂些的问题,就表现出烦躁,不 想计算或马虎地演算一下, 甚至抄他人的运算结果; 遇到信息量大些的问题不能静下心仔细 审题,搜集、分析、提取有效信息,而是放弃它…… 要克服这种思维障碍, 从学生来讲, 首先要提高对学习意义的认识, 明确学习的目的. 学 习是人们从阅读、听讲、研究、实践中获得知识和技能的活动,是一个人和社会赖以生存和 发展的保证.其次,要明确在学习和创造的过程中不可能都是一帆风顺的,总会遇到各种困 难,从现在开始就要养成不怕困难,不怕失败挫折,勤于思考,敢于提问,坚持不懈的学习 品质,磨练自己的意志,不要轻易放过这一机会,因为良好的意志品质,是在平时学习工作 中锻炼形成的.从教师来讲,在教学过程中要有意识的培养学生的意志品质,特别是学生学 习数学遇到困难时, 要及时鼓励, 经常用科学家的人生经历教育学生, 培养学生的坚强意志. 二、不良思维习惯形成的思维障碍 1、重结果轻过程意识形成的思维障碍 探究性学习更加重视学习的过程而非结果,它强调尽可能让学生经历一个完整的知识的 发现、形成、应用和发展的过程.但许多学生认为只要能记住概念、公式、定理、法则、规 律,能应用这些结论解决问题就好,至于过程怎样是没有必要探究也没有意义的.如探究三 角形内角和性质定理时, 由于学生在小学时就知道把三个角剪下来拼成一个平角, 从而得出
o 三角形内角和等于 180 ,学生就满足于这个结论.让他们再动手操作,利用平行线性质探

索定理兴趣不高.等到下一节课提问学生这个定理是如何推出来,许多学生回答不出,对添 辅助线的作用——“化分散为集中”这一重要的数学方法知之更少,严重阻碍了思维能力的 发展. 要克服这种思维障碍,就要求我们学生和老师都要重视过程性学习,要理解一个数学问 题是怎样提出来的,一个数学概念是如何形成的,一个数学结论是怎样获得和应用的,一个 数学定理、 法则是如何发现的, 一个例题是如何引申拓展的……在一个充满探索的过程中学 习数学, 不但可以让学生感受到数学探究的乐趣, 而且让已经存在于学生头脑中的那些数学

知识和体验上升为科学结论,使自己的知识体系更加丰富和完善. 2、思维定势形成的思维障碍 思维定势指的是一种思维的定向预备状态. 在思维不受到新干扰的情况下, 人们依照既 定的方向或方法去思考.在平时教学中,利用这个规律,有助于学生运用学过的知识和积累 的经验去解决新问题,有着积极的一面.但是,在思维定势形成过程中,也往往伴随出现思 维的惰性和呆板性,对教学产生消极影响,它妨碍了学生灵活运用知识进行问题探究.主要 体现在以下两个方面: (1)知识的负迁移形成的思维障碍 在思维定势的作用下, 往往自觉或不自觉地认为某种知识的应用范围是定向的, 解决问 题的方法是定型的.因此,在面对新的问题情境时,往往跳不出原有的框架,缺乏求异的思 维.例如在探究根与系数的关系时,有这样一个问题:如果方程 X+(m-2)X+(5-m)=0 有一个 根比 2 大,另一个根比 3 大,请你确定 m 的取值范围.许多学生列出了如下关系式:

= (m 2) 2 4(5 m) ≥ 0 ,这个结论显然是错误的.主要是学生受原有的知识:同号 x1 + x 2 = (m 2) > 5 x x = 5 m > 6 1 2
两个正根应满足条件:△≥0,X1+X2>0, X1X2>0 的影响,而想当然地得出错误的结论.殊不知 由 X1>2, X2>3 能得出 X1+X2>5, X1X2>6,但由 X1+X2>5, X1X2>6 推不出 X1>2, X2>3.这是知识负 迁移所形成的思维障碍. (2)类比不当形成的思维障碍 类比不当形成的思维障碍 类比是人们认识新事物、探究新问题的一种重要的思维方式.类比正确,可以使学生正 确探究理解新概念之间的关系;类比不当,可能使新问题引入错误的轨道.例如,平面几何 与立体几何有许多相似之处, 立体几何的许多性质可由平面几何的性质类比得到, 但有时类 比不当反而会导致严重的错误. 如学生在探究三直三面角的四面体的面积关系时, 利用勾股 定理: “在直角三角形 ABC 中,∠C=90,则 c=a+b,其中 a,b,c 表示顶点的对边边长”作 如下类比:在四面体 ABCD 中,D—ABC 为三直三面角,则 D=A+B+C,其中 A,B,C,D 表示 顶点的对面面积.这个结论是错误的,其正确结论是 D=A+B+C.这种类比不利于对新问 题的探究. 造成类比错误的原因是多方面的, 主要是对概念、 性质的内涵和外延不清楚造成. 克服思维定势带来的思维障碍,通常有以下三种方法:①运用反例和特例法.由于反例 和特例有鲜明的直观特征,容易引起学生的注意,也容易为学生所接受,所以是消除思维定 势消极作用的有效方法之一.②利用对比分析法,深刻理解概念、公式、定理的实质,分清 新、旧知识之间的联系和区别,防止死套公式、张冠李戴的错误发生.在类比过程中,不但 要多找对象的相同点, 而且是本质属性的相同点, 不能按其对象表面的相似性来机械地加以 类比. ③培养优良的思维品质, 即思维的广阔性、 灵活性, 要多鼓励学生进行求异思维活动, 多方向、多角度地思考问题,要不满足于用常规方法取得正确答案,不把解题公式化,要尝

试、探索最简单、最优化的方法解决问题. 3、思维单一性形成的思维障碍 所谓思维单一性是指学生习惯于孤立地、静止地看问题,满足于求问题的特解,不能从 整体上把握数学对象.特别是,学生缺乏用运动的、发展的眼光,全面地认识事物,从而影 响了探究的深入和完整性.例如,学生对下面问题的反映就是一个典型案例.已知:不等式 组

1 ≤ x ≤ 1 有解,试探索 a 的取值范围?结果是令人吃惊的!全班 53 人中有 10 位不会 x < a

做,22 人回答 a=1,12 人回答-1≤a≤1,7 人回答 a≥-1,只有 2 人答出 a>-1,可见问题的 严重性.究其原因是学生用静止的观点看问题,没有用连续的、运动的、变化的观点观察问 题. 克服这种思维障碍的方法就是把运动变化的观点引进教学, 这与其说是教学措施, 还不 如说是一种教学理念的改变,因为在中学数学中,研究点的运动和量的变化,可以说是无处 不在,须臾不离,但对习惯于求特解的学生来说,让他们用运动变化的观点去审视问题、解 决问题,却是个思维的飞跃.教师必须紧扣教材,适时创设问题情境,让学生置身其间,在 游泳中学会游泳. 三、相关学习能力不强形成的思维障碍 1、实践能力滞后形成的思维障碍 实践能力滞后形成的思维障碍 滞后 《数学课程标准》指出:有效的数学学习活动不能靠单纯的模仿和记忆,动手实践、自 主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式. 学生的思维发展是从直觉思维、 形象思维逐 步发展为抽象逻辑思维.因此,动手实践是学生探究发现问题结论和规律的有效途径.但我 们学生动手实践的意识和能力普遍较弱,导致探究时方向不明确,思路不畅通,问题得不到 有效解决.例如,在等腰直角三角形 OAB 中,∠AOB=90,OA=OB,拿一块有一内角为 45 的 三角板,以此角的顶点与点 O 重合,45 角的两边与 AB 分别交于 E、F, A 试探索 AE、EF、FB 三线段能否组成一个直角三角形.这是一个结论开 放的探究题,学生拿到题往往感到没有方向,无从下手.事实上,如果 学生有动手实践的意识和习惯,画图作实验,分别以 E、F 为圆心,AE、 BF 为半径作弧相交于 H(如图) ,测量一下∠EHF 就能发现结论.从这 O E B F H

个图形中我们还可以直觉发现:△OHE 是以 OE 为对称轴翻折△OEA 而获得,△OHF 是以 OF 为对称轴翻折△OBF 而获得.如果学生再分别以 OE、OF 为对称轴翻折△OAE 和△OBF,就能 自然流畅地获得证明的思路.这种动手实践是探究的基本思路. 克服这种思维障碍的方法就是要养成动手实践的意识和习惯,尽可能运用身边的学具、 器材动手实践, 在实践中发现结论和规律, 这样有助探究思维的形成. 尤其是学习空间图形, 要引导学生通过观察、操作、图形变换、展开与折叠、图形设计等各种实践活动,探索图形 的性质,丰富几何的活动经验和良好体验,发展空间观念,使学生明白“纸上得来终觉浅,

绝知此事要躬行”的道理. 2、信息提取失真形成的思维障碍 通过审题提取信息是进行数学探究的第一步,有效信息提取得越多,越有利于问题的解 决.但有许多学生提取信息能力弱,在审题过程中出现信息提取失真现象,从而形成思维障 碍.主要表现在以下三个方面: (1)信息提取错误形成的思维障碍 提取有效信息包含着发现信息、判断信息的重要程度等富于理性的思维过程和行为,因 而更加明显地表现出个体的思维能力. 但有的学生常常粗心大意、 注意力不集中或高度焦虑, 经常遗漏信息或人为地曲解题意.例如:小王乘车沿乡间公路往返于 A、B 两地,他离开 A 地的距离 y(千米)与当地时间 t(时)的关系如图所示,根据图象回答:
y (1)小王几点从 A 地出发?几点到达 B 地?几点返回 A 地?100

(2)哪一段时间汽车行驶在上坡路上?上坡时的平均速 度是多少? (3)整个往返过程的平均速度是多少? 学生解决这个问题的困难在于图象信息的提取.

80 60 40 20

t
O 2 4 6 8

哪段时间车上坡不清楚,上坡后车是继续运动还是休息,

图 11-4

还是马上返回在图象信息中都没有获取到. 以致有些学生错误认为车在 4~5 时也在上坡, 车 在往返过程中的平均速度为 100×2÷7= (2)信息隐含形成的思维障碍 ) 有些问题的信息常常巧妙地隐蔽在题设的背后,极易被人们所忽视,这种信息通常又叫 做隐含条件.隐含条件对解决问题的影响很大,既有干扰作用又起暗示作用.常因未能发掘 题中的隐含条件使问题陷入困境,或得到错误的结论.例如:已知 x 1 、x 2 为方程 x 2 -2ax +a+6=0 的二个实根,使探求(x 1 -1) 2 +(x 2 -1) 2 的最小值.此题多数学生的解答过程 是这样: 由韦达定理得: 1 +x 2 =2a , x 1 x 2 =a+6. (x 1 -1)2 +(x 2 -1) 2 = (x 1 +x 2 ) x 则
2

200 千米/小时. 7

—2 x 1 x 2 —2(x 1 +x 2 )+2=4a 2 -4a-10=4(a-

3 2 49 3 ) - .当 a= 时,其最小值为 4 4 4

-

49 . 4
上述解法是错误的,究其原因是学生没有考虑到题中隐含着“二个实根”这一条件,其

数学信息为△≥0,由△≥0 可求得 a≤-2 或 a≥3,即题中有隐含条件 a≤-2 或 a≥3,这样 a 取不到

3 49 ,自然最小值也不会是. 4 4

(3)信息干扰形成的思维障碍 ) 当考虑用已有的知识去解决当前问题时,由于式子的形态发生了变化,或附加了其他次 要因素,使思维过程受到了一定程度的干扰.当这种干扰超过了辨析与抗御能力时,思维便 出现了混乱,甚至偏离正确轨道.例如在△ABC 中,D 是 AB 的中点,F 是 BC 延长线上一点, DF 交 AC 于 E,CG∥BA 交 FD 于 G,求证:

AE BF = .学生在探求解法时遇到的思维障碍是: CE CF

图形中比例线段较多.如果将这个图形进行分解,得到下面右边的两个图形,学生就很容易 列出比例线段.
A A D D E G F B C C D E G B C G F

这就是复杂图形干扰导致学生思维障碍.有些问题,背景文字叙述很长,导致一些学生阅读 和审题的困难,这是文字干扰的结果,诸如此类,不一而足. 要克服这类思维障碍,就要培养学生的审题能力,通常有以下几种方法:①通过练习训 练和错题评讲,提高学生审题的自觉性.②通过认真审题提高提取信息的准确性,例如:读 题,重点、关键或难点要多读几遍,边读边画简图,把文字转化为图形,从整体上把握问题 等;让学生多接触缺少信息、信息冗余、信息隐蔽的题目,分析区别形似质异的题目,使学 生逐步提高对题目中信息的敏感性. ③提高对干扰信息的辨别力与防御力, 例如将题中的条 件或结论加以适当变化,从变化中抓住不变因素,从复杂的背景中识别所需条件,从纷繁的 干扰中弄清问题的本质. 总之,为克服学生在探究性学习中形成的各种思维障碍,我们执教者必须认真研究学生 思维障碍产生的根源,采取有效措施,提高学生数学思维品质.

参考文献: 参考文献: ① 郑君文,张恩华.数学学习论[M].南宁:广西教育出版社,1996. ② 王子兴等.中学数学教育心理学研究[M].长沙:湖南师范大学出版社,1999. ③ 张广祥.数学中的问题探究[M].上海:华东师大出版社,2003. ④ 魏清.中学有效教学策略研究[M].上海:上海三联书店,2005.


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