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高中数学湘教版必修1:第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.1_图文

第2章—— 2.2 对数函数 [学习目标] 2.2.1 对数的概念和运算律 1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化. 2.了解常用对数与自然对数的意义. 3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算. 4.掌握对数的运算性质及其推导. 5.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明. 栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测 挑战自我,点点落实 重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功 预习导学 挑战自我,点点落实 [知识链接] 1.8 = 4 , 64 2 3 2 -3 1 = 16 . 2.若2x=8,则x= 3 ;若3x=81,则x= 4 . 3.在指数的运算性质中: m a a m· an=am+n, n =am-n,(am)n=amn. a 2.2.1 对数的概念和运算律 4 [预习导引] 1.对数的概念 如果ab=N(a>0,a≠1),那么b叫作以a为底,(正)数N的 对数 , 记作b= logaN .这里,a叫作对数的 底 ,N叫作对数的 真数 . 把上述定义中的b=logaN代入ab=N,得到alogaN=N;把N=ab代入 b=logaN,得到b=logaab,这两个等式叫作对数的基本恒等式: alogaN= N , b =logaab. 由上述基本恒等式可知,logaa=logaa1= 1 ,loga1=logaa0= 0 . 2.2.1 对数的概念和运算律 5 2.对数的运算法则 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)= logaM+logaN . (2)logaMn= nlogaM (n∈R). M (3)loga = N logaM-logaN . 6 2.2.1 对数的概念和运算律 3.常用对数与自然对数 (1)以 10 为底的对数叫作常用对数,log10N记作 lg N . (2)以无理数e=2.718 28…为底的对数叫作 自然 对数. logeN通常记为ln N. 2.2.1 对数的概念和运算律 7 课堂讲义 重点难点,个个击破 要点一 指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: 1 7 - (1)2 = ; 128 1 解 log2 =-7. 128 (2)3a=27; 解 log327=a. 2.2.1 对数的概念和运算律 8 (3)10-1=0.1; 解 lg 0.1=-1. (4)log232=-5; 解 2-5=32. (5)lg 0.001=-3. 解 10-3=0.001. 2.2.1 对数的概念和运算律 9 规律方法 1. 解答此类问题的关键是要搞清 a,x ,N在指数 式和对数式中的位置. 2.若是指数式化为对数式,关键是看清指数是几,再写成对 数式;若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成 指数式. 2.2.1 对数的概念和运算律 10 跟踪演练1 解 36=x. (2)ln e=1; 解 e1=e. (3)43=64. 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)log3x=6; 解 log464=3. 2.2.1 对数的概念和运算律 11 要点二 对数式的计算与化简 例2 求下列各式的值: 27+lg 8-lg 1 000 (1) ; lg 1.2 1 3 1 lg 27+lg 2 - lg 1 000 2 2 解 原式= lg 12-lg 10 3 3 3 lg 3+3lg 2- ?lg 3+2lg 2-1? 2 2 2 3 = = = . 2 2lg 2+lg 3-1 lg 3+2lg 2-1 lg 2.2.1 对数的概念和运算律 12 32 (2)2log32-log3 +log38-log5125; 9 解 原式=2log32-log332+log39+log323-log553 =2log32-5log32+2+3log32-3 =-1. (3)log2 7 1 +log212- log242; 48 2 7×12 ? 1 2 1 解 原式=log2 =log22 =- . 2 48× 42 2.2.1 对数的概念和运算律 13 (4)(lg 2)3+3lg 2· lg 5+(lg 5)3. 解 原式=(lg 2+lg 5)[(lg 2)2-lg 2·lg 5+(lg 5)2]+3lg 2· lg 5=(lg 2)2+2lg 2· lg 5+(lg 5)2 =(lg 2+lg 5)2=1. 2.2.1 对数的概念和运算律 14 规律方法 1.进行对数式的计算与化简,主要依据是对数的 运算法则,同时要注意结合对数恒等式、对数性质的应用. 2.应用对数的运算法则时,除了正用这些法则外,还要注意 它们的逆用. 3.lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2在计算和化简时 经常使用,注意记忆. 4.在对数的运算和化简中提取公因式,因式分解等仍适用. 2.2.1 对数的概念和运算律 15 b 跟踪演练 2 (1)已知 lg a=2.431 0,lg b=1.431 0,则 等于 a ( B ) 1 A. 100 1 B. 10 C.10 D.100 b 解析 由于 lg =lg b-lg a=1.431 0-2.431 0=-1, a b 1 1 - ∴ =10 = ,故选 B. 10 a 2.2.1 对数的概念和运算律 16 (2)计算下列各式的值: 1 ①4lg 2+3lg 5-lg ; 5 24×53 解 原式=lg =lg(24×54)=lg(2×5)4=4. 1 5 2.2.1 对数的概念和运算律 17 2lg 2+lg 3 ② . 1 1 1+ lg 0.36+ lg 8 2 3 解 原式= 1+lg lg 4+lg 3 = 3 1+l

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