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【数学】1.1.1《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件


1.1.1分类计数原理 分类计数原理

与分步计数原理

2004年夏季在德国举行的第十 年夏季在德国举行的第十 八届世界杯足球赛共有32支队伍参 八届世界杯足球赛共有 支队伍参 加。他们先分成八个小组进行循环赛, 他们先分成八个小组进行循环赛 八个小组进行循环 决出16强,这16强按确定的程序进 决出 强 强按确定的程序进 行淘汰赛后,最后决出冠亚军, 行淘汰赛后,最后决出冠亚军,此外 还决出了三、四名。 还决出了三、四名。 问:一共安排了多少场比赛? 一共安排了多少场比赛?

思考?
用一个大写的的英文字母或 用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号, 数字给教室里的座位编号,总共能够编出多 少种不同的号码? 少种不同的号码?

26+10=36

从甲地到乙地,可以乘火车, 问题 1. 从甲地到乙地,可以乘火车,也 可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中, 可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中,火 车有4 班, 汽车有2班,轮船有3班。那么一 车有 汽车有 班 轮船有 班 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法? 多少种不同的走法 分析: 从甲地到乙地有 类方法 类方法, 分析 从甲地到乙地有3类方法 第一类方法, 乘火车, 种方法; 第一类方法 乘火车,有4种方法 种方法 第二类方法, 乘汽车, 种方法; 第二类方法 乘汽车,有2种方法 种方法 第三类方法, 乘轮船, 种方法; 第三类方法 乘轮船 有3种方法 种方法 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。 种方法。

一、分类计数原理 完成一件事, 类办法. 完成一件事,有n类办法 在第 类办法中有 类办法 在第1类办法中有 m1种不同的方法,在第 类方法中有 2种不同的 种不同的方法,在第2类方法中有 类方法中有m 方法, 类方法中有m 方法,……,在第 类方法中有 n种不同的方法, ,在第n类方法中有 种不同的方法, 则完成这件事共有

N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
说明
1)各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事,要 )各类办法之间相互独立 都能独立的完成这件事, 都能独立的完成这件事 计算方法种数,只需将各类方法数相加 只需将各类方法数相加,因此分类计数原 计算方法种数 只需将各类方法数相加 因此分类计数原 理又称加法原理 理又称加法原理 2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准,在分 )首先要根据具体的问题确定一个分类标准, 类标准下进行分类,然后对每类方法计数. 类标准下进行分类,然后对每类方法计数

在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A、 两 例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下: 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下: A大学 大学 生物学 化学 医学 物理学 B大学 大学 数学 会计学 信息技术学 法学

工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢? 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?
大学中有5种专业选择 大学中有4种专业选择 解:这名同学在A大学中有 种专业选择,在B大学中有 种专业选择。 这名同学在 大学中有 种专业选择, 大学中有 种专业选择。 根据分类计数原理:这名同学可能的专业选择共有 根据分类计数原理:这名同学可能的专业选择共有5+4=9种。 = 种

思考?
用前6个大写英文字母和1 用前6个大写英文字母和1~9九个阿 拉伯数字, 拉伯数字,以A1,A2,···,B1,B2,···的 , 的 方式给教室里的座位编号, 方式给教室里的座位编号,总共能编出 多少个不同的号码? 多少个不同的号码?
分析:由于前6 分析 由于前6个英文字母中的任意一个都能 由于前 个数字中的任何一个组成一个号码, 与9个数字中的任何一个组成一个号码,而且 它们各个不同,因此共有6 54个不同的 它们各个不同,因此共有6×9=54个不同的 号码。 号码。

字母

数字
1 2 3 4

得到的号码
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9

A

5 6 7 8 树形图 9

如图,由 村去 村的道路有3条 村去B村的道路有 问题 2. 如图 由A村去 村的道路有 条, 由B村去 村的道路有2条。从A村经 村去 村去C村的道路有 条 村经B村去 村去 村的道路有 村经 C村,共有多少种不同的走法 村 共有多少种不同的走法?
北 北 A村 村 中 B村 村 南 南 C村 村

村去C村有 从A村经 B村去 村有 步, 村经 村去 村有2步 第一步, 村去B村有 种方法, 第一步 由A村去 村有 种方法 村去 村有3种方法 第二步, 村去C村有 种方法, 第二步 由B村去 村有 种方法 村去 村有3种方法 村去C村共有 所以 从A村经 B村去 村共有 3 ×2 = 6 种 村经 村去 不同的方法。 不同的方法。

分析:

二、分步计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤。做第1步有 1 完成一件事,需要分成 个步骤。做第 步有m 个步骤 步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法, 步有m 种不同的方法,做第 步有 2种不同的方法, ……, , 做第n步有 种不同的方法, 步有m 做第 步有 n种不同的方法,则完成这件事共有

N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
说明
1)各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了 这件事 )各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 才算完成 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称 又称乘法原理 方法总数 又称乘法原理 2)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准, )首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准, 然后对每步方法计数. 然后对每步方法计数

例2、设某班有男生 名,女生 名。现要从中选出 、设某班有男生30名 女生24名 女生各一名代表班级参加比赛, 男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不 同的选法? 同的选法? ××××,后 例3、浦江县的部分电话号码是 、浦江县的部分电话号码是05798415×××× 后 ×××× 面每个数字来自0~ 这 个数 个数,问可以产生多少个不同 面每个数字来自 ~9这10个数 问可以产生多少个不同 的电话号码? 的电话号码 分析: 分析

05798415

分析: 分析

10×10× 10× 10=104 10× 9 × 8 × 7=5040

变式: 若要求最后4个数字不重复 则又有多少种不同 变式 若要求最后 个数字不重复,则又有多少种不同 个数字不重复 的电话号码? 的电话号码

层放有4本不同的计算机书 例4、 书架上第 层放有 本不同的计算机书 第 、 书架上第1层放有 本不同的计算机书,第 2层放有 本不同的文艺书 第3层放有 本不同的 层放有3本不同的文艺书 层放有2本不同的 层放有 本不同的文艺书,第 层放有 体育杂志. 体育杂志 (1)从书架上任取 本书 有多少种不同的取法 从书架上任取1本书 有多少种不同的取法? 从书架上任取 本书,有多少种不同的取法

N=4+3+2=9 = + =
(2)从书架的第 、 2、 3层各取 本书 有多少种 从书架的第1、 、 层各取 本书,有多少种 层各取1本书 从书架的第 不同取法? 不同取法

N=4 ×3×2=24 = × =

幅不同的画中选出2幅 例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出 幅, 、要从甲、 幅不同的画中选出 分别挂在左右两边墙上的指定位置, 分别挂在左右两边墙上的指定位置,问共有多 少种不同的挂法? 少种不同的挂法?

课堂练习
1、在所有的两位数中,个位数字比十位数 、在所有的两位数中, 字大的两位数有多少个? 字大的两位数有多少个? 2、8本不同的书,任选 本分给 个同学,每 、 本不同的书 任选3本分给 个同学, 本不同的书, 本分给3个同学 人1本,有多少种不同的分法? 本 有多少种不同的分法? 3、将4封信投入 个不同的邮筒,有多少种不 、 封信投入3个不同的邮筒 封信投入 个不同的邮筒, 同的投法? 同的投法? 4、已知 a ∈{3,4,6}, b ∈{1,2,7,8}, r ∈{8,9} 、 则方程 (x ? a)2 + ( y ? b)2 = r2可表示不同的圆的 个数有多少? 个数有多少?

课堂练习
5、已知二次函数 y = ax 、
2

+ bx + c. 若

a, b, c∈{?3, ?2,0,1,2,3}. 则可以得到多少个
不同的二次函数? 不同的二次函数?其中图象过原点的二次函 数有多少个? 数有多少个?图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个? 的二次函数又有多少个?

分类计数与分步计数原理的区别和联系: 分类计数与分步计数原理的区别和联系: 加法原理 乘法原理

分类计数原理和分步计数原理, 分类计数原理和分步计数原理,回答的都是关于

联系
区别一
完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情共有 类 完成一件事情,共分 共分n个 完成一件事情 共分 个 办法,关键词是“分类” 步骤,关键词是“分步” 办法,关键词是“分类” 步骤,关键词是“分步” 每一步得到的只是中间结果, 每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能能独立完成 每类办法都能独立完成 这件事情,缺少任何一步也 这件事情。 这件事情。 不能完成这件事情, 不能完成这件事情,只有每 个步骤完成了, 个步骤完成了,才能完成这 件事情。 件事情。 各类办法是互斥的、 各类办法是互斥的、 并列的、 并列的、独立的 各步之间是相关联的

区别二

区别三

课堂练习
如图,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丁地 如图,从甲地到乙地有2条路, 条路;从甲地到丙地有4条路可以走, 有3条路;从甲地到丙地有4条路可以走,从丙 地到丁地有2条路。 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法? 不同地走法? 甲地 乙地 N1=2×3=6 ×

N2=4×2=8 × N= N1+N2 =14
丙地 丁地

2.如图 该电 如图,该电
路,从A到B共 从 到 共 有多少条不 同的线路可 通电? 通电?

A

B

从总体上看由A到 的通电线路可分三类 的通电线路可分三类, 解: 从总体上看由 到B的通电线路可分三类 第一类, 第一类 m1 = 3 条 第二类, 第二类 m2 = 1 条 第三类, 第三类 m3 = 2×2 = 4, 条 × 所以, 根据分类原理, 所以 根据分类原理 从A到B共有 到 共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。 条不同的线路可通电。

在解题有时既要分类又要分步。 在解题有时既要分类又要分步。


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