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2.1.2空间直线与直线之间的位置关系教案


第二课时

空间中直线与直线之间的位置关系

(一)教学目标 1.知识与技能 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角公理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。 2.过程与方法 让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识. 3.情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣. (二)教学重点、难点 重点:1、异面直线的概念; 2、公理 4 及等角定理. 难点:异面直线所成角的计算. (三)教学方法 师生的共同讨论与讲授法相结合; 教学过程 教学内容 问题:在同一平面内, 两条 直线有几种位置关系?空间的 两条直线还有没有其他位置关 系? 师生互动 师投影问题,学生讨论回答 生 1:在同一平面内,两条 直线的位置关系有:平行与相 交. 生 2: 空间的两条直线除平 行与相交外还有其他位置关 系,如教室里的电灯线与墙角 线…… 师(肯定):这种位置关 系我们把它称为异面直线,这 节课我们要讨论的是空间中直 线与直线的位置关系. 设计意图

新课导入

以旧导新 培养学生 知识的系 统性和学 生学习的 积极性.

探索新知

1.空间的两条直线位置关 师:根据刚才的分析,空 系: 相交直线:同一平面内, 间的两条直线的位置关系有以 共面直线 有且只有一个公共点; 下三种:①相交直线—有且仅 平行直线:同一平面内, 有一个公共点 没有公共点 异面直线: 不同在任何一个平面 ②平行直线—在同一平面 内,没有公共点. 内,没有公共点. ③异面直线—不同在任何 一个平面内,没有公共点. 随堂练习: 现在大家思考一下这三种位置 关系可不可以进行分类 生:按两条直线是否共面 可以将三种位置关系分成两 类:一类是平行直线和相交直
1

培养学生 分类的能 力, 加深学 生对空间 的一条直

线,它们是共面直线.一类是异 面直线,它们不同在任何一个 平面内. 师(肯定)所以异面直线 的特征可说成“既不平行,也 如图所示 P50-16 是一个正 不相交”那么“不同在任何一 方体的展开图, 如果将它还原为 个平面内”是否可改为“不在 正方体,那么 AB,CD,EF, 一个平面内呢” GH 这四条线段所在直线是异面 学生讨论发现不能去掉 直线的有 对. “任何” 答案:4 对,分别是 HG 与 师:“不同在任何一个平 EF,AB 与 CD,AB 与 EF,AB 面内”可以理解为“不存在一 与 HG. 个平面,使两异面直线在该平 面内” (1)公理 4,平行于同一 条直线的两条直线互相平行 (2)定理:空间中如果两 个角的两边分别对应平行, 那么 这两个角相等或互补 例 2 如图所示,空间四边 形 ABCD 中, E、F、G、H 分别是 AB、 BC、 CD、 DA 的中点.求 证:四边形 EFGH 是平行四边 形. 证明:连接 BD, 因为 EH 是△ABD 的中位 线, 1 所以 EH∥BD,且 EH ? BD . 2 同理 FG∥BD,且 FG ?
1 BD . 2

线位置关 系的理解

因为 EH∥FG,且 EH = FG, 所以 四边形 EFGH 为平行四 边形.

师:现在请大家看一看我 们的教室,找一下有无不在同 一平面内的三条直线两两平行 的. 师:我们把上述规律作为 本章的第 4 个公理. 公理 4:平行于同一条直 线的两条直线互相平行. 师:现在请大家思考公理 4 是否可以推广, 它有什么作用. 生:推广空间平行于一条 直线的所有直线都互相平行.它 可以用来 证明两条 直 线 平 行. 师 (肯定)下面我们来看一个例 子 观察图, 在长方体 ABCD – A′B′C′D′中, ∠ADC 与∠ A′D′C′,∠ADC 与∠A ′ B′C′的两边分别对应平行, 这两组角的大小关系如何? 生:从图中可以看出, ∠ADC = ∠A′D′C′, ∠ ADC + ∠ A ′ B ′ C ′ =180° 师: 一般地, 有以下定理: …… 这个定理可以用公理 4 证明,

培 养 学生观察 能力语言 表达能力 和探索创 新的意识. 通过分析 和引导, 培 养学生解 题能力.

2

是公理 4 的一个推广,我们把 它称为等角定理. 师打出投影片让学生尝试 作图,在作图的基础上猜想平 行的直线并试图证明. 师:在图中 EH、FG 有怎样的 特点?它们有直接的联系吗? 引导学生找出证明思路. 3.异面直线所成的角 (1)异面直线所成角的概 念. 师讲述异面直线所成的角 的定义,然后学生共同对定义 进行分析,得出如下结论. ①两条异面直线所成角的 大小,是由这两条异面直线的 相互位置决定的,与点 O 的位 置选取无关; ②两条异面直线所成的角 ? ? ? (0, ] ; 2

已知两条异面直线 a、b, 经过空间任一点 O 作直线 a′∥ a,b′∥b,我们把 a′与 b′所 成的锐角 ( 或直角 ) 叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角). (2)异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的 角是直角, 那么我们就说这两条 ③因为点 O 可以任意选 直线互相垂直.两条互相垂直的 取,这就给我们找出两条异面 异面直线 a、 b, 直线所成的角带来了方便,具 记作 a⊥b. 体运用时,为了简便,我们可 例 3 如 以把点 O 选在两条异面直线的 图,已知正方 某一条上; 体 ABCD – ④找出两条异面直线所成 探索新知 A′B′C′D′. 的角,要作平行移动(作平行 (1)哪些棱所在直线与直 线),把两条异面直线所成的 线 BA′是异面直线? 角转化为两条相交直线所成的 (2)直线 BA′和 CC′的 角; 夹角是多少? ⑤当两条异面直线所成的 (3)哪此棱所在的直线与 角是直线时,我们就说这两条 直线 AA′垂直? 异面直线互相垂直, 异面直线 a 解:(1)由异面直线的定义 和 b 互相垂直,也记作 a⊥b; 可知,棱 AD、DC、CC′、DD′、 ⑥以后我们说两条直线互 D′C′、B′C′所在直线分别与 相垂直,这两条直线可能是相 直线 BA′是异面直线. 交的,也可能是不相交的,即 ( 2 ) 由 BB′∥CC′ 可 知 , 有共面垂直,也有异面垂直这 ∠B′BA′为异面直线 B′A 与 CC′的 样两种情形. 夹角,∠B′BA′= 45°. 然后师生共同分析例题 (3)直线 AB、BC、CD、 DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别 与直线 AA′垂直. 随堂练习 1.填空题: 学生独立完成 答案:.

加 深 对平面直 线所成角 的理解, 培 养空间想 象能图力 和转化化 归以能力.

3

2.(1)因为 BC∥B′C′, 所以∠B′C′A′是异面直线 A′C′与 BC 所成的角. 在 Rt△ A′B′C′中, A′B′= 2 3 , B′C′= 2 3 , 所 以 (1)如图,AA′是长方体的 ∠B′C′A′ = 45°. 一条棱,长方体中与 AA′平行的 (2)因为 AA′∥BB′,所以 棱共有 条. ∠B′BC′是异面直线 AA′ 和 BB′ (2)如果 OA∥O′A′,OB 所成的角. ∥ O′B′ , 那 么 ∠ AOB 和 在 Rt△ BB′C′中,B′C′ = AD = 2 3 ,BB′= AA′=2, ∠A′O′B′ . 答案:( 1) 3 条 . 分别是 所以 BC′= 4, ∠B′BC′= 60° . BB′ , CC′, DD′ ;( 2 )相等或 因此,异面直线 AA′与 BC′ 互补. 所成的角为 60°.

2. 如图, 已知长方体 ABCD – A′B′C′D′ 中, AB = 2 3 , AD = 2 3 ,AA′ =2. (1) BC 和 A′C′所成的角是 多少度? (2)AA′ 和 BC′ 所成的角 是多少度? 培 养 学生归纳 总结能力, 加深学生 对知识的 掌握, 完善 学生知识 结构. 固化知识 提升能力

归纳总结

1.空间中两条直线的位置 关系. 2.平行公理及等角定理. 3.异面直线所成的角.

学生归纳,教师点评并完善

作业

2.1 第二课时 习案

学生独立完成

附加例题
例 1 “a、b 为异面直线”是指: ①a∩b = ? ,且 a∥b; ②a ? 面 ? ,b ? 面 ? ,且 a∩b = ? ; ③a ? 面 ? ,b ? 面 ? ,且 ? ∩ ? = ? ; ④a ? 面 ? ,b ? 面 ? ; ⑤不存在面 ? ,使 a ? 面 ? ,b ? 面 ? 成立. 上述结论中,正确的是( )

4

A.①④⑤正确 C.仅②④正确

B.①③④正确 D.仅①⑤正确

【解析】 ①等价于 a 和 b 既不相交,又不平行,故 a、b 是异面直线;②等价于 a、b 不同在同一平面内,故 a、b 是异面直线.故选 D 例 2 如果异面直线 a 与 b 所成角为 50° ,P 为空间一定点,则过点 P 与 a、b 所成的 角都是 30° 的直线有且仅有 条. b a P

【解析】如图所示,过定点 P 作 a、b 的平行线 a′ 、b′ ,因 a、b 成 50° 角,∴a′ 与 b′ 也成 50° 角.过 P 作∠A′ PB′ 的平分线,取较小的角有 ∠A′ PO =∠B′ PO = 25° . ∵∠APA′ >A′ PO, ∴过 P 作直线 l 与 a′ 、b′ 成 30° 角的直线有 2 条.

A a′ A′ b′ O B′

例 3 空间四边形 ABCD,已知 AD =1,BD = 3 ,且 AD⊥BC,对角 线 BD =
13 3 ,AC = ,求 AC 和 BD 所成的角。 2 2

【解析】取 AB、AD、DC、BD 中点为 E、F、G、M,连 EF、FG、 GM、ME、EG. 则
1 MG ∥ BC = 2 1 EM ∥ AD = 2

∵AD⊥BC ∴EM⊥MG 在 R t△EMG 中,有 EG ? ( ) 2 ? (
1 13 在 RFG 中,∵EF = BD ? 2 4 FG ? 1 13 AC ? 2 4
1 2 3 2 ) ?1 2

∴EF 2 +FG 2 = EG 2 ∴EF⊥FG,即 AC⊥BD ∴AC 和 BD 所成角为 90°. 【点评】根据异面直线成角的定义,异面直线所成角的求法通常采用平移直线,转化为

5

? 相交直线所成角,注意角的范围是 (0, ] . 2

6


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