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2.1.2空间直线与直线之间的位置关系教案

第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系

(一)教学目标

1.知识与技能

(1)了解空间中两条直线的位置关系;

(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;

(3)理解并掌握公理 4;

(4)理解并掌握等角公理;

(5)异面直线所成角的定义、范围及应用。

2.过程与方法

让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.

3.情感、态度与价值

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣.

(二)教学重点、难点

重点:1、异面直线的概念;

2、公理 4 及等角定理.

难点:异面直线所成角的计算.

(三)教学方法

师生的共同讨论与讲授法相结合;

教学过程

教学内容

师生互动

设计意图

新课导入 探索新知

问题:在同一平面内,两条 师投影问题,学生讨论回答

直线有几种位置关系?空间的

生 1:在同一平面内,两条

两条直线还有没有其他位置关 直线的位置关系有:平行与相

系?

交.

生 2:空间的两条直线除平 行与相交外还有其他位置关

系,如教室里的电灯线与墙角

线……

师(肯定):这种位置关

系我们把它称为异面直线,这

节课我们要讨论的是空间中直

线与直线的位置关系.

1.空间的两条直线位置关

师:根据刚才的分析,空

系:

相交直线:同一平面内, 间的两条直线的位置关系有以

共面直线 有且只有一个公共点; 下三种:①相交直线—有且仅

平行直线:同一平面内, 有一个公共点

异面直线:不没有同公在共任点何一个平面

②平行直线—在同一平面

内,没有公共点.

内,没有公共点.

③异面直线—不同在任何

一个平面内,没有公共点.

随堂练习:

现在大家思考一下这三种位置

关系可不可以进行分类

生:按两条直线是否共面

可以将三种位置关系分成两

类:一类是平行直线和相交直

以旧导新 培养学生 知识的系 统性和学 生学习的 积极性.
培养学生 分类的能 力,加深学 生对空间 的一条直

1

如图所示 P50-16 是一个正

方体的展开图,如果将它还原为

正方体,那么 AB,CD,EF,

GH 这四条线段所在直线是异面

直线的有

对.

答案:4 对,分别是 HG 与

EF,AB 与 CD,AB 与 EF,AB

与 HG.

(1)公理 4,平行于同一 条直线的两条直线互相平行
(2)定理:空间中如果两 个角的两边分别对应平行,那么 这两个角相等或互补
例 2 如图所示,空间四边 形 ABCD 中, E、F、G、H 分别是 AB、 BC、CD、DA 的中点.求 证:四边形 EFGH 是平行四边 形.
证明:连接 BD, 因为 EH 是△ABD 的中位 线,
所以 EH∥BD,且 EH ? 1 BD . 2
同理 FG∥BD,且 FG ? 1 BD . 2
因为 EH∥FG,且 EH = FG, 所以 四边形 EFGH 为平行四 边形.

线,它们是共面直线.一类是异 面直线,它们不同在任何一个 平面内.
师(肯定)所以异面直线 的特征可说成“既不平行,也 不相交”那么“不同在任何一 个平面内”是否可改为“不在 一个平面内呢”
学生讨论发现不能去掉 “任何”
师:“不同在任何一个平 面内”可以理解为“不存在一 个平面,使两异面直线在该平 面内”
师:现在请大家看一看我 们的教室,找一下有无不在同 一平面内的三条直线两两平行 的.
师:我们把上述规律作为 本章的第 4 个公理.
公理 4:平行于同一条直 线的两条直线互相平行.
师:现在请大家思考公理 4 是否可以推广,它有什么作用.
生:推广空间平行于一条 直线的所有直线都互相平行.它 可以用来 证明两条 直线平 行.
师 (肯定)下面我们来看一个例 子
观察图,在长方体 ABCD – A′B′C′D′中,∠ADC 与∠ A′D′C′,∠ADC 与∠A′ B′C′的两边分别对应平行, 这两组角的大小关系如何? 生:从图中可以看出, ∠ADC = ∠A′D′C′, ∠ ADC + ∠ A ′ B ′ C ′ =180° 师:一般地,有以下定理:…… 这个定理可以用公理 4 证明,

线位置关 系的理解
培养 学生观察 能力语言 表达能力 和探索创 新的意识. 通过分析 和引导,培 养学生解 题能力.

2

探索新知 随堂练习

是公理 4 的一个推广,我们把

它称为等角定理.

师打出投影片让学生尝试

作图,在作图的基础上猜想平

行的直线并试图证明.

师:在图中 EH、FG 有怎样的

特点?它们有直接的联系吗?

引导学生找出证明思路.

3.异面直线所成的角

师讲述异面直线所成的角

(1)异面直线所成角的概 的定义,然后学生共同对定义

念.

进行分析,得出如下结论.

已知两条异面直线 a、b,

①两条异面直线所成角的

经过空间任一点 O 作直线 a′∥ 大小,是由这两条异面直线的

a,b′∥b,我们把 a′与 b′所 相互位置决定的,与点 O 的位

成的锐角(或直角)叫做异面直 置选取无关;

线 a 与 b 所成的角(或夹角).

②两条异面直线所成的角

(2)异面直线互相垂直 ? ? (0, ? ] ;

如果两条异面直线所成的

2

角是直角,那么我们就说这两条

③因为点 O 可以任意选

直线互相垂直.两条互相垂直的 取,这就给我们找出两条异面

异面直线 a、b,

直线所成的角带来了方便,具

记作 a⊥b.

体运用时,为了简便,我们可

例3 如

以把点 O 选在两条异面直线的

图,已知正方

某一条上;

体 ABCD –

④找出两条异面直线所成

A′B′C′D′.

的角,要作平行移动(作平行

(1)哪些棱所在直线与直 线),把两条异面直线所成的

线 BA′是异面直线?

角转化为两条相交直线所成的

(2)直线 BA′和 CC′的 角;

夹角是多少?

⑤当两条异面直线所成的

(3)哪此棱所在的直线与 角是直线时,我们就说这两条

直线 AA′垂直?

异面直线互相垂直,异面直线 a

解:(1)由异面直线的定义 和 b 互相垂直,也记作 a⊥b;

可知,棱 AD、DC、CC′、DD′、 ⑥以后我们说两条直线互

D′C′、B′C′所在直线分别与 相垂直,这两条直线可能是相

直线 BA′是异面直线.

交的,也可能是不相交的,即

( 2 ) 由 BB′∥CC′ 可 知 , 有共面垂直,也有异面垂直这

∠B′BA′为异面直线 B′A 与 CC′的 样两种情形.

夹角,∠B′BA′= 45°.

然后师生共同分析例题

(3)直线 AB、BC、CD、

DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别

与直线 AA′垂直.

1.填空题:

学生独立完成

答案:.

加深 对平面直 线所成角 的理解,培 养空间想 象能图力 和转化化 归以能力.

3

(1)如图,AA′是长方体的

一条棱,长方体中与 AA′平行的

棱共有

条.

(2)如果 OA∥O′A′,OB

∥ O′B′ , 那 么 ∠ AOB 和

∠A′O′B′

.

答案:(1)3 条. 分别是

BB′,CC′,DD′;(2)相等或

互补.

2.(1)因为 BC∥B′C′, 所以∠B′C′A′是异面直线 A′C′与 BC 所成的角. 在 Rt△ A′B′C′中, A′B′= 2 3 , B′C′= 2 3 , 所 以 ∠B′C′A′ = 45°.
(2)因为 AA′∥BB′,所以 ∠B′BC′是异面直线 AA′ 和 BB′ 所成的角.
在 Rt△ BB′C′中,B′C′ = AD = 2 3 ,BB′= AA′=2,
所以 BC′= 4,∠B′BC′= 60°. 因此,异面直线 AA′与 BC′ 所成的角为 60°.

2.如图,已知长方体 ABCD – A′B′C′D′中,AB = 2 3 ,AD = 2 3 ,AA′ =2.
(1)BC 和 A′C′所成的角是 多少度?
(2)AA′ 和 BC′ 所成的角 是多少度?

归纳总结

1.空间中两条直线的位置 关系.
2.平行公理及等角定理. 3.异面直线所成的角.

学生归纳,教师点评并完善

作业

2.1 第二课时 习案

附加例题
例 1 “a、b 为异面直线”是指:

①a∩b = ? ,且 a∥b;

②a ? 面? ,b ? 面 ? ,且 a∩b = ? ;

③a ? 面? ,b ? 面 ? ,且? ∩ ? = ? ;

④a ? 面? ,b ? 面? ;

⑤不存在面? ,使 a ? 面? ,b ? 面? 成立.

上述结论中,正确的是( )

学生独立完成

培养 学生归纳 总结能力, 加深学生 对知识的 掌握,完善 学生知识 结构. 固化知识 提升能力

4

A.①④⑤正确

B.①③④正确

C.仅②④正确

D.仅①⑤正确

【解析】 ①等价于 a 和 b 既不相交,又不平行,故 a、b 是异面直线;②等价于 a、b

不同在同一平面内,故 a、b 是异面直线.故选 D

例 2 如果异面直线 a 与 b 所成角为 50°,P 为空间一定点,则过点 P 与 a、b 所成的

角都是 30°的直线有且仅有

条.

【解析】如图所示,过定点 P 作 a、b 的平行线 a′、b′,因 a、b 成 50°角,∴a′与 b′也成 50°角.过 P 作∠A′PB′ 的平分线,取较小的角有

b a
P B′bA′A′aO′

∠A′PO =∠B′PO = 25°.

∵∠APA′>A′PO,

∴过 P 作直线 l 与 a′、b′成 30°角的直线有 2 条.

例 3 空间四边形 ABCD,已知 AD =1,BD = 3 ,且 AD⊥BC,对角

线 BD = 13 ,AC = 3 ,求 AC 和 BD 所成的角。

2

2

【解析】取 AB、AD、DC、BD 中点为 E、F、G、M,连 EF、FG、

GM、ME、EG.



MG

=∥

1 2

BC

EM

=∥

1 2

AD

∵AD⊥BC ∴EM⊥MG

在 R t△EMG 中,有 EG ? (1)2 ? ( 3 )2 ? 1
22

在 RFG 中,∵EF = 1 BD ? 13

2

4

FG ? 1 AC ? 13

2

4

∴EF 2 +FG 2 = EG 2

∴EF⊥FG,即 AC⊥BD

∴AC 和 BD 所成角为 90°.

【点评】根据异面直线成角的定义,异面直线所成角的求法通常采用平移直线,转化为

5

相交直线所成角,注意角的范围是 (0, ? ] . 2
6


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