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高中数学湘教版必修1:第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.1.2 第1课时

2.1.2 第 1 课时 [学习目标] 指数函数的图象和性质 指数函数的图象和性质 1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象 .3. 初步掌握指数函数的有关性质. [知识链接] 1.ar· as=ar s;(ar)s=ars;(ab)r=ar· br. + 其中 a>0,b>0,r,s∈R. 2.在初中,我们知道有些细胞是这样分裂的:由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,….1 个 这样的细胞分裂 x 次后,第 x 次得到的细胞个数 y 与 x 之间构成的函数关系为 y=2x, x∈{0,1,2,…}. [预习导引] 1.函数 y=ax 叫作指数函数,其中 a 是不等于 1 的正实数,函数的定义域是 R. 2.从图象可以“读”出的指数函数 y=ax(a>1)的性质有: (1)图象总在 x 轴上方,且图象在 y 轴上的射影是 y 轴正半轴(不包括原点).由此,函数的值 域是 R+; (2)图象恒过点(0,1),用式子表示就是 a0=1; (3)函数是区间(-∞,+∞)上的递增函数,由此有:当 x>0 时,有 ax>a0=1;当 x<0 时, 有 0<ax<a0=1. 1?-x 1 ?1?x 3.如果底数 a∈(0,1),那么,它的倒数 >1,y=ax=? ?a? ,它的图象和 y=?a? 的图象关于 a y 轴对称,可以类似地得到函数 y=ax(0<a<1)的性质: (1)图象总在 x 轴上方,且图象在 y 轴上的射影是 y 轴正半轴(不包括原点).由此,函数的值 域是 R+; (2)图象恒过点(0,1),用式子表示就是 a0=1; (3)函数是区间(-∞,+∞)上的递减函数,由此有:当 x>0 时,有 0<ax<a0=1;当 x<0 时,有 ax>a0=1. 要点一 指数函数的概念 例 1 给出下列函数: ①y=2· 3x;②y=3x 1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中,指数函数的个数是( + ) A.0 答案 B B.1 C.2 D.4 解析 ①中,3x 的系数是 2,故①不是指数函数;②中,y=3x+1 的指数是 x+1,不是自变量 x,故②不是指数函数;③中,3x 的系数是 1,幂的指数是自变量 x,且只有 3x 一项,故③是 指数函数; ④中, y=x3 的底为自变量, 指数为常数, 故④不是指数函数. ⑤中, 底数-2<0, 不是指数函数. 规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征:(1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数; (2)指数位置是自变量 x;(3)ax 的系数是 1. 2.求指数函数的关键是求底数 a,并注意 a 的限制条件. 跟踪演练 1 若函数 y=(4-3a)x 是指数函数,则实数 a 的取值范围为________________. 4 答案 {a|a< ,且 a≠1} 3 解析 y=(4-3a)x 是指数函数,需满足: ?4-3a>0, ? 4 ? 解得 a< 且 a≠1. 3 ?4-3a≠1, ? 4 故 a 的取值范围为{a|a< ,且 a≠1}. 3 要点二 指数函数的图象 例 2 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大 小关系是( ) A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d 答案 B B.b<a<1<d<c D.a<b<1<d<c 解析 方法一 在 y 轴的右侧,指数函数的图象由下到上,底数依次增大. 由指数函数图象的升降,知 c>d>1,b<a<1. ∴b<a<1<d<c. 方法二 作直线 x=1,与四个图象分别交于 A、B、C、D 四点,由于 x=1 代入各个函数可 得函数值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知 b<a<1<d <c.故选 B. 规律方法 1.无论指数函数的底数 a 如何变化,指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象与直线 x =1 相交于点(1,a),由图象可知:在 y 轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大. 2.处理指数函数的图象:①抓住特殊点,指数函数图象过点(0,1);②巧用图象平移变换;③ 注意函数单调性的影响. 跟踪演练 2 (1)函数 y=|2x-2|的图象是( ) (2)直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 1 答案 (1)B (2)(0, ) 2 解析 (1)y=2x-2 的图象是由 y=2x 的图象向下平移 2 个单位长度得到的, 故 y=|2x-2|的图 象是由 y=2x-2 的图象在 x 轴上方的部分不变,下方部分对折到 x 轴的上方得到的. (2)当 a>1 时,在同一坐标系中作出函数 y=2a 和 y=|ax-1|的图象(如图(1)).由图象可知两 函数图象只能有一个公共点,此时无解.当 0<a<1 时,作出函数 y=2a 和 y=|ax-1|的图象 (如图(2)).若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,由图象可知 0 1 <2a<1,所以 0<a< . 2 要点三 指数型函数的定义域、值域 例 3 求下列函数的定义域和值域: 1? x2- 2 x- 3. (1)y=2 x ? 4 ;(2)y= 1-2x;(3)y=? ?2? 解 (1)由 x-4≠0,得 x≠4, 1 1 故 y=2 x ? 4 的定义域为{x|x∈R,且 x≠4}. 又 ≠0,即 2 x ? 4 ≠1, x-4 1 x?4 1 1 故 y=2 的值域为{y|y>0,且 y≠1}. (2)由 1-2x≥0,得 2x≤1,∴x≤0, ∴y= 1-2x的定义域为(-∞,0]. 由 0<2x≤1,得-1≤-2x<0,∴0≤1-2x<1, ∴y= 1-2x的值域为[0,1). 1? x2- 2 x-

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