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2013届新高考全案 人教版数学(课外学生练与悟):8-4


第8章

第4讲

一、选择题 1 1.函数 y= 的最大值是( 2+sinx+cosx A. 2 -1 2 2 2 ) B. 2 +1 2 2 2

C.1-

D.-1-

1 [解析] y= π 2+ 2sin?x+ ? 4 [答案] B

2+ 2 π 1 当 sin(x+ )=-1 时,ymax= = .故选 B. 4 2 2- 2

2 2.若△ABC 的内角 A 满足 sin2A= ,则 sinA+cosA 等于( 3 A. 5 C. 3 15 3 B.- 5 D.- 3 15 3

)

2 [解析] ∵0<A<π,0<2A<2π,又 sin2A= , 3 2 即 2sinAcosA= , 3 π 5 ∴0<A< ,(sinA+cosA)2= , 2 3 sinA+cosA= [答案] A 1 3.若 sinα+cosα= ,则 cos4α 的值等于( 3 47 A. 81 47 C.- 81 17 B. 81 1 D. 9 ) 15 . 3

1 1 [解析] ∵sinα+cosα= ∴1+sin2α= , 3 9 8 8 47 ∴sin2α=- ,cos4α=1-2sin22α=1-2×(- )2=- ,故选 C. 9 9 81 [答案] C π 1 2π 4.若 sin( -α)= ,则 cos( +2α)=( 6 3 3 7 A.- 9 1 C. 3 ) 1 B.- 3 7 D. 9

2π π π [解析] cos( +2α)=cos[π-2( -α)]=-cos2( -α) 3 6 6 π 7 =2sin2( -α)-1=- ,故选 A. 6 9 [答案] A 5.函数 f(x)=sinx- 3cosx(x∈[-π,0])的单调递增区间是( 5π A.[-π,- ] 6 π C.[- ,0] 3 π [解析] f(x)=sinx- 3cosx=2sin(x- ) 3 4π π π ∵-π≤x≤0,∴- ≤x- ≤- , 3 3 3 π π π π 当- ≤x- ≤- 时,即- ≤x≤0 时,f(x)递增. 2 3 3 6 [答案] D π 6.(2009· 江西卷)若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x≤ ,则 f(x)的最大值为( 2 A.1 C. 3+1 B .2 D. 3+2 ) 5π π B.[- ,- ] 6 6 π D.[- ,0] 6 )

π π [解析] 因为 f(x)=(1+ 3tanx)cosx=cosx+ 3sinx=2cos(x- ),当 x= 时,函数取得最大值为 2,故 3 3 选 B. [答案] B 二、填空题

π ? π +α +sin? +α?=________. 7.(2008· 上海春季高考)化简:cos? ?3 ? ?6 ? [答案] cosα π 3 8.(2008· 浙江)若 sin( +θ)= ,则 cos2θ=________. 2 5 π 3 [解析] ∵sin( +θ)=cosθ= , 2 5 3 7 ∴cos2θ=2cos2θ-1=2×( )2-1=- . 5 25 7 [答案] - 25 9.若锐角 α、β 满足(1+ 3tanα)(1+ 3tanβ)=4,则 α+β=________. [解析] 由(1+ 3tanα)(1+ 3tanβ)=4, tanα+tanβ 可得 = 3,即 tan(α+β)= 3. 1-tanαtanβ π 又 α+β∈(0,π),∴α+β= . 3 [答案] π 3

10.(2009· 上海)函数 f(x)=2cos2x+sin2x 的最小值是________. [解析] ∵f(x)=2cos2x-1+sin2x+1 π =sin2x+cos2x+1= 2sin(2x+ )+1 4 ∴f(x)最小值为 1- 2. [答案] 1- 2 三、解答题 π 2 π 3π 11.(2008· 天津)已知 cos(x- )= ,x∈( , ). 4 10 2 4 (1)求 sinx 的值; π (2)求 sin(2x+ )的值. 3 π 3π [解] (1)解法一:因为 x∈( , ), 2 4 π π π 所以 x- ∈( , ), 4 4 2 π 于是 sin(x- )= 4 π 7 2 1-cos2?x- ?= . 4 10

π π sinx=sin[(x- )+ ] 4 4 π π π π =sin(x- )cos +cos(x- )sin 4 4 4 4 = 7 2 2 2 2 × + × 10 2 10 2

4 = . 5 解法二:由题设得 2 2 2 cos x+ sin x= , 2 2 10 1 即 cosx+sinx= . 5 又 sin2x+cos2x=1, 从而 25sin2x-5sinx-12=0, 4 3 解得 sinx= 或 sinx=- . 5 5 π 3π 4 因为 x∈( , ),所以 sinx= . 2 4 5 π 3π (2)因为 x∈( , ),故 cosx=- 1-sin2x 2 4 =- 4 3 1-? ?2=- . 5 5

24 sin2x=2sinxcosx=- , 25 7 cos2x=2cos2x-1=- 25 π π π 所以 sin(2x+ )=sin2xcos +cos2xsin 3 3 3 24+7 3 =- . 50 π 12.(2009· 深圳一模)已知函数 f(x)=2cosxcos( -x)- 3sin2x+sinxcosx. 6 (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)设 x∈[- , ],求 f(x)的值域. 3 2 [解] (1)∵f(x)=cosx( 3cosx+sinx)- 3sin2x+sinxcosx = 3(cos2x-sin2x)+2sinxcosx

= 3cos2x+sin2x π =2sin(2x+ ) 3 ∴f(x)的最小正周期为 π. π π π π 4 (2)∵x∈[- , ] ∴- ≤2x+ ≤ π 3 2 3 3 3 π 又 f(x)=2sin(2x+ ) 3 ∴f(x)∈[- 3,2] ∴f(x)的值域为[- 3,2].


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