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高中数学湘教版必修1:第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.4.2

2.4.2 计算函数零点的二分法 [学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法, 体会“逐步逼近”的思想. [知识链接] 现有一款三星手机,目前知道它的价格在 500~1 000 元之间,你能在最短的时间内猜出与它 最近的价格吗?(误差不超过 20 元),猜价格方案:(1)随机;(2)每次增加 20 元;(3)每次取价 格范围内的中间价,采取哪一种方案好呢? [预习导引] 用二分法求函数零点的一般步骤 已知函数 y=f(x)定义在区间 D 上, 求它在 D 上的一个零点 x0 的近似值 x, 使它与零点的误差 不超过正数 ε,即使得|x-x0|≤ε.用二分法求函数零点的一般步骤如下: (1)在 D 内取一个闭区间[a0, b0]?D, 使 f(a0)与 f(b0)异号, 即 f(a0)· f(b0)<0, 零点位于区间[a0, b0]中. (2)取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的横坐标为 x0= 计算 f(x0)和 f(a0).并判断: ①如果 f(x0)=0,则 x0 就是 f(x)的零点,计算终止; ②如果 f(a0)· f(x0)<0,则零点位于区间[a0,x0]中,令 a1=a0,b1=x0; ③如果 f(a0)· f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]中,令 a1=x0,b1=b0. (3)对区间[a1,b1],按(2)中的方法,可以得到区间[a2,b2],且它的长度是区间[a1,b1]长度的 一半. 如此反复地二分下去,可以得到一系列有限区间[a0,b0],[a1,b1],[a2,b2],[a3,b3],…, 其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半. 继续实施上述步骤,函数的零点总位于区间[an,bn]上,当|an-bn|<2ε 时,区间[an,bn]的中 1 点 xn= (an+bn)就是函数 y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数 y=f(x)的近似零点与真正 2 零点的误差不超过 ε. a0+b0 . 2 要点一 二分法概念的理解 例 1 下列图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( ) 答案 A 解析 按定义,f(x)在[a,b]上是连续的,且 f(a)· f(b)<0,才能不断地把函数零点所在的区间 一分为二,进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项 B、C、D 满足条件, 而选项 A 不满足,在 A 中,图象经过零点 x0 时,函数值不变号,因此不能用二分法求解.故 选 A. 规律方法 1.准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断 地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的 精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2. “二分法”与判定函数零点的定义密切相关, 只有满足函数图象在零点附近连续且在该零 点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点. 跟踪演练 1 (1)下列函数中,能用二分法求零点的为( ) (2)用二分法求函数 f(x)在区间[a,b]内的零点时,需要的条件是( ①f(x)在区间[a,b]内连续不断;②f(a)· f(b)<0; ③f(a)· f(b)>0;④f(a)· f(b)≥0. A.①② C.①④ B.①③ D.①②③ ) 答案 (1)B (2)A 解析 (1)函数图象连续不断,函数零点附近的函数值异号,这样的函数零点才能使用二分法 求解,观察四个函数图象,只有 B 选项符合. (2)由二分法的意义,知选 A. 要点二 用二分法求方程的近似解 例 2 用二分法求方程 x2-10=0 在区间[3.1,3.2]上的近似解(误差不超过 0.001, 即 ε=0.001). 解 设 f(x)=x2-10,则 f(3.1)=-0.39, f(3.2)=0.24. 取 a0=3.1,b0=3.2,有 f(a0)· f(b0)<0.列表计算: n 0 1 2 3 4 5 6 an 3.100 0 3.150 0 3.150 0 3.150 0 3.156 3 3.159 4 3.161 0 bn 3.200 0 3.200 0 3.175 0 3.162 5 3.162 5 3.162 5 3.162 5 bn-an 0.100 0 0.050 0 0.025 0 0.012 5 0.006 2 0.003 1 0.001 5 f(an) -0.390 0 -0.077 5 -0.077 5 -0.077 5 -0.037 8 -0.018 2 -0.008 1 f(bn) 0.240 0 0.240 0 0.080 6 0.001 4 0.001 4 0.001 4 0.001 4 xn= an+bn 2 3.150 0 3.175 0 3.162 5 3.156 3 3.159 4 3.161 0 3.161 8 由于 b6-a6=0.001 5<0.002=2ε,计算停止,取 x =x6= 为方程的近似解. 3.161 0+3.162 5 =3.161 75≈3.162 2 规律方法 给定 ε,用二分法求 f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(a)· f(c)>0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). (4)重复第(3)步, 可得到一系列有限区间, 其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半, 当所在区间值小于 2ε 时,区间中点就是函数 f(x)的近似零点. 跟踪演练 2 若函数 f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定 f(x)的零点所在 的区间为______.(只填序号) ①(-∞,1] ②

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