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圆锥曲线公式


圆锥曲线公式 椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? ? ? 1( a ? b ? 0) 2 y ? b sin ? . b2 1.椭圆 a 的参数方程是 ?
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 2.椭圆 a 焦半径公式

PF1 ? a ? ex



PF2 ? a ? ex F1 , F2分别为左右焦点 ,

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 PF F b 3.焦点三角形:P 为椭圆 a 上一点,则三角形 1 2 的面积
b 2 ? tan
S=

?PF1 F2 ; PF ? PF2 , 此三角形面积为 b2 ; 2 特别地,若 1

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 PF ? PF2 的条件是 c≥b,即椭圆的离心率 a b 4. 在椭圆 上存在点 P, 使 1

2 ,1) e 的范围是 2 ; [
5.椭圆的的内外部
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 b2 a 2 b2 (1)点 的内部 . 2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1 2 2 2 2 P ( x , y ) 0 0 a b a b (2)点 在椭圆 的外部 .

6.椭圆的切线方程

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a 2 b b (1)椭圆 a 上一点 .

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 b (2) 过 椭 圆 a 外一点
x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b .

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b (3) 椭 圆 a 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是
A2 a 2 ? B2b2 ? c2 .

双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 7.双曲线 a 的焦半径公式 a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | PF2 ?| e( ? x) | c , c .
8.双曲线的内外部
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) ? ? ?1 P( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2 b 2 a 2 b2 (1)点 的内部 . 2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) ? ? ?1 P( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2 b 2 a 2 b2 (2)点 的外部 .

9.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 x2 y 2 b ? 2 ?0? y?? x ? 2 ?1 2 2 a . ?渐近线方程: a b b (1)若双曲线方程为 a
y??

(2)若渐近线方程为

x y x2 y2 b ? ?0 ? ?? x a ?a b ? 双曲线可设为 a 2 b 2 .

x2 y2 x2 y2 ? 2 ?? ? ? 1 2 2 b b2 (3)若双曲线与 a 有公共渐近线,可设为 a ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴
上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). 10.双曲线的切线方程

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a 2 b b (1)双曲线 a 上一点 .

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 b (2)过双曲线 a 外一点
x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b .

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 y b (3 双 曲 线 a 与 直 线 A x? B ?
A2 a 2? B2 b ?2
.c
2

C ? 0 相切的条件是

11.焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即 b 值)

抛物线 12.焦点与半径

a a 抛物线y 2 ? ax(a ? 0), 焦点是( , 0), 准线x ? ? ; 4 4 a a 抛物线x2 ? ay (a ? 0), 焦点是(0, ), 准线y ? ? ; 4 4
13.焦半径公式

( x0 , y0 ) 为抛物线上一点,焦半径 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,C
2

CF ? x0 ?

p 2.

14.过焦点弦长

CD ? x1 ?

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p 2 2 .

对焦点在 y 轴上的抛物线有类似结论。 15.设点方法

y0 2 , y0 ) 2 2 (x , y ) y ? 2 px 2 p 抛物线 上的动点可设为 P 或 P(2 pt ,2 pt)或 P ? ? ,其中 (
2 y0 ? 2 px0 .

圆锥曲线共性问题 16.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线

f1 ( x, y) ? 0 , f 2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是

f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).
x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 (2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 a ? k b ? k , 其 中 k ? max{a , b } . 当

k ? min{a2 , b2} 时,表示椭圆; 当 min{a2 , b2} ? k ? max{a2 , b2} 时,表示双曲线.
17.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2



AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?
(弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

?y ? kx ? b ? F( x, y) ? 0 消去 y 得到 ax2 ? bx ? c ? 0 ,? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 由方程 ?

为直线的斜率). 18.涉及到曲线上的点 A,B 及线段 AB 的中点 M 的关系时,可以利用“点差法: 比如在椭圆中:

A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 中点M( x0, y 0), 则有 : x12 y12 ? 2 ? 1(1) a2 b 2 x2 y2 2 ? ? 1(2) a2 b2 x y ? y2 x ? x2 b2 b2 (1) ? (2) ? 1 ? 1 ? (? 2 ) ? 0 ? (? 2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 a y0 a
19.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点

P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 .

(2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? )?0 2 2 A ?B A2 ? B 2 .
2 2 2

20.“四线”一方程
2 xx y y 对于一般的二次曲线 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,用 0 代 x ,用 0 代 y ,

x0 y ? xy0 x0 ? x y0 ? y xy y 2 用 代 ,用 2 代 x ,用 2 代 ,即得方程

Ax0 x ? B ?

x0 y ? xy0 x ?x y ?y ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ?F ?0 2 2 2 ,曲线的切线,切点弦,

中点弦,弦中点方程均是此方程得到.


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