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正-好---直线与双曲线弦长 中点弦--第四课


2.2.2
双曲线的几何性质

点与双曲线的位置关系: 点与双曲线: 2 2 x y 点 P( x0 , y0 )在双曲线 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 2
a b

x2 y 2 点 P( x0 , y0 )在双曲线 2 ? 2 a b
2

x y ? ? ?1 a 2 b 2 x0 y0 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? 2 ? 2 ? 1 a b
2

2 0 2

2 0 2



P( x0 , y0 )在双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0)上 ? x - y =1 a 2 b2

a

2 0 2

b

2 0 2

总结

方程组解的个数 交点个数

两个交点 相交

一个交点 相交 相切

0个交点 相离

一个交点或两个交点

?y = kx + m ? 2 ? x y2 ? 2 - 2 = ?1 ?a b

探究:直线与双曲线位置关系
mx2+nx+p=0

1.二次项系数为0时,L与双曲线的渐近线平行 或重合。 重合:无交点;平行:有一个交点。 2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交(两个交点) 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离

2、弦长公式: 设 弦端点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则
? f ( x,y) ? 0 消去 y 得:ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? ? y ? kx ? m

| AB |
? 1? k

? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |
2

( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2

? | AB | ? 1 ? k ? |a|
2

? f ( x,y) ? 0 2 消去 x 得: a ' y ? b' y ? c' ? 0 (a' ? 0) ? ? y ? kx ? m

| AB |

1 ? 1 ? 2 | y1 ? y2 | k

1 2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 k

1 ? | AB | ? 1 ? 2 ? k | a' |

题型2:弦长问题
例.求渐近线方程为x ? 2 y ? 0, x ? 2 y ? 0且 8 3 截直线x ? y ? 3 ? 0所得的弦长为 3 的双曲线方程.

x 2 ? y ?1 4

2

y 练习.经过双曲线 x ? ? 1 的右焦点F2作 3
2

2

倾斜角为30O的弦AB.

求 (1) |AB|的长;

(2) △F1AB的周长(F1为双曲线的左焦点). y (1)|AB|=3; (2) L?F AB ? 3 ? 3 3.
1

求双曲线的焦点弦长应分 两种情况:
两交点分别在左右两支上, 则 AB ? AF2 ? BF2 ;

F1
o

F2 B
x

两交点在同一支上, 则 AB ? AF1 ? BF1 .

A

题型3:中点弦问题
例1.点P(8,1)平分双曲线 x2-4y2=4 的一条
弦, 求这条弦所在的直线方程.

2x-y-15=0
y 例2. 已知双曲线 x ? ? 1, 过点A(2,1)的 2 直线l 与所给双曲线交于两点P1、P2 ,求线
2 2

段P1 P2的中点P的轨迹方程.

2x2-y2-4x+y=0

()过 1 M ( 1 ,)的直线交双曲线于 1 A、B 两点,若 M 为弦 AB 的中点, 求直线 AB 的方程;

x2 y 2 已知双曲线方程 ? ?1 例 4、 4 2

? 1? (2)是否存在直线l,使 N ?1, ? 为 l 被双曲线所截弦的中点,若存在, ? 2? y 求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.

设 A( x1 , y1) , B( x2 , y2) ,则 ( x1 ? x2) 解:
2 1

M. x y12 .N ? ? 1 相减 o ?2 2 4 2 y1 ? y2 1 x1 ? x2 ? x ?x ? 2? y ? y 2 x2 y2 2 ? 2 1 2 1 2 ? ?1 4 2 1 xM ? k AB ? ? ? 1 即 kAB ? 1 , 2 2 2 yM ? 直线 AB 的方程为:y ? 1 ? 1 ( x ? 1) 即 x ? 2 y ? 1 ? 0 .

2

x

2

y

设l AB : y ? 1 ? k ( x ? 1) 解法二:
? y ? kx ? 1 ? k ?2 联立? 2 2 x ? 2 y ?4 ? ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (1 ? k ) x ? 2(1 ? k )2 ? 4 ? 0
? x1 ? x2 2k (1 ? k ) 1 ? ? 1 ? k ? , 2 2 2 1 ? 2k

2
M

o

. . N

2

x

? 2

? 直线 AB 的方程为:y ? 1 ? 1 ( x ? 1) 即 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2

(2) 假设过 N 的直线交双曲线于 C( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 2 x1 y1 2 ? ? 1相减 y1 ? y2 1 x1 ? x2 1 xN 4 2 ? ? ? ? ? ?1 2 x ? x 2 y ? y 2 2 y 1 2 1 2 N x2 y2 ? ?1 y 4 2

即 kCD ? 1,
?2 1 x2 y 2 把y ? x ? 代入 ? ? 1得 2 4 2 9 2 x ? 2 x ? ? 0其中? ? ?5 ? 0 4 ? 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾

1 1 ? l的方程为:y ? ? x ? 1即y ? x ? 2 2

2
M

o

. . N

2

x

? 2

1 ) 为弦的中点的直线不存 ? 以 N (1, 在. 2

课外练习: 1.椭圆 mx +ny =1 与直线 y=1-x 交于 M、 N 两点,

2

2

2 m 过原点与线段 MN 的中点的直线斜率 ,则 的值是(B ) n 2 2 2 2 9 2 2 3 (A) (B) (C) ? (D) 2 2 3 27 2 y ? 1 交于 M、N 两 2. 过点 A(2 ,1) 的直线与双曲线 x 2 ? 2 点,求弦 MN 的中点 P 的轨迹方程.
2 2 y1 y2 2 ? 1,x 2 ? ? 1,两式作差并整 解:设 M ( x1 ,y1 ) , N ( x2 ,y2 ) ,则 x ? 2 2 y ? y2 x ?x 理,得 1 ? 2 1 2 设弦 MN 的中点 P( x0 ,y0 ) ,又 k MN ? k AP ,且 x1 ? x2 y1 ? y2 y ?1 x x1 ? x2 ? 2 x0 ,y1 ? y2 ? 2 y0 。 则 0 ? 2 0 所以所求中点 P 的轨迹方程是 x0 ? 2 y0 2 1

2x 2 ? 4x ? y 2 ? y ? 0

题型5:面积问题
例. 已知曲线C: x2-y2=1及直线 l: y=kx-1, 若 l与C交于A, B两点, O是坐标原点, 且△OAB 的面积为 2 , 求实数k的值. 6 k?? y
2

o
A B

x

题型6:圆过定点问题
例.是否存在a∈R,使直线y-ax-1=0与曲线3x2-y2=1相交 于 A , B 两点 , 使以 AB 为直径的圆过原点 ? 若存在 , 求出 a y 的值;若不存在,请说明理由.
解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) A ∵以AB 为直径的圆过原点 , B ? OA ? OB 即:x1 x2 ? y1 y2 ? 0 0 2 2 把 y ? ax ? 1代入 3 x ? y ? 1 化简得: (3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 由3 ? a 2 ? 0且? ? 4a 2 ? 8(3 ? a 2 ) ? 0 有 ? 6 ? a ? 6且a ? ? 3 由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2a 2 , x1 x2 ? ? 2 2

x

又:y1 y2 ? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? a x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? 1
2

3?a

3?a

从而 x1 x2 ? 1 ? 0 即 : ?

∴ 当a ? ? 1 时,以AB 为直径的圆过原点.

2 ?1? 0 3 ? a2

解得: a ? ?1

练习.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支 交于A,B两点,直线l过点P(-2,0)和直线AB的 中点M,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.
? y ? kx ? 1?? (1) 解 :由 ? 2 消去y得 2 ? x ? y ? 1?? (2) 2 2 (1 ? k ) x ? 2kx ? 2 ? 0??? (3)
? 直线和双曲线的左支交于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )两点, ? 方程(3)有两个不等根且两根均小于或等于 ? 1,

?1 ? k 2 ? 0 ? 2 2 ? ? ? 4k ? 8(1 ? k ) ? 0 ? ? 有 ? x ? x ? 2k ? 0 解得 1 ? k ? 2. 1 2 2 1? k ? ? 2 ?0 ? x1 x2 ? ? 2 1? k ? x1 ? x2 k 设AB的中点M的坐标为( x0 , y0 ), 则x0 ? ? , 2 2 1? k 1 k 1 ? y0 ? kx0 ? 1 ? .? M ( , ). 2 2 2 1? k 1? k 1? k

1 ? kl ? . 2 ?2k ? k ? 2 1 ? 直线l的方程为y ? ( x ? 2). 2 ?2k ? k ? 2 2 ? 直线l在y轴上的截距为b ? . 2 ?2k ? k ? 2 1 2 17 2 ? g( k ) ? ?2k ? k ? 2 ? ?2( k ? ) ? 在(1, 2) 4 8
上为减函数,? 2 ? 2 ? g( k ) ? 0或0 ? g( k ) ? 1.

? b ? ?2 ? 2或b ? 2.

x y ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右 1、过双曲线 2 a b 焦点F作倾斜角为60°的直线l,若直线l与

课堂练习

2

2

双曲线右支有且只有一个交点,求双曲线 离心率的取值范围.
b ? ? tan 60 ? 3 a b 2 2 e ? 1? ( ) ? 1? 3 ? 4 a

y

l
o
F

x

e∈[2,+∞)

2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支 下半支上任意一点 (异于顶点),则直线PF 0 ? ? ?1, ? ?? ? ??, 的斜率的变化范围是_________

x y 3.过原点与双曲线 ? ? ?交于两 1 4 3 ? 3? ? ??, ? ?? ? ? ? ? 2 ? ? 点的直线斜率的取值范围是 ? ?

2

2

? 3 , ? ?? ? 2 ?

二.弦的中点问题(韦达定理与点差法)

例2.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求: (1)以2为斜率的弦的中点轨迹; (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹; (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的 直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗? 说明理由;

y 2 x2 3.已知直线L与双曲线C : ? ? 1相交于A, B两点. 3 5 与双曲线的渐近线相交于C,D两点, 求证:|AC|=|BD|

分析:只需证明线段AB、CD的中点重合即可。
证明: (1)若L有斜率,设L的方程为:y=kx+b
? y=kx+b ? 2 2 2 2 2 ? (5k ? 3)x ? 10bkx ? 5b ? 15 ? 0 ?y x ? ?1 ? 5 ? 3

? L与渐近线相交于C, D两点,? 5k ? 3 ? 0,? xC ? x D ?

10kb ? L与C相交于A, B两点,? 5k 2 ? 3 ? 0,? x A ? x B ? 2 3 ? 5k ? y=kx+b ? 2 2 2 2 2 ? (5k ? 3)x ? 10bkx ? 5b ?0 ?y x ?0 ? ? 5 ? 3 10kb 2

可见AB,CD的中点横坐标都相同,从而中点重合.

3 ? 5k 2

(2)若直线L的斜率不存在,由对称性知结论亦成立.

问题三:直线与双曲线相交中的垂直与对称问题
1.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点.
(1)当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点; (2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称, 若存在,求a;若不存在,说明理由.

(1)a=±1(2)求得a=3/2与a=-1/2矛盾;或 由a=-1/2直接求得AB中点(-2/11,12/11)显 然不满足y=2x.故不存在符合条件的a值

例3、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相 交,交点为A、B,当a为何值时,以AB为 直径的圆经过坐标原点。
解:将y=ax+1代入3x2-y2=1
它有两个实根,必须△>0,

得(3-a2)x2-2ax-2=0,

?a ? (? 6, 6),

又设方程的两根为x1,x2,A(x1,y1),B(x2,y2),

2a ?2 ? x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 3?a 3 ? a2

∵原点O(0,0)在以AB为直径的圆上, ∴OA⊥OB,即x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, ∴(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,

?2 2a ? (a +1) +a? +1=0 2 2 3?a 3?a
2

解得a=±1.

问题四:焦点三角形(配套)

例4、由双曲线 两焦点 F1、F2 构成 ?PF1F2 ,求 ?PF1F2 的内切 圆与边 F1F2 的切点坐标。
说明:双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形,其中 | PF1 | 、 | PF2 和 | | F1F2 | 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题,要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。

x2 y 2 ? ?上的一点 1 P 与左、右 9 4

x2 2 ? y ? 1(a ? 0) 与直 例5、04全国文科Ⅰ设双曲线C: 2 a 线 l : x ? y ? 1 相交于 两个不同的点A、B。
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围。 ??? ? 5 ??? ? (2)设直线l与y轴的交点为P,且PA ? PB, 求a的值。 12

解: (I)由 C 与 t 相交于两个不同的点,故知方程组

? x2 2 ? y ? 1, ? 2 ?a ? x ? y ? 1. ?
有 两 个 不 同 的 实 数 解 . 消 去 y 并 整 理 得 ( 1 - a ) x +2a x - 2a =0.
2 ? 1 ? a ? 0. ? 所以? 4 2 2 ? 4 a ? 8 a ( 1 ? a ) ? 0. ?
2 2 2 2



解得0 ? a ? 2且a ? 1.

双曲线的离心率

1 ? a2 1 e? ? 2 ? 1. a a 6 ?e ? 且e ? 2 2 即离心率e的取值范围为(

? 0 ? a ? 2且a ? 1,

6 , 2) ? ( 2, ??). 2

(II)设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), P1 (0,1)

5 ? PA ? PB, 12

5 ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x 2 , y 2 ? 1). 12
2

5 由此得x1 ? x 2 . 12

由于 x1,x2 都是方程①的根,且 1-a ≠0,
5 2 2a 2 2a 2 289 x2 ? ? .消去, x2 , 得 ? ? 2 2 12 1? a 1? a 60

17 2a 2 所以 x2 ? ? , 2 12 1? a 17 由a ? 0, 所以a ? . 13

小结:
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称 5.设而不求(韦达定理、点差法)

典例讲评

例3、设两动点A、B分别在双曲线 2 x 2 - y = 1 的两条渐近线上滑动,且 4 |AB|=2,求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A M B

o

x 2 + 4y = 1 4
x

2

归纳总结 1. 双曲线的第二定义
平面内,若定点F不在定直线l上,则到定点F的距离与到 定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。 定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线, 常数e是双曲线的离心率。

2. 双曲线的准线方程
对于双曲线

对于双曲线

注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.

x2 y2 ? 2 ? 1 , 准线为 2 a b y2 x2 准线为 ? ? 1 a 2 b2

a2 x?? c2 a y?? c

? 点与双曲线的位置关系: ? 点与双曲线: 2 2 2 2 x y x y 点P( x0 , y0 )在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? 0 ? 0 ? 1 2 2 a b
x2 y 2 点P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 a b

a 2 b 2 x0 y0 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? 2 ? 2 ? 1 a b
2

点 P( x0 , y0 ) 在双曲线

x y ? a 2 b2

2

2 2 x y ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 ? 0 - 0 =1 a 2 b2

--韦达定理与点差法
2 2 例5.已知双曲线方程为3x -y =3,

求: (1)以2为斜率的弦的中点轨迹; (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹; (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在 的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗? 说明理由;

--韦达定理与点差法
2 2 例5.已知双曲线方程为3x -y =3,

求: (1)以2为斜率的弦的中点轨迹; (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹; (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在 的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗? 说明理由;

小结:
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称

5.设而不求(韦达定理、点差法)

例3、已知双曲线x 2 ? y 2 ? 1及直线y ? kx ? 1, ()若直线与双曲线有交点,求 1 k的范围; 6 (2)若 | k |? ,求S?OAB . 2
y

? y ? kx ? 1 解:( 1 )联立? 2 2 x ? y ?1 ?
? (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 (| x |? 1)

F1

.

O

. .

F2

x

y ? ? x ? 1 直线与双曲线有 1个交点 当k ? ?1时,
当k ? ?1时,? ? 4k 2 ? 8(1 ? k 2 ) ? 0 ? ? 2 ? k ? 2且k ? ?1

综上,当? 2 ? k ? 2时,直线与双曲线有交点.

思考1:什么情况下只有一个 交点?

y

当k ? ? 2或k ? ?1时, 直线与双曲线只有一交 点

F1

.

O

. .

F2

思考2:什么情况下两个交点 ?

当 ? 2 ? k ? 2且k ? ?1时,直线与双曲线有两 个交点

思考3:什么情况下两个交点 在右支?

当1 ? k ? 2时,直线与双曲线有两 个交点都在右支

思考4:什么情况下两个交点 在两支上?
当 ? 1 ? k ? 1时,直线与双曲线有两 个交点在两支上

( 2) S ?OAB

1 ? | AB | d , (d是O到直线AB的距离) 2

y
?

1? k2 . F1 ? y ? kx ? 1 2 2 ? ( 1 ? k ) x ? 2kx ? 2 ? 0 联立? 2 2 ?x ? y ? 1
2

d?

1
O
?

A

B .

F2

2 ? 8 ? 4 k 由弦长公式: | AB |? 1 ? k ? 1? k2 |a| |1? k2 |

2 1 2 2 ? k ?S ? 1? k2 2 k2 ?1

1 1? k2

2 ? k2 ? 2 ? 2 k ?1

x 2 - y =1 设双曲线 的左准线与x轴的交点是M, 3 则过点M与双曲线c有且只有一个交点的直线共 有( C ) A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条

练习

2

数形结合

()过 1 M ( 1 ,)的直线交双曲线于 1 A、B 两点,若 M 为弦 AB 的中点, 求直线 AB 的方程;

x2 y 2 已知双曲线方程 ? ?1 例 4、 4 2

? 1? (2)是否存在直线l,使 N ?1, ? 为 l 被双曲线所截弦的中点,若存在, ? 2? y 求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.

设 A( x1 , y1) , B( x2 , y2) ,则 ( x1 ? x2) 解:
2 1

M. x y12 .N ? ? 1 相减 o ?2 2 4 2 y1 ? y2 1 x1 ? x2 ? x ?x ? 2? y ? y 2 x2 y2 2 ? 2 1 2 1 2 ? ?1 4 2 1 xM ? k AB ? ? ? 1 即 kAB ? 1 , 2 2 2 yM ? 直线 AB 的方程为:y ? 1 ? 1 ( x ? 1) 即 x ? 2 y ? 1 ? 0 .

2

x

2

y

设l AB : y ? 1 ? k ( x ? 1) 解法二:
? y ? kx ? 1 ? k ?2 联立? 2 2 x ? 2 y ?4 ? ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (1 ? k ) x ? 2(1 ? k )2 ? 4 ? 0
? x1 ? x2 2k (1 ? k ) 1 ? ? 1 ? k ? , 2 2 2 1 ? 2k

2
M

o

. . N

2

x

? 2

? 直线 AB 的方程为:y ? 1 ? 1 ( x ? 1) 即 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2

(2) 假设过 N 的直线交双曲线于 C( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 2 x1 y1 2 ? ? 1相减 y1 ? y2 1 x1 ? x2 1 xN 4 2 ? ? ? ? ? ?1 2 x ? x 2 y ? y 2 2 y 1 2 1 2 N x2 y2 ? ?1 y 4 2

即 kCD ? 1,
?2 1 x2 y 2 把y ? x ? 代入 ? ? 1得 2 4 2 9 2 x ? 2 x ? ? 0其中? ? ?5 ? 0 4 ? 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾

1 1 ? l的方程为:y ? ? x ? 1即y ? x ? 2 2

2
M

o

. . N

2

x

? 2

1 ) 为弦的中点的直线不存 ? 以 N (1, 在. 2

课外练习: 1.椭圆 mx +ny =1 与直线 y=1-x 交于 M、 N 两点,

2

2

2 m 过原点与线段 MN 的中点的直线斜率 ,则 的值是(B ) n 2 2 2 2 9 2 2 3 (A) (B) (C) ? (D) 2 2 3 27 2 y ? 1 交于 M、N 两 2. 过点 A(2 ,1) 的直线与双曲线 x 2 ? 2 点,求弦 MN 的中点 P 的轨迹方程.
2 2 y1 y2 2 ? 1,x 2 ? ? 1,两式作差并整 解:设 M ( x1 ,y1 ) , N ( x2 ,y2 ) ,则 x ? 2 2 y ? y2 x ?x 理,得 1 ? 2 1 2 设弦 MN 的中点 P( x0 ,y0 ) ,又 k MN ? k AP ,且 x1 ? x2 y1 ? y2 y ?1 x x1 ? x2 ? 2 x0 ,y1 ? y2 ? 2 y0 。 则 0 ? 2 0 所以所求中点 P 的轨迹方程是 x0 ? 2 y0 2 1

2x 2 ? 4x ? y 2 ? y ? 0

y 2 x2 在双曲线 ? ? 1 的一支上有不同的三点A( x1 , y1 ), 例 6、 12 13 B ( 26, 6), C (x3,y3)且与点F ( 0 ,) 5 的距离成等差数列。 y ()求 1 y1 ? y3; ?A (2)求证AC的垂直平分线必过定点. F1. ? B ? C AF 1 ? e ? | AF | ? d A 解: dA e x O 1 1 同理 BF ? d B, CF ? dC . F2 e e ? AF 、 BF 、 CF 成等差数列

? d A , d B , dC 成等差数列
? y1 ,6, y3成等差数列

? y1 ? y3 ? 12 .

y
F1

. .F

?
?

A

(2)设AC的中点坐标为 ( x0 ,6)
? y12 x12 ? ?1 ? ? 12 13 y1 ? y3 12 x1 ? x3 ? 2 相减 : x ? x ? 13 ? y ? y 2 ? y3 ? x3 ? 1 1 3 1 3 ? ? 12 13
O

?

B

C
x

2

? k AC ?

2 x0 13 13 ? AC的中垂线方程为: y ?6 ? ? ( x ? x0 ) 2 x0

13 25 即 x? y? ?0 2 x0 2

此直线过定点 ( 0 ,25) . 2


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