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福建省福州市2016届高三下学期第二次综合质量检测理数试题Word版含答案.doc

理科数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集为 R ,集合 M ? {?1,1, 2, 4} , N ? {x | x2 ? 2x ? 3} ,则 M ? (CR N ) ? ( A. {?1,1, 2} B. {1, 2} C. {4} D. {x | ?1 ? x ? 2} ) )

2.复数 z 满足 z (1 ? i) ?|1 ? i | ,则复数 z 的共轭复数在复平面内的对应点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

3.函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 在 x ? A. f ( x ? C. f ( x ?

?
3

处取得最小值,则(

? ?
3

) 是奇函数 ) 是奇函数

B. f ( x ? D. f ( x ?

? ?
3

) 是偶函数

) 是偶函数 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4.在 ?ABC 中, AB ? AC ? 5 , BA ? BC ? 4 ,则 AB ? ( 3
A.9 B.3 C .2 D.1



5.已知某工程在很大程度上受当地降水量的影响,施工期间的年降水量 X (单位: mm ) 对工期延误天数 Y 的影响及相应的概率 P 如下表所示: 降水量 X 工期延误天数 Y 概率 P 0.4 0.2 0.1 0.3 ) X<100 0

100 ? X ? 200
5

200 ? X ? 300
15

X ? 300
30

在降水量 X 至少是 100 的条件下,工期延误不超过 15 天的概率为( A.0.1 B.0.3 C.0.42 D.0.5

? x ?1 ? 0 ? 6.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,且目标函数 z ? ax ? y 取得最大值的点有无数个, ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
则 z 的最小值等于( )

A.-2

B. ?

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2


7.执行如图的程序框图,若输入 n 值为 4,则输出的结果为( A.8 B.21 C.34 D.55

2 8. ( x ? 2 ? ) 的展开式中, x 的系数为(
5

1 x



A.45

B.60

C.90

D.120 )

9.正项等比数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 a6 ? a3a5 ? 128 ,则下列结果正确的是( A. ?n ? N * , an an?1 ? an?2 C. ?n ? N * , Sn ? an?1 10.双曲线 E : B. ?n ? N * , an ? an?2 ? 2an?1 D. ?n ? N * , an ? an?3 ? an?1 ? an?2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 E 左支上一点, a 2 b2


| PF1 |?| F1F2 | ,直线 PF2 与圆 x2 ? y 2 ? a2 相切,则 E 的离心率为(
A.

5 4

B. 3

C.

5 3

D.

2 3 3


11.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积等于( A.2 B.

4 2 3

C.

4 3 3

D.3

12.设 m ? R ,函数 f ( x) ? ( x ? m) ? (e
2

2x

1 ? 2m)2 . 若存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 成立,则 m ? 5

( A.



1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1,0 ? x ? 2 ,若 g ( x) ? f ( x) ? ax, x ?[?2, 2] 为偶函数,则实数 ? ?1, ?2 ? x ? 0

a?

. .
?

14.所有棱长均为 2 的正四棱锥的外接球的表面积等于
2

15.抛物线 C : y ? 4x 的准线与 x 轴交于点 M ,过焦点 F 作倾斜角为 60 的直线与 C 交于

A, B 两点,则 tan ?AMB ?

. .

16.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2, Sn?1 ? (?1)n Sn ? 2n ,则 S100 ?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 1 ?
(1)求 A ;

tan A 2c ? . tan B b

(2)若 BC 边上的中线 AM ? 2 2 ,高线 AH ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高三年级抽取了 30 名

男生和 20 名女生的该学科成绩,得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎 叶图,规定 80 分以上为优分(含 80 分).

(1) (ⅰ)请根据图示,将 2 ? 2 列联表补充完整; 优分 男生 女生 总计 50 非优分 总计

(ⅱ)据此列联表判断,能否在犯错误概率不超过 10%的前提下认为“该学科成绩与性别 有关?” (2)将频率视作概率,从高三年级该学科成绩中任意抽取 3 名学生的成绩,求至少 2 名学 生的成绩为优分的概率. 附:

P(K 2 ? k0 )
k0
k2 ?

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 12 分) 如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是梯形, 且 AB / / CD , AB ? 平面 PAD ,E 是 PB 中 点, CD ? PD ? AD ?

1 AB . 2

(1)求证: CE ? 平面 PAB ; (2)若 CE ? 3, AB ? 4 ,求直线 CE 与平面 PDC 所成角的大小.

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A, B 的坐标分别为 (?2, 0), (2, 0) ,直线 AP, BP 相交于 点 P ,且它们的斜率之积是 ? (1)求 ? 的方程; (2) 已知直线 AP, BP 分别交直线 l : x ? 4 于点 M , N , 轨迹 ? 在点 P 处的切线与线段 MN 交于点 Q ,求

1 ,记点 P 的轨迹为 ? . 4

| MQ | 的值. | NQ |

21. (本小题满分 12 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? e x?1 ? ax 的图象与 x 轴相切. (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? 1 时, f ( x) ? m( x ? 1) ln x ,求实数 m 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, ?ABC 内接于圆 O , D 是弧 BAC 的中点, ?BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 E , F . (1)求证: BF 是 ?ABE 外接圆的切线; (2)若 AB ? 3, AC ? 2 ,求 DB ? DA 的值.
2 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1 的极坐标方程;

? x ? 2 ? 2cos ? ( ? 为参数) ,以 O 为极 ? y ? 2sin ?

? ' 1 ? x2 ?x ? x 2 ? y ? 1 经伸缩变换 ? (2)设曲线 C2 : 2 后得到曲线 C3 ,曲线 ? ? ( ? ? 0) 分 3 4 ' ? ? y ?y
别与 C1 和 C3 交于 A, B 两点,求 | AB | . 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知不等式 | x ? 3 |? 2 x ? 1 的解集为 {x | x ? m} . (1)求 m 的值; (2)设关于 x 的方程 | x ? t | ? | x ? |? m(t ? 0) 有实数根,求实数 t 的值.

1 t

2016 年福州市普通高中毕业班综合质量检测 理科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. (1)A (7)C (2)D (8)D (3)B (9)C (4)B (10)C (5)D (11)A (6)C (12)B

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分. (13) ?
1 2

(14) 8π

(15) 4 3

(16) 198

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识, 考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)因为 1 ? 即
tan A 2c sin A cos B 2sin C ,所以 1 ? , ? ? tan B b sin B cos A sin B

2分

sin( A ? B) 2sin C , ? sin B cos A sin B

因为 sin( A ? B) ? sin C ? 0 , sin B ? 0 ,
1 所以 cos A ? , 2

4分
π . 3

又因为 A ? (0, π) ,所以 A ?

5分

???? ? 1 ??? ? ???? (Ⅱ)由 M 是 BC 中点,得 AM ? ( AB ? AC ) , 2 ???? ? 2 1 ??? ? 2 ???? 2 ??? ? ???? 即 AM ? ( AB ? AC ? 2 AB ? AC) , 4

所以 c2 ? b2 ? bc ? 32 ,① 7 分 由S ?
1 1 AH ? BC ? AB ? AC ? sin A , 2 2



3 bc ? 3a ,即 bc ? 2 a ,② 2

9分 10 分

又根据余弦定理,有 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,③

(18)本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知 识, 考查运算求解能力、 数据处理能力、 应用意识, 考查必然与或然思想、 化归与转化思想. 满 分 12 分. 解: (Ⅰ)根据图示,将 2×2 列联表补充完整如下:

2分 假设 H 0 :该学科成绩与性别无关,
K 2 的观测值 k ?
n(ad ? bc) 2 50(9 ? 9 ? 11 ? 21) 2 ? ? 3.125 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 20 ? 30 ? 20 ? 30

因为 3.125 ? 2.706 ,所以能在犯错误概率不超过 10%的前提下认为该学科成绩与性别有关. 6分 (Ⅱ)由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关,因此需要将男女生成绩的优分频率
f ? 20 ? 0.4 视作概率. 7 分 50

设从高三年级中任意抽取 3 名学生的该学科成绩中,优分人数为 X ,则 X 服从二项分布
B(3, 0.4) ,

9分

2 3 所求概率 P ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? C3 ? 0.42 ? 0.6 ? C3 ? 0.43 ? 0.352 .

12 分 (19) 本小题主要考查空间直线与直线、 直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基 础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满 分 12 分. (Ⅰ)证明:取 AP 的中点 F ,连结 DF , EF ,如图所示.

因为 PD ? AD ,所以 DF ? AP . 因为 AB ? 平面 PAD , DF ? 平面 PAD , 所以 AB ? DF . 又因为 AP ? AB ? A , 所以 DF ? 平面 PAB . 因为点 E 是 PB 中点, 所以 EF // AB ,且 EF ?
AB . 2 AB , 2

1分

3分

4分

又因为 AB // CD ,且 CD ?

所以 EF // CD ,且 EF ? CD , 所以四边形 EFDC 为平行四边形, 所以 CE // DF ,所以 CE ? 平面 PAB . 6分

(Ⅱ)解:设点 O,G 分别为 AD,BC 的中点,连结 OG ,则 OG // AB , 因为 AB ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 AB ? AD ,所以 OG ? AD . 因为 EC ? 3 ,由(Ⅰ)知, DF ? 3, 又因为 AB ? 4 ,所以 AD ? 2 , 所以 AP ? 2 AF ? 2 AD2 ? DF 2 ? 2 22 ? 3 ? 2, 所以 ?APD 为正三角形,所以 PO ? AD , 因为 AB ? 平面 PAD , PO ? 平面 PAD , 所以 AB ? PO . 又因为 AD ? AB ? A ,所以 PO ? 平面 ABCD . 8 分
??? ? ???? ??? ? 故 OA, OG , OP 两两垂直,可以点 O 为原点,分别以 OA, OG, OP 的方向为 x, y, z 轴的正方向,

7分

建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图所示.

1 3 P(0,0, 3) , C (?1, 2,0), D(?1,0,0) , E ( , 2, ) , 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 3 3 所以 PD ? (?1,0, ? 3) , PC ? (?1, 2, ? 3) , EC ? (? , 0, ? ) , 2 2

9分

设平面 PDC 的法向量 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ? ?n ? PD ? 0, ?? x ? 3z ? 0, 则 ? ??? 所以 ? ? ? ? ?n ? PC ? 0, ?? x ? 2 y ? 3z ? 0, 取 z ? 1 ,则 n ? (? 3,0,1) , 设 EC 与平面 PDC 所成的角为 ? ,
??? ? 则 sin ? ?| cos ? n, EC ?|?| 3 3?2 |? 1 , 2

10 分

11 分

π π 因为 ? ? [0, ] ,所以 ? ? , 2 6

所以 EC 与平面 PDC 所成角的大小为

π . 6

12 分

(20)本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考 查推理论证能力、 运算求解能力, 考查数形结合思想、 函数与方程思想、 分类与整合思想等. 满 分 12 分. 解法一: (Ⅰ)设点 P 坐标为 ? x, y ? ,则 直线 AP 的斜率 k AP ? 直线 BP 的斜率 kBP ? 由已知有
y ( x ? ?2 ) ; x?2 y (x ? 2) . x?2

2分 3分 4分

y y 1 , ? ? ? ( x ? ?2 ) x?2 x?2 4

化简得点 P 的轨迹 ? 的方程为

x2 . ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 ) 4

(注:没写 x ? 2 或 x ? ?2 扣 1 分) (Ⅱ)设 P ? x0 , y0 ? ( x0 ? ?2 ) ,则 直线 AP 的方程为 y ? 直线 BP 的方程为 y ?
2 x0 2 ? y0 ?1. 4

5分

y0 6y ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得点 M 纵坐标为 yM ? 0 ;6 分 x0 ? 2 x0 ? 2
y0 2y ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得点 N 纵坐标为 y N ? 0 ;7 分 x0 ? 2 x0 ? 2

设在点 P 处的切线方程为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ,
? y ? k ? x ? x0 ? ? y0 , 2 由? 2 得 1 ? 4k 2 x2 ? 8k ? y0 ? kx0 ? x ? 4 ? y0 ? kx0 ? ? 4 ? 0 .8 分 2 x ? 4 y ? 4, ?

?

?

2 2 由 ? ? 0 ,得 64k 2 ? y0 ? kx0 ? ? 16 ?1 ? 4k 2 ? ?? y0 ? kx0 ? ? 1? ? 0 , ? ?

2 2 整理得 y0 ? 2kx0 y0 ? k 2 x0 ? 1 ? 4k 2 .
2 x0 x ? x ? 2 2 , x0 ? 4 ?1 ? y0 代入上式并整理得 ? 2 y0 k ? 0 ? ? 0 ,解得 k ? ? 0 ,9 分 ? 4 4 y0 2? ?

2

2 ?1? 将 y0

所以切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? . 4 y0

令 x ? 4 得,点 Q 纵坐标为 yQ ? y0 ?

x0 ? 4 ? x0 ? 4 y0

?

2 2 4 ?1 ? x0 ? 1 ? x0 4 y0 ? 4 x0 ? x0 ? ? . 4 y0 4 y0 y0

10 分 ???? ? ???? 设 MQ ? ? QN ,所以 yQ ? yM ? ? ? yN ? yQ ? , 所以
? 2 y0 1 ? x0 6 y0 1 ? x0 ? ? ? ?? ? ?. y0 x0 ? 2 y0 ? ? x0 ? 2

11 分

所以

2 y 2 ? ?1 ? x0 ?? x0 ? 2 ? ?1 ? x0 ?? x0 ? 2? ? 6 y02 . ?? 0 y0 ? x0 ? 2 ? y0 ? x0 ? 2 ?
2 x0 x x 代入上式, ?2+ 0 ? ? (?2+ 0 ) , 4 2 2

2 ?1? 将 y0

解得 ? ? 1 ,即

MQ NQ

? 1 . 12 分

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 P ? x0 , y0 ? ( x0 ? ?2 ) ,则 直线 AP 的方程为 y ?
2 x0 2 ? y0 ?1. 4

5分

y0 6y ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得点 M 纵坐标为 yM ? 0 ;6 分 x0 ? 2 x0 ? 2

直线 BP 的方程为 y ?

y0 2y ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得点 N 纵坐标为 y N ? 0 ;7 分 x0 ? 2 x0 ? 2

设在点 P 处的切线方程为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ,
? y ? k ? x ? x0 ? ? y0 , 2 由? 2 得 1 ? 4k 2 x2 ? 8k ? y0 ? kx0 ? x ? 4 ? y0 ? kx0 ? ? 4 ? 0 .8 分 2 ? x ? 4 y ? 4,

?

?

2 2 由 ? ? 0 ,得 64k 2 ? y0 ? kx0 ? ? 16 ?1 ? 4k 2 ? ?? y0 ? kx0 ? ? 1? ? 0 , ? ?

2 2 整理得 y0 ? 2kx0 y0 ? k 2 x0 ? 1 ? 4k 2 .
2 x0 x ? x ? 2 2 , x0 ? 4 ?1 ? y0 代入上式并整理得 ? 2 y0 k ? 0 ? ? 0 ,解得 k ? ? 0 ,9 分 ? 4 2 4 y0 ? ?

2

2 ?1? 将 y0

所以切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? . 4 y0

令 x ? 4 得,点 Q 纵坐标为 yQ ? y0 ? 10 分 所以 yM ? yN ?

x0 ? 4 ? x0 ? 4 y0

?

2 2 4 ?1 ? x0 ? 1 ? x0 4 y0 ? 4 x0 ? x0 ? ? . 4 y0 4 y0 y0

8 ? x0 ? 1? y0 8 ? x0 ? 1? y0 6 y0 2 y0 1 ? x0 ? ? ? ?2 ? 2 yQ ,11 分 2 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 ?4 y0 y0 MQ NQ ?1 .

所以 Q 为线段 MN 的中点,即

12 分

(21)本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思 想、数形结合思想等.满分 12 分. 解:(Ⅰ) f ? ? x ? ? ex ?1 ? a ,设切点为 ( x0 , 0) , 1 分
x ?1 ? ? f ( x0 ) ? 0, ?e 0 ? ax0 ? 0, 依题意, ? 即 ? x ?1 0 ? f ?( x0 ) ? 0, ? ?e ? a ? 0,

? x ? 1, 解得 ? 0 ? a ? 1,

3分

所以 f ? ? x ? ? ex ?1 ? 1 . 当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 故 f ? x ? 的单调递减区间为 (??,1) ,单调递增区间为 (1, ??) . (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? m( x ? 1) ln x , x ? 0 . 则 g ?( x) ? e x ?1 ? m(ln x ?
x ?1 ) ?1 , x

5分

1 1 令 h( x) ? g ?( x) ,则 h?( x) ? e x ?1 ? m( ? 2 ) , x x

6分

(ⅰ)若 m ?

1 , 2

1 1 因为当 x ? 1 时, e x ?1 ? 1 , m( ? 2 ) ? 1 ,所以 h?( x) ? 0 , x x

所以 h( x) 即 g ?( x) 在 (1, ??) 上单调递增. 又因为 g ?(1) ? 0 ,所以当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , 从而 g ( x) 在 [1, ??) 上单调递增, 而 g (1) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? m( x ? 1) ln x 成立. (ⅱ)若 m ?
1 , 2

9分

1 1 可得 h?( x) ? e x ?1 ? m( ? 2 ) 在 (0, ??) 上单调递增. x x
1 1 ? }? 0, 因为 h?(1) ? 1 ? 2m ? 0 , h?(1 ? ln(2m)) ? 2m ? m{ 1 ? ln(2m) [1 ? ln(2m)]2

所以存在 x1 ? (1,1 ? ln(2m)) ,使得 h?( x1 ) ? 0 , 且当 x ? (1, x1 ) 时, h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 即 g ?( x) 在 (1, x1 ) 上单调递减, 又因为 g ?(1) ? 0 ,所以当 x ? (1, x1 ) 时, g ?( x) ? 0 , 从而 g ( x) 在 (1, x1 ) 上单调递减, 而 g (1) ? 0 ,所以当 x ? (1, x1 ) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? m( x ? 1) ln x 不成立.
1 纵上所述, k 的取值范围是 (??, ] . 2

12 分

请考生在第(22),(23),(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分, 作答时请写清题号. (22)选修 4 ?1 :几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考 查推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等.满分 10 分. 解: (Ⅰ)设 ?ABE 外接圆的圆心为 O ? ,连结 BO ? 并延长交圆 O ? 于 G 点,连结 GE , 则 ?BEG ? 90? , ?BAE ? ?BGE .
? = FC ? ,所以 ?FBE ? ?BAE , 因为 AF 平分∠ BAC ,所以 BF

2分

所以 ?FBG ? ?FBE ? ?EBG ? ?BGE ? ?EBG ? 180? ? ?BEG ? 90? , 所以 O ?B ? BF ,所以 BF 是 ?ABE 外接圆的切线. (Ⅱ)连接 DF ,则 DF ? BC ,所以 DF 是圆 O 的直径, 因为 BD 2 ? BF 2 ? DF 2 , DA2 ? AF 2 ? DF 2 , 所以 BD 2 ? DA2 ? AF 2 ? BF 2 . 因为 AF 平分∠ BAC ,所以 ?ABF ∽ ?AEC , 7分 5分

所以

AB AF ,所以 AB ? AC ? AE ? AF ? ( AF ? EF ) ? AF , ? AE AC

因为 ?FBE ? ?BAE ,所以 ?FBE ∽ ?FAB ,从而 BF 2 ? FE ? FA , 所以 AB ? AC ? AF 2 ? BF 2 , 所以 BD2 ? DA2 ? AB ? AC ? 6 . 10 分

(23)选修 4 ? 4 ;坐标系与参数方程 本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识,考查运算求解能力,考查数 形结合思想、化归与转化思想等.满分 10 分.
? x ? 2 ? 2cos ? , 解: (Ⅰ)将 ? 消去参数 ? ,化为普通方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , ? y ? 2sin ?

即 C1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,

2分 4分

? x ? ? cos ? , 将? 代入 C1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,得 ? 2 ? 4? cos? , y ? ? sin ? ?

所以 C1 的极坐标方程为 ? ? 4cos? .
? x ? 2 x?, (Ⅱ)将 ? 代入 C2 得 x?2 ? y?2 ? 1 , ? y ? y ?

5分

所以 C3 的方程为 x2 ? y 2 ? 1 .
C3 的极坐标方程为 ? ? 1 ,所以 | OB |? 1 .

7分

又 | OA |? 4cos

π ? 2, 3

所以 | AB |?| OA | ? | OB |? 1 . (24)选修 4 ? 5 :不等式选讲

10 分

本小题考查绝对值不等式的解法与性质、 不等式的证明等基础知识, 考查运算求解能力、 推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解: (Ⅰ)由 | x ? 3 |? 2 x ? 1 得,
? x ? ? 3, ? x ? ?3, 或? ? ? ( x ? 3) ? 2 x ? 1, ? ? x ? 3 ? 2 x ? 1,

2分

解得 x ? 2 . 依题意 m ? 2 . 5分

1 1? 1 1 ? (Ⅱ)因为 x ? t ? x ? …? x ? t ? ? ? x ? ? ? t ? ? t ? , t t? t t ?

1? ? 当且仅当 ? x ? t ? ? x ? ? ? 0 时取等号, t? ?

7分

1 因为关于 x 的方程 | x ? t | ? | x ? | ? 2 ( t ? 0 )有实数根, t

所以 t ?

1 ? 2. t
1 …2 , t

8分

另一方面, t ? 所以 t ?

1 ? 2, t

9分 10 分

所以 t ? 1 或 t ? ?1 .