当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学二轮复习 第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质课件 文_图文

第 一 部 分

知识专题部分

专 题 二

三角函数、 解三角形、平面向量

第一讲

三角函数的图象与性质(选择、填空题型)

———————————名师指南—————————— [核心考点] 利用三角函数诱导公式及基本关系式化简求值、三角函数 的图象与解析式、三角函数的性质. [高考解密] 1.以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对称 性、周期性. 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角 的求值,重点考查分析、处理问题的能力,是高考的必考点.

重点透析 难点突破

考向一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式 三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x, y y),则 sin α=y,cos α=x,tan α= ,各象限角的三角函数值的符 x 号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. sin α (2)同角关系:sin α+cos α=1, =tan α. cos α
2 2

kπ (3)诱导公式:在 ± α,k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符 2 号看象限”.

注意函数名称和符号的确定.

? 29π? 29π 25π ? ? (1)sin +cos?- 3 ?-tan =( 6 4 ? ?

)

A.0 C.1

1 B. 2 1 D.- 2 )

sin α+3cos α (2)已知 =5,则 sin2α-sin αcos α 的值是( 3cos α-sin α 2 A. 5 C.-2 2 B.- 5 D.2

[思路引导]

(1)应用三角函数诱导公式求解; (2)借助弦化切,

求出 tan α,再求解.
[解析] (1)原式
? ? ? 5π? π? π? ? ? ? ? ? =sin?4π+ 6 ?+cos?-10π+3?-tan?6π+4? ? ? ? ? ? ? ?

5π π π =sin +cos -tan 6 3 4
? π? π 1 1 1 ? ? 1 =sin?π-6?+ -1=sin - = - =0,故选 6 2 2 2 ? ? 2

A.

sin α+3cos α (2)由 =5?12cos α=6sin α,即 tan α=2,因此 3cos α-sin α
2 sin α-sin αcos α 2 2 sin α-sin αcos α= ,分子分母同除以 cos α,可 sin2α+cos2α 2 tan α-tan α 2 2 得 sin α-sin αcos α= =5,故选 A. 2 tan α+1

[答案] (1)A (2)A

应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候,要注意分情 况解决,若机械地使用三角函数的定义就会出现错误. (2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个:一个是函数名 称,一个是函数值的符号.

[举一反三] 2π 1.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x +y =1 逆时针方向运动 3
2 2

弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为(
? 1 A.? ?-2, ?

)

3? ? 2? ? 3? ? 2? ?

? B.? ?- ? ? D.? ?- ?

3 1? ? ,- ? 2 2? 3 1? ? , ? 2 2?

? 1 C.? ?-2,- ?

[解析] 设 Q 点的坐标为(x,y), 2π 1 2π 3 则 x=cos =- ,y=sin = . 3 2 3 2 ∴Q
? 1 点的坐标为? ?-2, ?

3? ? ,故选 A. 2? ?

[答案] A

2.已知点 则 θ 的值为( π A. 4 5π C. 4

? 3π 3π? ? P?sin 4 ,cos 4 ? ?落在角 ? ?

θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),

) 3π B. 4 7π D. 4

3 π cos π -cos 4 4 [解析] tan θ= = =-1, 3 π sin π sin 4 4 3π 3π 又 sin >0,cos <0, 4 4 7π 所以 θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π),所以 θ= ,故选 D. 4
[答案] D

π 3.已知 <α<π,cos α=k,则 sin(π+α)=( 2 1-k2 A. k C. 1-k2 1-k2 B.- k D.- 1-k2

)

[解析]

由已知易得 sin(π +α) =- sin α=- 1-cos2α=-

1-k2,故选 D.

[答案] D

考向二 三角函数的图象与解析式 三角函数的两种常见图象变换

由函数 y=Asin ωx 的图象变换到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
?φ ? ? 时,平移量应是? ?ω?. ? ?

(1)(2015· 山东卷)要得到函数
? π? ? y=sin?4x-3? ?的图象,只需将函数 ? ?

y=sin 4x 的图象(

)

π A.向左平移 个单位 12 π B.向右平移 个单位 12 π C.向左平移 个单位 3 π D.向右平移 个单位 3

(2)(2015· 新课标全国卷Ⅰ)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象 如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( )

? 1 3? ? A.?kπ-4,kπ+4? ?,k∈Z ? ? ? 1 3? ? B.?2kπ-4,2kπ+4? ?,k∈Z ? ? ? 1 3? ? C.?k-4,k+4? ?,k∈Z ? ? ? 1 3? ? D.?2k-4,2k+4? ?,k∈Z ? ?

[思路引导]

(1)化

? π? y=sin?4x-3?为 ? ?

π y=sin[4(x-12)];(2)由周

期求得 ω,利用特殊点求得 φ,进而求出函数的单调区间. [解析]
? π? (1)y=sin?4x-3?=sin ? ? ? π? 4?x-12?, 故要将函数 ? ?

y=sin 4x

π 的图象向右平移12个单位.故选 B.

ω π 5ω 3π (2)由图象可知 +φ= +2mπ, +φ= +2mπ,m∈Z,所 4 2 4 2
? ? π π ? 以 ω=π,φ= +2mπ,m∈Z,所以函数 f(x)=cos?πx+4+2mπ? ?= 4 ? ? ? π? ? cos?πx+4? ?的单调递减区间为 ? ?

π 1 2kπ<πx+ <2kπ+π,k∈Z,即 2k- 4 4

3 <x<2k+ ,k∈Z,故选 D. 4
[答案] (1)B (2)D

[探究追问] 把例 2(1)中的“y=sin 4x”改为“y= cos 4x”,其他不变,结果如何?
[解析]
? ? π? π π? ? ? ? y=sin?4x-3?=cos?4x-3-2? ?= ? ? ? ? ? 5π? ? 4?x-24? 故要将 ?, ? ?

? 5π? ? cos?4x- 6 ? ?=cos ? ?

5π y=cos 4x 向右平移 个单 24

位.

5π [答案] 向右平移 个单位 24

(1)由 y=sin ωx(ω>0)的图象得到 y=sin(ωx+φ)的图象时,应 |φ| 将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个单位, 而非|φ|个单 ω 位. (2)根据三角函数图象求 y=Asin(ωx+φ)+h 的解析式,主要 解决四个数值 A,ω,φ,h.A 和 h 由函数图象的最高点、最低点 确定,ω 由三角函数的周期确定,φ 由函数图象的位置确定.解 决这类题目一般是先根据函数图象找到函数的周期确定 ω 的值, 再根据函数图象上的一个特殊点确定 φ 值.

[举一反三] 1.(2015· 九江一模)将函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象向左
? π? π ? 平移 个单位后得到函数 g(x)=cos?2x+6? ? 的图象,则 φ 的值为 6 ? ?

(

) 2π A.- 3 π C. 3 π B.- 3 2π D. 3

[解析] 由题意得

? ? ? π? ? ? ? g(x)=sin?2?x+6?+φ? ?,又 ? ? ? ?

? π? ? g(x)=cos?2x+6? ? ? ?

? 2π? π 2π ? ? =sin?2x+ 3 ?,∴ +φ=2kπ+ ,k∈Z, 3 3 ? ?

π π 即 φ=2kπ+ ,k∈Z,∵|φ|<π,∴φ= ,故选 C. 3 3

[答案] C

2.(2015· 辽宁五校联考)函数 f(x)=sin(ωx+φ)
? ? π ? ? 其中 | φ |< , ω >0 为了得到 g(x)=sin ? ?的图象如图所示, 2 ? ?

ωx 的图象,

只需把 y=f(x)的图象上所有点(

)

π A.向右平移6个单位长度 π B.向右平移12个单位长度 π C.向左平移6个单位长度 π D.向左平移12个单位长度

[解析] 由
?π? ? f? ?3?=0 ? ?

T 7π π 2π 由图象知: = - ,∴T= π.又 π= ,∴ω=2. 4 12 3 ω

π 2π π 得:2× +φ=kπ(k∈Z),即 φ=kπ- (k∈Z).∵|φ|< , 3 3 2

π ∴φ= ,即 f(x)= 3
? ? ? ? π? π? ? ? ? ? ?? sin?2x+3?=sin?2?x+6??,故选 ? ? ?? ? ?

A.

[答案] A

3. (2014· 江苏卷)已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π), π 它们的图象有一个横坐标为 的交点,则 φ 的值是________. 3

[解析] 由 π 故 φ= . 6
π [答案] 6

?2π ? π 1 ? ? sin? 3 +φ?=cos = , 且 3 2 ? ?

2π 5π 0≤φ≤π, 得 +φ= , 3 6

考向三 三角函数的性质 三角函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

函数

y=sin x
? π 在 ?-2+2kπ, ?

y=cos x

y=tan x

π ? 在 [ - π + 2kπ , +2kπ? ? π 2 ? 在 ?-2+kπ, 2kπ](k ∈ Z) 上 单 调 ? 单调 (k ∈ Z) 上 单 调 递 增 ; 在 递增;在[2kπ,π+ π ? +kπ? (k ∈ Z) 上 性 ?π 3π ? 2 ? ? +2kπ, ? (k ∈ 2kπ](k ∈ Z) 上 单 调 + 2 k π 2 ?2 ? 单调递增 递减 Z)上单调递减 对称轴: 对称 性 对称中心:(kπ,0)(k∈Z); 对称中心: π 对称轴:x=2+kπ(k∈Z) x=kπ(k∈Z)

?π ? 对称中心: ? +kπ,0?(k∈Z); ?2 ? ?kπ ? ? ,0?(k∈Z) ?2 ?

求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时, 一般选择 ω>0, 当 ω<0 时,要转化为 y=-Asin(-ωx-φ),再求单调区间.

(1)(2015· 安徽卷)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正 2π 的常数)的最小正周期为 π,当 x= 时,函数 f(x)取得最小值,则 3 下列结论正确的是( A.f(2)<f(-2)<f(0) C.f(-2)<f(0)<f(2) ) B.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2)

(2)(2015· 太原模拟)已知函数

? π? f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的 ? ?

π 最小正周期是 π, 若将其图象向右平移3个单位后得到的图象关于 原点对称,则函数 f(x)的图象( π A.关于直线 x=12对称
?π ? C.关于点?12,0?对称 ? ?

) 5π B.关于直线 x=12对称
?5π ? D.关于点?12,0?对称 ? ?

[思路引导] 由三角函数的周期性和对称性进行判断. 2π [解析] (1)∵f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为 π,且 x= 是 3 2π π π 经过函数 f(x)最小值点的一条对称轴, ∴x= - = 是经过函数 f(x) 3 2 6 最大值点的一条对称轴.
? ? π? π? ? ? 12-π ? ? 5π-12 ∵?2-6?= ,??π-2?-6?= , 6 6 ? ? ? ?

? ? ? ? π? π? π? π? π 2π π ? ? π ? ? ? ? ? ? ?0-6?=6,∴?2-6?>??π-2?-6?>?0-6?,且-3<2< 3 ,-3<π ? ? ? ? ? ? ? ?

2π π 2π -2< ,- <0< ,∴f(2)<f(π-2)<f(0),即 f(2)<f(-2)<f(0),故选 3 3 3 A. 2π (2)∵f(x)的最小正周期为 π,∴ =π,ω=2, ω π ∴f(x)的图象向右平移 个单位后得到 3

? ? ? π? 2π ? ? ? g(x)=sin2?x-3?+φ=sin?2x- 3 +φ? 又 ?的图象, ? ? ? ?

g(x)的图象关

于原点对称, 2π 2π ∴- +φ=kπ,k∈Z,φ= +kπ,k∈Z, 3 3
?2π ? π π ? 又|φ|< ,∴? 3 +kπ? ?<2, 2 ? ? ? π? π ? ∴k=-1,φ=- ,∴f(x)=sin?2x-3? ?, 3 ? ?

π π π 当 x= 时,2x- =- ,∴A,C 错误, 12 3 6

5π π π 当 x= 时,2x- = ,∴B 正确,D 错误,故选 B. 12 3 2

[答案] (1)A (2)B

函数 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函 数化成 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式; 第二步: 把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y =Asin(ωx+φ)+B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

[举一反三] 1.下列函数中周期为 π 且为偶函数的是(
? π? ? A.y=sin?2x-2? ? ? ? ? π? ? C.y=sin?x+2? ? ? ? ? π? ? B.y=cos?2x-2? ? ? ? ? π? ? D.y=cos?x+2? ? ? ?

)

[解析] 故选 A.

? π? ? 因为 y=sin?2x-2? ?=-cos ? ?

2x 为偶函数, 且周期是 π,

[答案] A

2.已知 ω>0,函数 ω 的取值范围是(
?1 5? ? , A.? ?2 4? ? ? ?3 9? ? , C.? ?4 4 ? ? ?

? ? ? π? ? ? ?π f(x)=cos?ωx+4?在?2,π? ?上单调递增,则 ? ? ? ?

)
?1 7? ? , B.? ?2 4? ? ? ?3 7? ? , D.? ?2 4? ? ?

[解析] 函数 y=cos x 的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k ωπ π π 5 ∈Z, 由-π+2kπ≤ + , ωπ+ ≤2kπ, k∈Z 解得 4k- ≤ω≤2k 2 4 4 2
?3 7? 1? 1 5 ? 1 ? ? ? , - , 又 4k- -?2k-4?≤0 且 2k- >0, 得 k=1, 所以 ω∈? ?2 4?, 4 2 ? 4 ? ? ?

故选 D.

[答案] D

3.(2014· 安徽卷)若将函数

? π? ? f(x)=sin?2x+4? ?的图象向右平移 ? ?

φ

个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是________.

[解析] ∵函数 到

? π? ? f(x)=sin?2x+4? ?的图象向右平移 ? ?

φ 个单位得

? π? ? g(x)=sin?2?x-φ?+4? ?= ? ? ? ? π ? sin?2x+4-2φ? ?,又∵g(x)是偶函数, ? ?

π π ∴ -2φ=kπ+ (k∈Z). 4 2 kπ π ∴φ=- - (k∈Z). 2 8 3π 当 k=-1 时,φ 取得最小正值 . 8 3π [答案] 8

名师微课 建模培优

热点 7

三角函数的图象与性质

(2015· 湖南卷)将函数 f(x)=sin 2x 的图象向右平移

? π? ? φ?0<φ<2? ? ? ?

个单位后得到函数 g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2 的 x1, π x2,有|x1-x2|min= ,则 φ=( 3 5π A. 12 π C. 4 π B. 3 π D. 6 )

[审题程序] 第一步:利用平移变换得到 g(x)的解析式; 第二步:由|f(x1)-g(x2)|=2 可确定 f(x1)和 g(x2)对应最值; π 第三步:由|x1-x2|min= 得 x1,x2; 3 第四步:确定 φ 的取值.

[规范解答] 由已知得 g(x)=sin(2x-2φ),① 满足|f(x1)-g(x2)|=2,不妨设此时 y=f(x)和 y=g(x)分别取得 最大值与最小值,② π π π 又|x1-x2|min= ,令 2x1= ,2x2-2φ=- ,此时|x1-x2|= 3 2 2
?π ? π ? ? - φ ?2 ?=3,③ ? ?

π π 又 0<φ< ,故 φ= ,选 D.④ 2 6

[模型构建] 解决此类问题的模型示意图如下:

[感悟体验] 1. (2015· 西安八校联考)若函数
?π ? ? 一个对称中心是?6,0? ?,则 ? ? ? π? ? * y=cos?ωx+6? ( ω ∈ N )图象的 ? ? ?

ω 的最小值为(

)

A.1 C.4

B.2 D.8

[解析]

πω π π * + = k π + ( k ∈ Z) 得 ω = 6 k + 2 ? k ∈ Z ? ,又 ω ∈ N , 6 6 2

所以 ωmin=2,故选 B.

[答案] B

2. (2015· 天星教育二次联考)已知函数

? π? ? f(x)=2cos?ωx+6? ?(ω>0) ? ?

?8π? ?14π? ?8π 14π? ? ? ? ? ? , 满足:f? 3 ?=f? 3 ?,且在区间? ?3 ? 内有最大值但没有最小 3 ? ? ? ? ? ?

值.给出下列四个命题: p1:f(x)在区间[0,2π]上单调递减; p2:f(x)的最小正周期是 4π; π p3:f(x)的图象关于直线 x= 对称; 2
? 4π ? ? p4:f(x)的图象关于点?- 3 ,0? ?对称. ? ?

其中的真命题是( A.p1,p2 C.p2,p4

) B.p1,p3 D.p3,p4

8π 14π + 3 3 11π [解析] 由题意得,当 x= = 时,f(x)取得最大值, 2 3 ?11πω π? 12k-1 11πω π ? ? 则 cos? 3 +6?=1, + =2kπ,ω= (k∈N*),又易知 3 6 22 ? ? 12k-1 2π 14π 8π 1 23 T= ≥ - =2π,0<ω≤1,故 0< ≤1, <k≤ (k∈ ω 3 3 22 12 12 ? x π? 1 ? * + N ),所以 k=1,ω= ,f(x)=2cos? ?2 6?.故 f(x)的最小正周期 T= 2 ? ? ? 4π? 2π ? - = 4π , p2 是真命题,又 f? ? ? = 0 ,因此 f(x) 的图象关于点 3 ω ? ? ? 4π ? ? ? - , 0 ? ?对称,p4 是真命题,故选 C. 3 ? ?

[答案] C