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浙江省杭州市2014届高三命题比赛 数学文(11) Word版含答案


试卷设计说明
本试卷设计是在《学科教学指导意见》的基础上,通过对《浙江考试 2014 第 1 期增刊高考考试说明》与《 2014 高考命题解析》的学习与研究,精心编 撰形成。注重考查学生的基础知识的同时,注重考查对数学思想方法、数学本 质的理解,考查涉及空间想象能力,抽像概括能力,推理论证能力,运算求解 能力,数据图表处理能力以及应用意识和创新意识等。同时也注重学生对通解 通法的掌握,不追求解题的技巧。题目基本上追求原创,部分题目进行了改 编,每个题目都呈现出编者的意图,说明考查的知识点。整个试卷的结构、题 型、分数的分布、内容的选择都力求与高考保持一致,同时也为了更适合本校 学生的整体水平与现阶段的考查要求。对知识点力求全面但不追求全面,做到 突出主干知识,强化基础知识,着力于能力考查,对相关知识联系设问。从了 解、理解、掌握三个层次要求学生。对能力考查做到多层次、多方位,选题以 能力立意,侧重对知识的理解与应用,考查他们知识的迁移及学生思维的广度 与深度。

2014 高考模拟试卷数学卷(文科)第 1 页 共 12 页

试卷命题双向细目表 说明:题型及考点分布按照《2014 考试说明》参考样卷。
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 难度系数 考查内容 集合的含义及运算 不等式及充要条件的判断 空间线面位置关系判断 函数性质与图像奇偶性的判定 从茎叶图中提取基本数字特征平均数和方差 三角函数中的图象平移问题 平面向量概念及数量积运算 函数零点概念及判定 双曲线的定义及几何性质,直线与双曲线的定值定点 复合函数性质和图象 复数运算以及复数虚部的概念 三视图,直观图 程序框图的理解 古典概型的概率 直线与圆 线性规划中的最值及数形结合的思想方法 不等式恒成立综合应用 正余弦定理解三角形 等差等比数列及归纳推理等差等比数列的运算 空间点线面位置关系,证平行求线面角 导数运算法则、导数应用 抛物线的几何性质,直线与抛物线的弦长最大值 分值 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 14 14 14 15 15 150 难易程度 容易题 容易题 容易题 中档题 中档题 中档题 中档题 中等偏难题 中等偏难题 较难题 容易题 容易题 容易题 中档题 中档题 中等偏难题 较难题 容易题 容易题 中档题 中等偏难题 较难题 0.65—0.70

2014 高考模拟试卷数学卷(文科)第 2 页 共 12 页

2014 年高考模拟试卷 数学(文科)卷
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.请考生按规定 用笔将所有试题的答案写在答题纸上.
参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 棱柱的体积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A, B 相互独立, 那么

V=Sh
其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式

P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

V=

1 3

Sh

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 球的表面积公式

Pn(k)=C n pk (1-p)n-k (k = 0,1,2,…, n)
棱台的体积公式
V ? 1 3 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

k

S = 4π R2
球的体积公式
4 3

其中 S1, S2 分别表示棱台的上、下底面积,

V=

πR

3

h 表示棱台的高

其中 R 表示球的半径

第 I 卷(共 50 分)
一、 选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1. (原创)已知集合 A ? {1, 2 }, B ? {a, b}, 若 A
a

1 B ? { } ,则 A B 为( 2
(C) {1, }



(A) { ,1, b}

1 2

(B) {?1, }

1 2

1 2

(D) {?1,

1 ,1} 2

(命题意图:考查集合的运算,属容易题) 2. (原创)已知 a ? 0 且 a ? 1 ,则 loga b ? 0 是 (a ? 1)(b ? 1) ? 0 的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

(命题意图:考查不等式及充要条件的判断,属容易题) 3.(2014 广东一模试题改编)已知直线 l 、 m 与平面 ? 、 ? , l ? ? , m ? ? ,则下列命题 中正确的是 ( ) (B)若 l ? m ,则必有 ? ? ? (D)若 ? ? ? ,则必有 m ? ? (A)若 l // m ,则必有 ? // ? (C) 若 l ? ? ,则必有 ? ? ?

(命题意图:考查不等式及充要条件的判断,属容易题)
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4. (2009 湖北卷改编)函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是

(

)

(命题意图:考查函数的性质,属中档题) 5. (2013 浙江省高考考试说明样卷改编)如下左图是某学校举行十佳歌手比赛,七位评委 为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分 和一个最低分后,所剩数据的平均数与方差分别是( (A)85,2 (B)85, )

7

9

8 9

3 4 5 6
7

7
7 7

5 3

(C)86,2

(D) 86,

5 3

(命题意图:考查从茎叶图中提取基本数字特征如平均数和方差的能力,属中档题) 6.(教材必修 4 改编)为了得到函数 y ? sin 2 x 的图像,只需把 y ? cos 2 x 的图像( (A)向左平移 )

? 4

(B)向右平移

? 4

(C)向左平移

? 2

(D)向左平移

? 2

(命题意图:考查诱导公式及函数图象的平移,属中档题) 7.(原创) 如图 1 ,在 ? ABC 中,AB=3,AC=5,且 O 是 ? ABC 的外心,则 AO · BC 的 值是 ( ) (B) -1 (C) 1 (D) 8

(A) -8

(命题意图:考查平面向量概念及数量积运算,属中档题)

1 3 x ? mx 2 ? 2n ( m, n 为常数) ,当 x ? 2 时, 3 函数 f ( x) 有极值,若函数 f ( x) 只有三个零点,则实数 n 的取值范围是 ( )
8. (2010 广东卷改编)已知函数 f ( x) ? (A) ( 0,

5 ] 3

(B) (0,

2 ) 3

(C) [1,

5 ) 3

(D) [ 0,

2 ] 3

(命题意图:考查对函数极值的理解,零点概念及判定的应用,中等偏难题)

x2 y 2 ? ? 1 右支上一点, F1 , F2 分别是双曲线的左焦点和右焦 9 16 PH ? 点,过 P 点作 PH ? F ( ) 1 F2 ,若 PF 1 ? PF2 ,则 64 8 32 16 (A) (B) (C) (D) 5 5 5 5
9.(原创)设 P 为双曲线 (命题意图:考查双曲线的定义及几何性质,中等偏难题)

? 1 ?x ? , x ? 0 2 10. (引用全品)已知函数 f ( x) ? ? ,若关于 x 的方程 f x ? 2 x ? a 有六个 x ? x3 ? 9, x ? 0 ?

?

?

不同的实根,则常数 a 的取值范围是





2014 高考模拟试卷数学卷(文科)第 4 页 共 12 页

(A) ? 2,9?

(B) ? 2,8?

(C) ?8,9?

(D) ?8,9?

(命题意图:考查分段函数、复合函数的性质与图像,属较难题)

第 II 卷(共 100 分)
二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11. (原创)若 i 是虚数单位,则复数

(1 ? i) 2 ? ___________ 3 ?i

(命题意图:复数运算以及复数虚部的概念,属容易题) 12. (原创)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个 正三角形,则这个几何体的体积是___________ (命题意图:考查三视图,直观图,属容易题) 13. (温州十校联合体 2013 届高三上学期期末联考改编)如果执 行下面的程序框图,那么输出的 S ? ___________ (命题意图:考查程序框图的理解,属容易题) 14 . (原创)某甲上大学前把手机号码抄给同学乙 . 后来同学乙 给他打电话时,发现号码的最后一个数字被撕掉了,于是乙在 拨号时随意地添上最后一个数字,且用过了的数字不再重复.则 拨号不超过 3 次而拨对甲的手机号码的概率是___________ (命题意图:考查古典概型的计算,属中档题) 15. (教材必修 2 改编)求圆心在直线 y ? ?3x 上,并且经过点 (第 12 题图)

A(2, ?1) ,与直线 x ? y ? 1 相切的圆的方程是_____

______

(命题意图:考查直线与圆位置关系中相切问题,属中档题) 16 . ( 2014 浙江考试说明样卷改编)若实数 x, y 满足不等式组

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? ?2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ? _ ? x ? m y ? 1 ? 0, ?
中等偏难题)

_

(命题意图:考查线性规划中的最值及数形结合的思想方法,

17. (2014 浙江考试说明样卷改编)若对于任意的 n ? N , n ? (a ? 4)n ? 3 ? a ? 0 恒成
2

立,则实数的取值范围是__________ (命题意图:考查不等式的恒成立及数形结合能力的思想方法,属偏难题) 三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18. (2011 温州一模改编) (本小题 14 分)在锐角△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分 别为 a , b , c ,若 acsin C ? (a ? c ? b ) sin B ,
2 2 2

2014 高考模拟试卷数学卷(文科)第 5 页 共 12 页

(1)若 ?C ?

?
4

,求 ? A 的大小。

(2)若三角形为非等腰三角形,求

c 的取值范围. b

(命题意图:考查正余弦定理解三角形,属容易题)

19. (2013 广东陆丰碣石中学模拟卷改编) (本小题 14 分)设数列 an 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 2 , a2 ? 8 , S n ?1 ? 4 S n ?1 ? 5S n n ? (1)求数列 an 的通项公式; (2)求 Tn ; (3)求满足 ?1 ?

?

? ? 2 ? , T 是数列 ?log
n

2

an ? 的前 n 项和.

? ?
? ?

1 ?? 1? 1? ? ? ?? ? T2 ? ? T3 ? ?

? 1? 1010 ?? ?1 ? T ? ? ? 2013 的最大正整数 n 的值. n ? ?

(命题意图:考查等差等比数列及归纳推理,属容易题)

2014 高考模拟试卷数学卷(文科)第 6 页 共 12 页

20. (2012 全国卷改编) (本小题 14 分)边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?A ? 60 , 沿 BD 折成直二面角, 过点 A 作 PA ? 平面 ABC ,且 AP ? 2 3 . (1)求证: PA / / 平面 DBC ; (2)求直线 PC 与平面 DBC 所成角的大小.
Ks*5u

?

P

C

D

C
D

B

A

B

A

(命题意图:本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角等基础知识,考查空间想象 能力和运算求解能力,属中档题)

21. (2013 山东青岛一模拟卷改编) (本小题 15 分)已知函数 f ( x) ? a( x 2 ? 1) ? ln x (1)讨论函数 f ( x) 的单调性;
2

(2)若对任意 a ? (?4,?2) 及 x ? [1,3] ,恒有 ma ? f ?x ? ? a 成立,求实数 m 的取值范围. (命题意图:考查利用导数研究函数的性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨 论等综合解题能力和创新意识,中等偏难题)

2014 高考模拟试卷数学卷(文科)第 7 页 共 12 页

22 . ( 2011 镇海中学模拟卷改编) (本小题 15 分)抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的准线方程为
y ? ?1 .

(1)求抛物线的方程; ( 2 )设 F 是抛物线的焦点,直线 l : y ? kx ? b ( k ? 0) 与抛物线交于 A, B 两点,记直线
AF , BF 的斜率之和为 m .求常数 m ,使得对于任意的实数 k ( k ? 0) ,直线 l 恒过定点,

并求出该定点的坐标. (命题意图:考查抛物线方程与性质,直线与抛物线的定值定点,及解析几何的基本思想 方法,属偏难题)

2014 高考模拟试卷数学卷(文科)第 8 页 共 12 页

2014 年高考模拟试卷 数学(文科)参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分 细则。 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题 的内容与难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分 1 分。 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分, 满分 50 分。 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 A 5 A 6 B 7 D 8 B 9 D 10 C

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11. ?

1 3 ? i 2 2
3 4
2

12.

3 3

13.2550

14.

3 10

15. ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2

9 4

25 8

16.1

17. ? , ?? ?

?1 ?3

? ?

三、解答题(本大题有 5 小题, 共 72 分) 18. (本小题满分 14 分) 解:(1)? acsin C ? (a ? c ? b ) sin B
2 2 2

sin C a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c2 ? b2 ? ?2 ? 2 cos B ……………2 分 sin B ac 2ac ……………3 分 ? sin C ? sin 2 B 所以 C ? 2 B或C ? 2 B ? ? ……………4 分 ? ? (a)若 C ? 2 B , ?C ? ,则 ?A ? . ……………5 分 4 4 ? 3? (b)若 C ? 2 B ? ? , ?C ? ,则 ?A ? . ……………6 分 4 8 (2) 若三角形为非等腰三角形,则 C ? 2 B 且 ?A ? ? ? B ? C ? ? ? 3B …………8 分 ? ? 又因为三角形为锐角三角形, 0 ? 2 B ? ,0 ? ? ? 3B ? 2 2 ? ? 故 ? ?B ? ……………10 分 6 4 c sin C ? ? 2 cos B 而 ……………12 分 b sin B

?

2014 高考模拟试卷数学卷(文科)第 9 页 共 12 页

所以

c ? ( 2 , 3) b

……………14 分

19.(本小题满分 14 分) 解: (1)∵当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 5Sn , ∴ S n ? 1 ? S n ? 4 S n ? S n ?1 . ∴ an ?1 ? 4an . ∵ a1 ? 2 , a2 ? 8 , ∴ a2 ? 4a1 . ∴数列 an 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 4 的等比数列. ∴ an ? 2 ? 4n ?1 ? 22n ?1 . (2)由(1)得: log2 an ? log2 22n ?1 ? 2n ? 1, ∴ Tn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ……………4 分 ……………5 分 ……………3 分

?

?

……………1 分 ……………2 分

? ?

?1? 3?

?

n ?1 ? 2n ? 1? 2

? ? 2n ? 1?

? log2 an
……………6 分 ……………7 分 ……………8 分

? n2 . ? ? 1 ?? 1? 1? 1 ? ? ? 1 ? (3) ?1 ? ? ? ? ?? ? T2 ? ? T3 ? Tn ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?? 1? 1? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 2 ? ? ? ?1 ? 2 ? 2 ?? 3 ? n ? ? ? 2 2 2 2 ?1 3 ?1 4 ?1 n2 ? 1 ? ? ? ? ? 22 32 42 n2 1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ? ? n ? 1? ? n ? 1? ? 22 ? 32 ? 42 ? ? n2 n ?1 ? . 2n n ? 1 1010 4 ? 令 ,解得: n ? 287 . 2013 7 2n 故满足条件的最大正整数 n 的值为 287 .
20. (本小题满分 14 分) (1)取 BD 的中点 O ,连接 CO ,则 CO ? BD . 又∵平面 DBC ? 平面 ABD ,平面 DBC ∴ CO ? 平面 ABD . 而 AP ? 平面 ABD ,∴ CO // PA .

……………9 分

……………10 分 ……………11 分 ……………13 分 ……………14 分

………………1 分

平面 ABD ? BD , …………………………3 分 ……………………4 分 …7 分

又∵ CO 在平面 DBC 内, PA ? 平面DBC ∴ PA / / 平面 DBC .

2014 高考模拟试卷数学卷(文科)第 10 页 共 12 页

(2)∵ CO // PA ,∴ OAPC 四点共面.连接 AO 并延长交 PD 延长线为 H . ∵平面 DBC ? 平面 ABD ,平面 DBC 平面 ABD ? BD , AH ? BD ,

∴ AH ? 平面 BCD ,∴直线 CO 即直线 PH 在平面 BCD 内的射影. ∴ ?HCO 即直线 PH 平面 BCD 所成的角. ………………10 分

P

1 PA ,∴ OC是?PAH 的中位线. 2 ∴ OH ? OA ? 3 . H 又∵ OC ? 3 ,∴ tan ?HCO ? 1
∵ OC ? ∴ ?HCO ? 45
?

C

O
B

D A

………………13 分

因此直线 PC 与平面 DBC 所成角为 45 21. (本小题满分 15 分) 解: (1) f ?( x) ? 2ax ?

………………14 分

1 2ax2 ? 1 ? ( x ? 0) x x

…………………2 分

① a ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数; ………………4 分 ②当 a ? 0 时,

1 1 ) 上是增函数; 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (0, ? 2a 2a 1 1 ,??) 上是减函数 …………6 分 当x? ? 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 ( ? 2a 2a 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 上是增函数;
当0 ? x ?

?

当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ?

1 ) 上是增函数, 2a

1 ,??) 上是减函数. ………………7 分 2a 1,3? 时, (2)由题意知对任意 a ? ?? 4,?2? 及 x ? ?
f ( x) 在 ( ?
恒有 ma ? f ?x ? ? a 成立,等价于 ma ? a 2 ? f ?x?max
2

因为 a ? ?? 4,?2? ,所以

2 1 1 ? ? ? ?1 4 2a 2

1,3? 上是减函数 由(1)知:当 a ? ?? 4,?2? 时, f ( x) 在 ?
所以 f ( x) max ? f (1) ? 2a 所以 m a ? a ? 2a ,即 m ? a ? 2
2

…………………11 分

因为 a ? ?? 4,?2? ,所以 ? 2 ? a ? 2 ? 0 所以实数 m 的取值集合为 m ? a ? 2 {m | m ?
2}

…………………13 分 ……………………15 分

2014 高考模拟试卷数学卷(文科)第 11 页 共 12 页

22. (本小题满分 15 分) 解: (1)∵ y ? ax2 ,∴ x 2 ?

1 y. a
1 . 4a
………………3 分

∴抛物线 C 的准线方程为: y ? ? ∴?

1 1 ? ?1 ,解得 a ? . 4a 4
………………6 分

∴抛物线 C 的方程是 x 2 ? 4 y . (2) F (0,1) ,设 A ( x1 ,
2 x1 x2 ) ,B ( x2 , 2 ) , 4 4

? y ? kx ? b 由? 2 ,得 x 2 ? 4kx ? 4b ? 0 . x ? 4 y ?
∴ x1 ? x 2 ? 4k , x1 x 2 ? ?4b , ? ? 16k 2 ? 16b ? 0 . ………………8 分

k AF ? k BF

2 2 x1 x2 ?1 ?1 2 x 2 x ? 4 x 2 ? x 2 x1 ? 4 x1 ( x1 ? x 2 )( x1 x 2 ? 4) ? 4 ? 4 ? 1 2 ? x1 x2 4 x1 x 2 4 x1 x 2

?

4k ( ?4b ? 4) k (b ? 1) ? ? m. 4( ?4b ) b

………………10 分

∴b?

k k .∴直线 l : y ? kx ? . m?k m?k
………………12 分

令 xk 2 ? (mx ? y ? 1)k ? my ? 0 对任意的 k ( k ? 0) 恒成立.
?x ? 0 ?x ? 0 ? ? 则 ? mx ? y ? 1 ? 0 ,解得 ? y ? ? 1 . ? my ? 0 ?m ? 0 ? ?

所以, m ? 0 ,直线 l 过定点 (0,?1) .

………………15 分

2014 高考模拟试卷数学卷(文科)第 12 页 共 12 页


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