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4.1.1 圆的标准方程


圆的标准方程教案 教学目标 (1)在理解推导过程的基础上,掌握圆的标准方程的形式特点,理解 方程中各个字母的含义,能合理应用平面几何中圆的有关性质,结合方程 解决圆的有关问题. (2)理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线;从圆外一点引 切线;已知切线斜率求切线等. 教学重点和难点 重点:圆的标准方程的理解、应用;圆的切线方程.(已知切点求切 线;从圆外一点引切线;已知切线斜率求切线). 难 点:从圆外一点引切线,求切线方程,已知切线斜率求切线. 教学过程设计 (一)导入新课,教师讲授. 同学们,前面我们研究了直线(特殊的曲线)的方程及其有关问题,今 天我们研究圆及与圆有关的问题. 什么是“圆”.想想初中我们学过的圆的定义. “平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆”. 定点就是圆心,定长就是半径. 根据圆的定义,我们来求圆心是 c(a,b),半径是 r 的圆的方程.(启 发引导学生推导). 设 M(x,y)是圆上任意一点,圆心坐标为(a,b),半径为 r. 则│CM│=r, 两边平方. (x-a)2+(y-b)2=r2, 我们得到圆的标准方程, 这就是圆心为 C(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准 方程. 如果圆的圆心在原点.O(0,0).即 a=0.b=0. 这时圆的方程为 . 下面我们用大家学过的向量知识再来推导一下圆的方程. 设 M(x,y)是圆上任意一点,过圆心 C(a,b),作 x 轴的平行线与圆交 于 A、B 两点,则 A 点坐标为(a-r,b),B 点坐标为(a+r,b), =(x-(a-r),y-b)、 M 为圆上一点,AM⊥BM, =(x-(a+r),y-b), · =0. [x-(a-r)][x-(a+r)]+(y-b)2=0, 整理得.(x-a) +(y-b) =r . 例 1.求以 C(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的方 程. 2 2 2 解:已知圆心 C(1,3),现在来求圆的半径 r,因圆心到切线的距离 等于半径, 例 2 图 7-37 是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度 AB=20m, 拱高 OP=4m,在建造时每隔 4m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2P2 的长度. [师生共同分析思路] 如图,先确定有关各点的坐标,A(-10,0)、B(10,0)、P(0,4),再找出 圆拱所在圆的方程,设这圆的圆心为(0,b),半径为 r,则圆的方程为 2 2 2 x +(y-b) =r ,由,A、B、P 这些已知点,选 A、P 或 B、P 代入圆的方程, 可以求出 b 和 r,这样,这个圆的方程就为已知.P2 点为圆上一点,满足圆 的方程,P2 的坐标为(-2,y2),把 x=-2 代入圆的方程,求出 y2,∴A2P2 的长 度为 y2.

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