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2017_2018学年高中数学第二章基本初等函数12.2.1对数与对数运算第一课时对数学案含解析新人

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2.2.1 对数与对数运算
第一课时 对 数

对数
[提出问题] 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,……,依次类推. 问题 1:1 个这样的细胞分裂 2 次得到多少个细胞?分裂 x 次得到多少个细胞? 提示:22=4 个,2x 个. 问题 2:分裂多少次可得到 8 个?16 个呢?如何求解? 提示:由 2x=8,得 2x=23,即 x=3; 由 2y=16,得 2y=24,即 y=4. [导入新知]
对数的概念 (1)定义: 如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN.其中,a 叫做对数的底数,N 叫做真数. (2)常用对数与自然对数: 通常将以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 log10N 记作 lg_N;以无理数 e=2.718 28… 为底的对数称为自然对数,并且把 logeN 记为 ln_N. [化解疑难]
对数的概念中规定“a>0,且 a≠1”的原因 (1)若 a<0,则当 N 为某些值时,x 的值不存在.如 x=log-28 不存在. (2)若 a=0, ①当 N≠0 时,x 的值不存在.如 log03(可理解为 0 的多少次幂是 3)不存在. ②当 N=0 时,x 可以是任意实数,是不唯一的,即 log00 有无数个值. (3)若 a=1, ①当 N≠1 时,x 的值不存在.如 log13 不存在. ②当 N=1 时,x 可以为任意数,是不唯一的,即 log11 有无数个值. 因此规定 a>0,且 a≠1.
1

对数与指数的关系及性质

[导入新知] 1.对数与指数的关系 当 a>0,且 a≠1 时,ax=N?x=logaN.前者叫指数式,后者叫对数式. 2.对数的性质

性质 1

负数和零没有对数

性质 2

1 的对数是 0,即 loga1=0(a>0,且 a≠1)

性质 3 底数的对数是 1,即 logaa=1(a>0,且 a≠1)

[化解疑难]

剖析指数式 ax=N 和对数式 x=logaN 的关系 (1)对数的概念中出现了两个等式:指数式 ax=N 和对数式 x=logaN,这两个等式是等

价的,它们之间的关系如下:

根据这个关系可以将指数式化成对数式,也可以将对数式化成指数式. (2)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表:

式子

指数式 对数式

ax=N x=logaN

a 底数 底数

名称 x
指数 对数

N 幂 真数

对数的概念 [例 1] 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)2-7=1218;(2)3a=27;(3)10-1=0.1; (4)log 1 32=-5;(5)lg 0.001=-3.
2
1 [解] (1)log2128=-7. (2)log327=a. (3)lg 0.1=-1.
2

(4)???12???-5=32.
(5)10-3=0.001. [类题通法]
指数式与对数式互化的方法 将指数式化为对数式,只需要将幂作为真数,指数当成对数值,而底数不变即可;而将 对数式化为指数式,则反其道而行之.指数式与对数式的互化是一个重要内容,应熟练掌握. [活学活用] 将下列指数式与对数式互化: (1)log216=4;(2)log 1 27=-3;
3
(3)log 3x=6;(4)43=64; (5)3-2=19;(6)???14???-2=16. 解:(1)24=16. (2)???13???-3=27. (3)( 3)6=x. (4)log464=3.
1 (5)log39=-2. (6)log 16=-2.
1 4
对数的性质
[例 2] 求下列各式中 x 的值: (1)log5(log3x)=0; (2)log3(lg x)=1; (3)ln[log2(lg x)]=0. [解] (1)设 t=log3x,则 log5t=0,∴t=1, 即 log3x=1,∴x=3. (2)∵log3(lg x)=1, ∴lg x=3,∴x=103=1 000. (3)∵ln[log2(lg x)]=0, ∴log2(lg x)=1, ∴lg x=2,
3

∴x=102=100.

[类题通法] 对数性质的运用技巧
logaa=1 及 loga1=0 是对数计算的两个常用量,可以实现数 1,0 与对数 logaa 及 loga1 的互化.
[活学活用] 已知 log2(log3(log4x))=log3(log4(log2y))=0,求 x+y 的值. 解:∵log2(log3(log4x))=0, ∴log3(log4x)=1,∴log4x=3.∴x=43=64. 同理求得 y=16.∴x+y=80.

利用指数与对数的互化求变量的值

[例 3] 求下列各式中 x 的值:

(1)logx27=32;(2)log2x=-23;

(3)x=log2719;(4)x=log 1 16.
2

[解]

(1)由

3 logx27=2,可得

x

3 2

=27,

2

2

∴x=27 3 =(33) 3 =32=9.

(2)由

log2x=-23,可得

x=2

?

2 3

.

∴x=???12???

2 3



3

1 32 4= 2 .

(3)由 x=log2719,可得 27x=19,

∴33x=3-2,∴x=-23.

(4)由 x=log 1 16,可得???12???x=16. 2
∴2-x=24,∴x=-4.

[类题通法]

指数与对数互化的本质 指数式 ab=N(a>0,且 a≠1)与对数式 b=logaN(a>0,a≠1,N>0)之间是一种等价关系.已

4

知对数式可以转化成指数式,指数式同样可以转化成对数式.

[活学活用] 求下列各式中 x 的值: (1)logx8=6;(2)x=log84; (3)log64x=-23;(4)-ln e3=x. 解:(1)∵logx8=6,∴x6=8. 又∵x>0,

1

1

1

∴x=8 6 =(23) 6 =2 2 = 2.

(2)∵x=log84, ∴8x=4,

即 23x=22,

∴3x=2,∴x=23.

(3)∵log64x=-23,

∴x=64

?

2 3

=(43)

?

2 3

=4-2=116.

(4)∵-ln e3=x,

∴ln e3=-x,

∴e3=e-x,

∴x=-3.

7.警惕对数式底数和真数的取值范围

[典例] 对数式 log(a-2)(5-a)=b 中,实数 a 的取值范围是( )

A.(-∞,5)

B.(2,5)

C.(2,+∞)

D.(2,3)∪(3,5)

[解析]

?? 5-a>0, 由题意,得?a-2>0,
??a-2≠1,

∴2<a<3 或 3<a<5. [答案] D

5

[易错防范] 1.本题极易只注意真数大于 0,即 5-a>0 而忽视底数 a-2 也大于 0,从而得出 a<5

的错误结论,从而误选 A.

2.在求解对数形式表达式中参数的取值范围时,应根据对数中的底数和真数满足的要

求列出不等式组,进而求解即可.

[活学活用]

若对数 log(x-1)(4x-5)有意义,则 x 的取值范围是( )

A.???54,2???

B.???52,2???

C.???54,2???∪(2,+∞)

D.[2,3]

解析:选 C

?? 4x-5>0, x 应满足?x-1>0,
??x-1≠1,

∴x>54且 x≠2.

[随堂即时演练]

1.已知 logx16=2,则 x 等于( )

A.4

B.±4

C.256

D.2

解析:选 A 改写为指数式 x2=16,但 x 作为对数的底数,必须取正值,∴x=4.

2.若

7 logx

y=z,则

x,y,z

之间满足(

)

A.y7=xz

B.y=x7z

C.y=7xz

D.y=z7x

解析:选 B 7 y=xz,∴y=(xz)7=x7z,把对数式转化为指数式,并进行运算.

3.已知

log2x=3,则

x

?

1 2

=________.

解析:∵log2x=3,

∴x=23=8,

∴x

?

1 2



1 =
x

1 = 8

2 4.

答案:

2 4

6

4.若 log7[log3(log 1 x)]=0,则 x=________.
2
解析:∵log7[log3(log 1 x)]=0,
2
∴log3(log 1 x)=1,
2
∴log x=3, 1 2
∴x=???12???3=18.
答案:18

5.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)53=125; (2)4-2=116;

(3)log 1 8=-3;
2
1 (4)log327=-3. 解:(1)∵53=125,∴log5125=3. (2)∵4-2=116,∴log4116=-2.

(3)∵log 1 8=-3,∴???12???-3=8. 2
(4)∵log3217=-3,∴3-3=217.

[课时达标检测]

一、选择题

1.已知 loga2b=c,则有( )

A.a2b=c

B.a2c=b

C.bc=2a

D.c2a=b

解析:选 B 根据指数与对数之间的关系转化,有(a2)c=b,即 a2c=b.

2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )

A.e0=1 与 ln 1=0

?1 1

11

B.8 3 =2与 log82=-3

7

1
C.log39=2 与 9 2 =3 D.log77=1 与 71=7 解析:选 C 由指对互化的关系 ax=N?x=logaN 可知 A,B,D 都正确;C 中 log39=2 ?9=32. 3.下列各式中正确的个数是( )
①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若 10=lg x,则 x=10;④由 log25x=12,得 x=

±5.

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:选 B 底的对数为 1,1 的对数为 0,故①②正确,0 和负数没有对数,故④错误,

③中 10=lg x,应该有 x=1010,所以,只有①②正确.

4.已知 x2+y2-4x-2y+5=0,则 logx(yx)的值是( )

A.1

B.0

C.x

D.y

解析:选 B 由 x2+y2-4x-2y+5=0,

则(x-2)2+(y-1)2=0,

∴x=2,y=1.logx(yx)=log2(12)=0.

5.若

a>0,a

2 3

=49,则

log

2

a

等于(

)

3

A.2

B.3

C.4

D.5

解析:选 B

∵a

2 3

=49,a>0,

∴a=???49???

3 2

=???23???3,

设 log 2 a=x,∴???23???x=a. 3
∴x=3.

二、填空题

6.求值:lg 10 000=________;lg 0.001=________.

解析:熟悉常用对数符号,并由指数运算得结果.由 104=10 000 知 lg 10 000=4,10

-3=0.001 得 lg 0.001=-3,注意常用对数不是没有底数,而是底数为 10.

答案:4 -3

8

7.方程 log2(1-2x)=1 的解 x=________. 解析:∵log2(1-2x)=1=log22, ∴1-2x=2,∴x=-12.

经检验满足 1-2x>0.

1 答案:-2

8.求值:log6[log4(log381)]=________. 解析:令 t=log381,则 3t=81=34, ∴t=4,即 log381=4. 原式=log6(log44)=log61=0. 答案:0

三、解答题

9.若 log 1 x=m,log 1 y=m+2,求xy2的值.

2

4

解:∵log 1 x=m,∴???12???m=x,x2=???12???2m. 2

∵log 1 y=m+2,∴???14???m+2=y,y=???12???2m+4. 4

∴xy2=??????1212??????2m2+m 4=???12???2m-(2m+4)=???12???-4=16.

10.求下列各式中 x 的值.

(1)log2(log4x)=0;

(2)log

1 2-13+2

=x. 2

解:(1)∵log2(log4x)=0, ∴log4x=1, ∴x=4.

(2)∵log

1 2-13+2

=log 2

2-1(3-2

2)=x,

∴( 2-1)x=3-2 2=( 2-1)2,

∴x=2.

9

11.设 loga2=m,loga3=n,求 a2m+n 的值. 解:∵loga2=m,loga3=n, ∴am=2,an=3, ∴a2m+n=a2m·an=(am)2·an =22×3=12. 12.已知二次函数 f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a 的最大值为 3,求 a 的值. 解:原函数式可化为 f(x)=lg a(x+lg1 a)2-lg1 a+4lg a.

∵f(x)有最大值 3, ∴lg a<0,且-lg1 a+4lg a=3, 整理得 4(lg a)2-3lg a-1=0, 解之得 lg a=1 或 lg a=-14.

又∵lg a<0, ∴lg a=-14.

∴a=10

?

1 4

.

10


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