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解析几何的典型问题与分析_图文

解析几何的典型问题与分析
一.高考要求 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程;从直线的点斜式方程出发推 导出直线方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当 的方程形式写出直线的方程,熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化,能利用直线的 方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,知道线性规划的意义,知道线 性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法 解决线性规划问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用; 会用线性规划方法解决一些实际问题. 3. 理解“曲线的方程” 、 “方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求 曲线的方程的方法. 4.掌握圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r>0) ,明确方程中各字母的几何意 义,能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆
2 2 2

心坐标和半径,掌握圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,知道该方程表示圆的充 要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方 程,理解圆的参数方程 ?

? x ? r cos ? (θ 为参数) ,明确各字母的意义,掌握直线与圆的位 ? y ? r sin ?

置关系的判定方法. 5.正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双 曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程; 能根据条件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何 性质:范围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地 画出椭圆、双曲线和抛物线;掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义;利用椭 圆、双曲线和抛物线的几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问 题;理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线 和抛物线位置关系的判定方法. 二主要内容 (一)直线和圆的方程 1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、 两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 3.了解二元一次不等式表示平面区域。 4.了解线性规划的意义,并会简单的应用。 5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法。 6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程。 (二)圆锥曲线方程 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。 4.了解圆锥曲线的初步应用。
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三.知识归纳

(Ⅰ)基础知识详析
高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和填 空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥 曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲 线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识 和向量的基本方法 ,这一点值得强化。 ....... ........ (一)直线的方程 1.点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ;2. 截距式: y ? kx ? b ;

y ? y1 x ? x1 x y ;4. 截距式: ? ? 1 ; ? a b y 2 ? y1 x2 ? x1 5.一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A、B 不同时为 0.
3.两点式: (二)两条直线的位置关系 两条直线 l1 , l 2 有三种位置关系:平行(没有公共点) ;相交(有且只有一个公共点) ; 重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交. 设直线 l1 : y = k 1 x + b1 ,直线 l 2 : y = k 2 x + b2 ,则

l1 ∥ l 2 的充要条件是 k 1 = k 2 ,且 b1 = b2 ; l1 ⊥ l 2 的充要条件是 k 1 k 2 =-1.
(三)线性规划问题 1.线性规划问题涉及如下概念: ⑴存在一定的限制条件,这些约束条件如果由 x、y 的一次不等式(或方程)组成的不等 式组来表示,称为线性约束条件. ⑵都有一个目标要求,就是要求依赖于 x、y 的某个函数(称为目标函数)达到最大值或 最小值.特殊地,若此函数是 x、y 的一次解析式,就称为线性目标函数. ⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合,叫做可行域. ⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解,叫做这个问题的最优解. 2.线性规划问题有以下基本定理: ⑴ 一个线性规划问题,若有可行解,则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的. ⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题,最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题 1.圆的标准方程 ,称为圆的标准方程,其圆心坐标为(a,b) ,半径为 r. ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r>0) 2 2 2 特别地,当圆心在原点(0,0) ,半径为 r 时,圆的方程为 x ? y ? r . 2.圆的一般方程

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0)称为圆的一般方程, D E 1 D 2 ? E 2 ? 4F . 其圆心坐标为( ? , ? ) ,半径为 r ? 2 2 2
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当 D ? E ? 4 F =0 时,方程表示一个点( ?
2 2 2 2

D E ,? ) ; 2 2

当 D ? E ? 4 F <0 时,方程不表示任何图形. 3.圆的参数方程 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系:

? x ? r cos ? x2 ? y2 ? r 2 ? ? ? y ? r sin ?
( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ?

(θ 为参数)

? x ? a ? r cos ? ? ? y ? b ? r sin ?

(θ 为参数)

(五)椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义: 椭圆的定义中, 平面内动点与两定点 F1 、F2 的距离的和大于| F1 F2 | 这个条件不可忽视 .若这个距离之和小于 | F1 F2 | ,则这样的点不存在;若距离之和等于 | F1 F2 |,则动点的轨迹是线段 F1 F2 .

x2 y2 y2 x2 2.椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0) , 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0). a b a b 2 3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果 x 项的分母 大于 y 2 项的分母,则椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定 系数法求解. (六)椭圆的简单几何性质

x2 y2 1.椭圆的几何性质:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0). a b ⑴ 范围: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线 x= ? a 和 y= ? b 所围成的矩形里.
⑵ 对称性:分别关于 x 轴、y 轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭 圆的中心. ⑶ 顶点:有四个 A1 (-a,0) 、 A2 (a,0) B1 (0,-b) 、 B2 (0,b). 线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e ?

c 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平 a c a

程度.0<e<1.e 越接近于 1 时,椭圆越扁;反之,e 越接近于 0 时,椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 ⑴ 定义:平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e ? (e<1=时,这个动点的轨迹是椭圆. ⑵ 准线:根据椭圆的对称性, 为x ? ?

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)的准线有两条,它们的方程 a2 b2

a2 y2 x2 .对于椭圆 2 ? 2 ? 1( a > b >0)的准线方程,只要把 x 换成 y 就可以了, c a b
120

即y??

a2 . c

3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

x2 y2 设 F1 (-c,0) , F2 (c,0)分别为椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的左、右两焦点, a b M(x,y)是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为 MF1 ? a ? ex , MF2 ? a ? ex .
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 a = b + c 、 e ?
2 2 2

c 两个关系,因此确定椭圆的 a

标准方程只需两个独立条件. (七)椭圆的参数方程 椭圆

? x ? a cos ? x2 y2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的参数方程为 ? (θ 为参数). 2 a b ? y ? b sin ?
b tan ? ; a

说明 ⑴ 这里参数θ 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角θ 与直线 OP 的倾斜角α 不同: tan ? ?

⑵ 椭圆的参数方程可以由方程

x2 y2 ? ? 1 与三角恒等式 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 相比较 a2 b2

而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (八)双曲线及其标准方程 1.双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小于 | F1 F2 |)的动点 M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a<| F1 F2 |,这一条 件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| F1 F2 |,则动点的轨迹是两条 射线;若 2a>| F1 F2 |,则无轨迹. 若 MF1 < MF2 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 MF1 > MF2 时, 轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”. 2. 双曲线的标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a>0,b>0).这里 和 a2 b2 a2 b2
2

b 2 ? c 2 ? a 2 ,其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 2 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样, 通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方 程后,运用待定系数法求解. (九)双曲线的简单几何性质

c x2 y2 1.双曲线 2 ? 2 ? 1 的实轴长为 2a, 虚轴长为 2b, 离心率 e ? >1, 离心率 e 越大, a a b
双曲线的开口越大.
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b x2 y2 x2 y2 y ? ? x ? ? 0 .若已知双曲 的渐近线方程为 或表示为 ? ? 1 a a2 b2 a2 b2 m 线的渐近线方程是 y ? ? x ,即 m x ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: n 2 2 2 2 m x ? n y ? k ,其中 k 是一个不为零的常数.
2. 双曲线 3.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大

x2 y2 ? ? 1 ,它的焦点坐标是 a2 b2 a2 a2 (-c,0)和(c,0) ,与它们对应的准线方程分别是 x ? ? 和x ? . c c c 2 2 2 在双曲线中,a、b、c、e 四个元素间有 e ? 与 c ? a ? b 的关系,与椭圆一样确 a
于 1 的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 定双曲线的标准方程只要两个独立的条件. (十)抛物线的标准方程和几何性质 1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫 抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点,这条定直线 l 叫抛物线的准线。 需强调的是,点 F 不在直线 l 上,否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线,而不是抛物 线。 2.抛物线的方程有四种类型:

y 2 ? 2 px 、 y 2 ? ?2 px、 x 2 ? 2 py 、 x 2 ? ?2 py .
对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项 即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向;一次项前面是 负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。 3.抛物线的几何性质,以标准方程 y2=2px 为例 (1)范围:x≥0; (2)对称轴:对称轴为 y=0,由方程和图像均可以看出; (3)顶点:O(0,0) ,注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心) ; (4)离心率:e=1,由于 e 是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的; (5)准线方程 x ? ?

p ; 2

122

(6)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) ,F 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的 焦半径公式分别为(p>0) :

p ; y 2 ? ?2 px : PF ? ? x1 ? 2 p x 2 ? 2 py : PF ? y1 ? ; x 2 ? ?2 py : PF ? ? y1 ? 2 y 2 ? 2 px : PF ? x1 ?

p 2 p 2

(7)焦点弦长公式:对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。 设过抛物线 y2=2px(p>O)的焦点 F 的弦为 AB,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的倾斜角为 α ,则有①|AB|=x 1 +x 2 +p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求。 (8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程: x +bx+c=0,当 a≠0 时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可; 但如果 a=0, 则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线, 此时, 直线和抛物线相交, 但只有一个公共点。 (十一)轨迹方程 ⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解; ⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形或轨迹). (十二)注意事项 1. ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念, 斜率 k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度. 当斜率 k 存在时,直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时,直线方程为 x=a (a∈R).因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率 k 存在与否,要分别考虑. ⑵ 直线的截距式是两点式的特例, a、 b 分别是直线在 x 轴、 y 轴上的截距, 因为 a≠0, b≠0,所以当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点,不能用截距式求出它的方程, 而应选择其它形式求解. ⑶求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式. ⑷当直线 l1 或 l 2 的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 ⑸在处理有关圆的问题,除了合理选择圆的方程,还要注意圆的对称性等几何性质的 运用,这样可以简化计算. 2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上,还是两种 都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行 a、b、c、e 间的互求,并能根据所给的方 程画出椭圆. ⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方
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2

程后,运用待定系数法求解.

b x2 y2 x2 y2 y ? ? x ? ? 0 .若已知双曲 ? ? 1 的渐近线方程为 或表示为 a a2 b2 a2 b2 m 线的渐近线方程是 y ? ? x ,即 m x ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: n 2 2 2 2 m x ? n y ? k ,其中 k 是一个不为零的常数.
⑷双曲线 ⑸双曲线的标准方程有两个

x2 y2 y2 x2 和 ? ? 1 ? ? 1 (a>0,b>0).这里 a2 b2 a2 b2

b 2 ? c 2 ? a 2 ,其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
⑹求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再求抛物线的 标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数 p 的值.同时, 应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方 程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个.

(Ⅱ)2006 年高考题例
1. (2006 年福建卷)已知双曲线
o

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜 a 2 b2

角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( C ) (A) (1, 2] (B) (1, 2) (C) [2, ??) (D) (2, ??)

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的 2. (2006 年安徽卷)若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 6 2
2

值为( ) A. ?2
2 2

B. 2

C. ?4

D. 4

解:椭圆

p ? 4 ,故选 D。

x y ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 6 2

3. (2006 年广东卷)已知双曲线 3x 2 ? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于 A.

2

B.

2 3 3

C. 2

D.4

c 2 3 ? ? 2 ,故选 C. a 3 ? x2 y 2 ? 1(a ? 2) 的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线 4. (2006 年陕西卷)已知双曲线 2 ? 3 a 2
3.依题意可知 a ? 3, c ?

a2 ? b2 ? 3 ? 9 ? 2 3 , e ?

的离心率为 (D) (A)

2 3 3

(B)

2 6 3

(C) 3 )

(D)2

5. (2006 年上海春卷)抛物线 y 2 ? 4x 的焦点坐标为( B

124

(A) ( 0, 1 ) .

(B) ( 1, 0 ) .

(C) ( 0, 2 ) .

(D) ( 2, 0 ) .

6. (2006 年上海春卷) 若k ?R, 则 “k ? 3” 是 “方程 (A)充分不必要条件. (C)充要条件.

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线” 的( A ) k ?3 k ?3 (B)必要不充分条件.

(D)既不充分也不必要条件. x2 7. (2006 年全国卷 II)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个 3 焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 (C ) (A)2 3 (B)6 (C)4 3 (D)12 x2 y2 4 8. (2006 年全国卷 II)已知双曲线 2- 2=1的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心 3 a b 率为 (A ) 5 4 5 3 (A) (B) (C) (D) 3 3 4 2 9. (2006 年四川卷) 已知两定点 A? ?2,0? , B ?1,0? , 如果动点 P 满足 PA ? 2 PB , 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于(B) (A) 9? (B) 8? (C) 4?
2

(D) ?

10. (2006 年四川卷)直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物 线的准线作垂线,垂足分别为 P, Q ,则梯形 APQB 的面积为(A) (A) 48 (B) 56
2 2

(C) 64

(D) 72

11. (2006 年四川卷)如图,把椭圆

x y ? ? 1 的长轴 25 16 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部 F 是椭圆的一个焦点, 分于 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点,

35 _________; 则 PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7 F ? _______
12. (2006 年天津卷)如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线方程 为y?

2 x ,那么它的两条准线间的距离是( C )

A. 6 3 B. 4 C. 2 D. 1 13. (2006 年湖北卷) 设过点 P?x, y ? 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA ,且 OQ ? AB ? 1 ,则

P 点的轨迹方程是(D) 3 2 2 A. 3 x ? y ? 1? x ? 0, y ? 0 ? 2 3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? C. 2

B. 3x ?
2

3 2 y ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

D.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

14.解选 D.由 BP ? 2 PA 及 A, B 分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴上知, A(

??? ? 3 ???? AB ? (? x,3 y ) , Q ( ? x, y ) , B(0,3 y) , 由点 Q 与点 P 关于 y 轴对称知, OQ = (? x, y ) , 2
125

3 x, 0), 2

???? ??? ? 3 3 OQ ? AB ? (? x,3 y ) ? (? x, y ) ? x 2 ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 。 则 2 2
15. (2006 年全国卷 I)双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? A. ?

1 4

B. ?4

C. 4

D.

1 4

15.一看带参,马上戒备:有没有说哪个轴是实轴?没说,至少没有明说。分析一下, 因为等号后为常数“+” ,所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2 的系数为“+” ,所以这 个双曲线是“立”着的。接下来排除 C、D 两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线, “x2”

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 与 “y2” 的系数的符号就不能相同。 在接下来是一个 “坑儿” : 双曲线的标准形式是 a y2 x2 ? 2 ?1 2 b 或a ( a, b ? 0 ) ,题目中的双曲线方程并不是标准形式,所以要变一下形儿,变

x2 1 ? y2 ? 1 :1 ? 4 成 1/ | m | 。由题意,半虚轴长的平方:半实轴长的平方 = 4。即 | m | ,所以 1 m?? 4 。选 A。当然,我们也可以不算,只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案 A 圈出 来 这个题的形式我们见的真是太多了,总结起来八个字: “没有坡度,只有陷阱” 。也就 是说,题目本身并不很难,但是它总在视觉上(不是知识上,是视觉上)给人挖“坑儿” 。 一般情况下, “坑儿”有三种:⑴ 不声明曲线是站着的还是躺着的;⑵ 该写在分母上的不 往分母上写;⑶ 该写成平方形式的不写成平方。 1 ? 仔细品味这个题,选择支的选项并没有出现“ ?2 ”或“ 2 ”这样的支项,也就是说 第⑶点并没有考察;第⑴点有所涉及,但似乎故意做了淡化,C、D 选项几乎是用眼睛扫一 ?
2 2 2 2 下就排除了; 主要考察的还是第⑵点。 如果题目干项中将 “ mx ? y ? 1 ” 改成 “ mx ? y ? t

1 (t 为非零常数) ” ,同时支项中出现“ ? 2” 、 “ 2 ”这样的干扰项,那就三点兼顾了。 ?
值得一提的是,在二次曲线中,还有一个“坑儿”需要引起注意:那就是“轴和半轴” 、

x2 y 2 ? 2 ? a ? b ? 0? 2 b “距和半距” 。例如:椭圆 a 中, a 是半长轴而非长轴, c 是半焦距而非 焦距。 这些问题虽然很小,但同时也是眼高手低者们(包括我在内)比较爱犯的通病。我个 人认为,这个题其实是用来考察非智力因素的:就看细心不细心。 2 16. (2006 年全国卷 I)抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是
A.

4 3

B.

7 5
2

C.

8 5
d?

D. 3

16.抛物线上任意一点( t , ?t )到直线的距离

| 4t ? 3t 2 ? 8 | | 3t 2 ? 4t ? 8 | ? 5 5 。因
126

t? ? 8 为 4 ? 4 ? 3 ? 8 ? 0 , 所 以 3t ? 4
2

2

0 成 立 。 从 而 有 恒

d?

1 2 ?3t ? 4t ? 8? , 5

1 4 ? 3? 8 ? 4 4 d min ? ? ? 5 4?3 3 。选 A。 17. (2006 年全国卷 I)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位: cm )的 5 根细木棒围成一 个三角形(允许连接,但不允许折断) ,能够得到的三角形的最大面积为
2

A. 8 5cm2 B. 6 10cm2 C. 3 55cm2 D. 20cm 17.我们普遍了解这样一个事实:在周长一定的 n 边形中,正 n 边形面积最大。或许 这个东西有点超纲,但是请原谅,我一时半会想不出用教材上的办法来解决此题。 当 n = 3 时,这个普遍了解的事实可以用椭圆的知识这样来感性地解释: 设三角形△ABC 的周长 l 为定值,角 A、B、C 分别对应三边 a、b、c。 先固定 B、C 两点,则 b + c 是定值,这意味这点 A 在 B、C 为焦点的椭圆上(去除俩 长轴端点) ,当 A 为椭圆的短轴端点时,A 到线段 BC 的距离最远,此时△ABC 为等腰三角 形,满足 b = c。① 假若 a ? b , 我们再固定 A、 C 两点, 再次调整点 B 的位置。 由 ① 我们知道,a ' ? c ' 时, △ABC 面积最大。所以: 轴上,点 a ' 对应的点被 a、b 分别对应的两个点“夹逼”着。无论是用代数语言还是几何语 言,我们都能得到结论:再次调整后 | a '? b ' | ? | a ? b | 。② 只要类似于①、② 的调整我们可以一直进行,每进行一次,三角形的三边就“接近一 次” ,直到三边长最接近。最接近的情况当然是正三角形。 (以上只是感性理解,并不代表证明。 ) 按照我们所普遍了解的事实,调整 3 个边尽可能的相等:7,7,6 此时三角形面积为: 6 10 。选 B。 2 18. (2006 年江西卷)设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若

2

a' ?

a '? c ' a ? c a ? b ? ? 2 2 2 ,即 a ' ? (a,b) 。或者换句话说,在数

???? ??? ? OA ? AF =-4,则点 A 的坐标是(B ) A. (2,?2 2 ) B. (1,?2) C.(1,2)D.(2,2 2 ) ??? ? ?? ? y2 y2 y2 解:F(1,0)设 A( 0 ,y0)则 OA =( 0 ,y0) , AF =(1- 0 ,-y0) ,由 4 4 4 ??? ? ??? ? OA ? AF =-4?y0=?2,故选 B x 2 y2 1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2 19. (2006 年江西卷)P 是双曲线 - = 9 16
=4 和(x-5) +y =1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( D ) A. 6 B.7 C.8 D.9 解:设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0) ,则这两点正好是两圆的圆 心,当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,此时 |PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9 故选 B 20. (2006 年辽宁卷)曲线 的
127
2 2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m

(A)焦距相等
2

(B) 离心率相等
2

(C)焦点相同

(D)准线相同

【解析】由

x y ? ? 1(m ? 6) 知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 , 由 10 ? m 6 ? m

x2 y2 ? ? 1(5 ? m ? 9) 知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线,故只能选择答案 A。 5?m 9?m
【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义,同时着重考查了审题能力即 参数范围对该题的影响。 21. (2006 年辽宁卷)直线 y ? 2k 与曲线 9k 2 x2 ? y2 ? 18k 2 x 的公共 (k ? R ,且k ? 0 ) 点的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】将 y ? 2k 代入 9k 2 x2 ? y2 ? 18k 2 x 得: 9k 2 x2 ? 4k 2 ? 18k 2 x

? 9 | x |2 ?18 x ? 4 ? 0 ,显然该关于 | x| 的方程有两正解,即 x 有四解,所以交点有 4 个,
故选择答案 D。 【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧,同时对二次方程的实根分 布也进行了简单的考查。 22. (2 0 0 6 年 上海卷)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是

x2 y 2 ? ?1 . 16 4 23. (2 0 0 6 年 上海卷)若曲线 y 2 =| x |+1 与直线 y = kx + b 没有公共点,则 k 、b 分别 应满足的条件是 k =0,-1< b <1 . 2 1 x ? y 2 ? 1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 , 24. ( 2006 年浙江卷)若双曲线 3 m 则 m = ( C) 1 3 1 9 (A) (B) (C) (D) 2 2 8 8 2 y 2 25. ( 2006 年湖南卷) 过双曲线 M: x ? 2 ? 1的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 b
短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 M 的两条渐近线分别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( A. 10 B. 5 C. A )

10 3

D.

5 2

26.(2006 年山东卷)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线 的距离为 1,则该椭圆的离心率为 (B) (A) 2 (B)

2 2

(C)

1 2

(D)

2 4

27 . (2006 年山东卷)某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 须满足约束条件

?5 x ? 11y ? ?22, ? 则 z=10x+10y 的最大值是 (C) ?2 x ? 3 y ? 9, ?2 x ? 11. ?
128

(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 28.(2006 年山东卷)已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,则 y12+y22 的最小值是 32 . 29.(2006 年山东卷)双曲线 C 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,直线 y= 3x 为 C 的一 8 4

条渐近线. (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 过点 P(0,4)的直线 l ,交双曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于 Q 点(Q 点与 C 的顶点不 重合).当 PQ ? ?1QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ? 29.(1) x ?
2

??? ?

??? ?

??? ?

8 时,求 Q 点的坐标. 3

y2 ? 1;(2) Q(?2, 0) . 3 x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F,O 为坐标原点。 30. (2006 年福建卷) 已知椭圆 2 y (I)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程;
(II)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围。
B

A 30.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基 本方法,考查运算能力和综合解题能力。满分 12 分。

l

F

G

O

x

解: (I)? a2 ? 2, b2 ? 1,?c ? 1, F (?1,0), l : x ? ?2. ? 圆过点 O、F,

y

1 ? 圆心 M 在直线 x ? ? 上。 2 1 设 M ( ? , t ), 则圆半径 2 1 3 r ? (? ) ? (?2) ? . 2 2
由 OM ? r, 得 (? ) ? t ?
2 2

B

l

F A

G

O

x

1 2

3 , 2

解得 t ? ? 2.

1 9 ? 所求圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . 2 4 (II)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0),

x2 ? y 2 ? 1, 整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0. 2 ? 直线 AB 过椭圆的左焦点 F,? 方程有两个不等实根。 记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点 N ( x0 , y0 ),
代入
129

则 x1 ? x2 ? ?

4k 2 , 2k 2 ? 1

1 ? AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ). k 令 y ? 0, 得

xG ? x0 ? ky0 ? ? ? k ? 0,??

2k 2 k2 k2 1 1 ? ? ? ?? ? 2 . 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2 4k ? 2

1 ? xG ? 0, 2

1 ? 点 G 横坐标的取值范围为 (? , 0). 2

x2 y 2 31. (2006 年安徽卷)如图,F 为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点。P 为双曲 a b 线 C 右支上一点, 且位于 x 轴上方, M 为左准线上一点,O 为坐标原点。 已知四边形 OFPM 为平行四边形, PF ? ? OF 。 (Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; y (Ⅱ)当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线 交双曲线于 A、B 点,若 AB ? 12 ,求此时的双曲线方 H
程。 解:∵四边形 OFPM 是 ? ,∴ | OF |?| PM |? c , M P x O F

a2 M | |? P H | 2? 作双曲线的右准线交 PM 于 H, 则| P , c


e?

| PF | ? | OF | ?c ?c ?e ? ? ? 2 ? 2 , 2 2 2 a a | PH | c ? 2a e ?2 c?2 c?2 c c 2 e ? ?e ? 2 ? 0 。
2 2
2 2

第 22 题图

x2 y2 (Ⅱ) 当 ? ? 1 时,e ? 2 ,c ? 2a ,b ? 3a , 双曲线为 2 ? 2 ? 1 四边形 OFPM 4a 3a 是菱形,所以直线 OP 的斜率为 3 ,则直线 AB 的方程为 y ? 3( x ? 2a) ,代入到双曲线方 2 2 程得: 9 x ? 48ax ? 60a ? 0 ,
又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k 解得 a ?
2
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得: 12 ? 2 (

48a 2 60a 2 , ) ?4 9 9

x2 y 2 9 27 2 ? ? 1 为所求。 ,则 b ? ,所以 4 4 9 27 4

32. ( 2006 年重庆卷)已知一列椭圆 Cn:x2+

y 2 =1. 0<b <1,n=1,2. ? .若椭圆 C 上有一点 P n n bn2
130

使 Pn 到右准线 ln 的距离 d.是|PnFn|与|PnCn|的等差中项,其中 Fn、Cn 分别是 Cn 的左、右 焦点.

3 (n≥1); 2 2n ? 3 (Ⅱ)取 bn= ,并用 SA 表示 ? PnFnGn 的面积,试 n?2
(Ⅰ)试证:bn≤ 证:S1<S1 且 Sn<Sn+3 (n≥3). 图(22)图 证: (1)由题设及椭圆的几何性质有

2dn ?| Pn Fn | ? | PnGn |? 2, 故dn ? 1.
设 tn ? 1 ? bn , 则右准线方程为
2

ln x ?

1 . ex

因此,由题意 dn 应满足

1 1 ? 1 ? d n ? ? 1. ex ex

?1 1 ? ?1 ? 1 即 ? ex ,解之得: ? en< 1, 2 ?0<e < n 1 ? 1 1, 即 ? en< 2 3 从而对任意 n ? 1, bn ? . 2 (Ⅱ)设点 P xn , f n) , 则出dn ? 1及椭圆方程易知 n的坐标为( 1 xn ? ? 1, en 1 2 2 2 2 yn ? bn (1 ? xn ) ? (1 ? cn )(1 ? ( ? 1)2 ) cn
得两极

1 1 ? 13 1 ? 13 1 ? 13 ,从而易知 f(c)在( , )内是增函 数,而在( , 2 6 6 6

1)内是减函数. 现在由题设取 bn ? 又易知

2n ? 3 n ?1 1 2 , 则cn ? 1 ? bn ? ?1? , c, 是增数列. n?2 n?2 n?2

3 1 ? 13 4 c2 ? < < ? cn . 4 6 5 故由前已证,知 S1<S2,且Sn<Sn ?1 (n ? 3).
131

33. (2006 年上海春卷) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:

y2 x2 ? ? 1 ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆 100 25 64 ? ? 变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 M ? 0, ? 为顶点的抛物线的实线部分, 7 ? ? 降落点为 D( 8, 0 ) . 观测点 A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2) 试问: 当航天器在 x 轴上方时, 观测点 A 、 B 测 得离航天器的距离分别为多少时, 应向航天器发出变 轨指令?
航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为

33. [解](1)设曲线方程为 y ? ax 2 ? 由题意可知, 0 ? a ? 64 ?

64 , 7

64 . 7

1 ? a?? . 7

??4 分

1 64 . ??6 分 ? 曲线方程为 y ? ? x 2 ? 7 7 (2)设变轨点为 C ( x, y ) ,根据题意可知
? x2 y2 ? (1) ? ?100 25 ? 1, 得 4 y 2 ? 7 y ? 36 ? 0 , ? 1 64 ?y ? ? x2 ? , (2) ? 7 7 ? 9 y ? 4 或 y ? ? (不合题意,舍去). 4 ? y ? 4. x ? 6 或 x ? ?6 ( 不 合 题 意 , 舍 去 ) . ? 得 ( 6, 4 ) , ??11 分

??9 分 C 点 的 坐 标为

| AC |? 2 5 , | BC |? 4 .
答:当观测点 A 、 B 测得 AC、BC 距离分别为 2 5、 4 时,应向航天器发出变轨指 令. ??14 分 → 34. (2006 年全国卷 II)已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点,且 AF → =λ FB (λ>0) .过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M. →→ (Ⅰ)证明 FM · AB 为定值;
132

(Ⅱ)设△ABM 的面积为 S,写出 S=f(λ)的表达式,并求 S 的最小值. 21.解:(Ⅰ)由已知条件,得 F(0,1),λ>0. → → 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 AF =λ FB , 即得 (-x1,1-y)=λ(x2,y2-1), ?-x1=λx2 ① ? 1 - y = λ ( y - 1) ② ? 1 2 1 1 将①式两边平方并把 y1= x12,y2= x22 代入得 y1=λ2y2 ③ 4 4 1 解②、③式得 y1=λ,y2= ,且有 x1x2=-λx22=-4λy2=-4, λ 1 2 1 抛物线方程为 y= x ,求导得 y′= x. 4 2 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 1 1 y= x1(x-x1)+y1,y= x2(x-x2)+y2, 2 2 1 1 2 1 1 即 y= x1x- x1 ,y= x2x- x22. 2 4 2 4 x1+x2 x1x2 x1+x2 解出两条切线的交点 M 的坐标为( , )=( ,-1). ??4 分 2 4 2 → → x1+x2 1 1 1 所以 FM · AB =( ,-2)· (x2-x1,y2-y1)= (x22-x12)-2( x22- x12)=0 2 2 4 4 →→ 所以 FM · AB 为定值,其值为 0. ??7 分 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中,FM⊥AB,因而 S= |AB||FM|. 2 x1+x2 1 2 1 2 1 |FM|= ( )2+(-2)2= x + x + x x +4 2 4 1 4 2 2 1 2 1 = y1+y2+ ?(-4)+4 2 1 1 = λ+ +2= λ+ . λ λ 因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的距离,所以 1 1 |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+ +2=( λ+ )2. λ λ 1 1 3 于是 S= |AB||FM|=( λ+ ) , 2 λ 1 由 λ+ ≥2 知 S≥4,且当 λ=1 时,S 取得最小值 4. λ 35. (2006 年四川卷)已知两定点 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

???? ? ???? 2, 0 ,满足条件 PF2 ? PF1 ? 2 的点

?

P 的轨迹是曲线 E ,直线 y ? kx ? 1 与曲线 E 交于 A, B 两点,如果 AB ? 6 3 ,且曲线 E ??? ? ??? ? ??? ? 上存在点 C ,使 OA ? OB ? mOC ,求 m 的值和 ?ABC 的面积 S?
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识 及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分 12 分。
133

解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2 且c ?

?

? ?

2, 0 为焦点的双曲线的左支,

?

2, a ? 1 ,易知 b ? 1
2 2

故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1? x ? 0? 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意建立方程组 ?
2 2 消去 y ,得 1 ? k x ? 2kx ? 2 ? 0

?

?

? y ? kx ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1 ? k2 ?
2

解得 ? 2 ? k ? ?1

2 又∵ AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?
2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2
2 2 2 2

?2 ? ?2k ? ?2 ? 1? k 2 ? ? ? 4? 2 ? 1? k 2 ? 1? k ?
依题意得 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3

4 2 整理后得 28k ? 55k ? 25 ? 0

2 ∴k ?

5 5 2 或k ? 7 4

但 ? 2 ? k ? ?1

∴k ? ?

5 2

5 x ? y ?1 ? 0 2 ??? ? ??? ? ??? ? 设 C ? xc , yc ? ,由已知 OA ? OB ? mOC ,得 ? x1, y1 ? ? ? x2 , y2 ? ? ? mxc , myc ?
故直线 AB 的方程为 ∴ ? mxc , myc ? ? ? 又 x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? , ? m ? 0? m ? ? m

2k 2k 2 2 ? ? 4 5 , y ? y ? k x ? x ? 2 ? ?2? 2 ?8 ? ? 1 2 1 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1

? ? ∴点 C ? ?4 5 , 8 ? ? m m? ? ?

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得

得 m ? ?4 ,但当 m ? ?4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴ m ? 4 , C 点的坐标为 ? 5, 2

80 64 ? ?1 m2 m2

?

?

134

C 到 AB 的距离为

5 ? ? 5 ? 2 ?1 2 ? 5? 2 ? ? ?1 ? 2 ?
2

?

?

?

1 3

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 1 ?6 3? ? 3 2 3

36. (2006 年全国卷 I)在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F1 0, ? 3 和 F2 0, 3 为焦

?

?

?

?

3 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处 2 ???? ? ??? ? ??? ? 的切线与 x、 y 轴的交点分别为 A、B,且向量 OM ? OA ? OB 。求:
点、离心率为 (Ⅰ)点 M 的轨迹方程; (Ⅱ) OM 的最小值。

???? ?

c a? ?2 e 36.解: (I)根据题意,椭圆半焦距长为 3 ,半长轴长为 ,半短轴长 b ? 1 ,
即椭圆的方程为

x2 ?

y ?1 4 。

2

设点 P 坐标为( cos ? , 2sin ? ) (其中

0 ?? ?

?
2) ,则

y x cos? ? sin ? ? 1 2 切线 C 的方程为: 2 1 点 A 坐标为: ( cos ? ,0) ,点 B 坐标为(0, sin ? ) 2 1 点 M 坐标为: ( cos ? , sin ? )
?1? ? 2? ? ? ? ? ? ?1 所以点 M 的轨迹方程为: ? x ? ? y ? ( x ? 0 且 y ? 0)
? 1 ? ? 2 ? ? f ?? ? ? ? 0 ?? ? ? ?? ? cos ? sin ? ? ? ? ? 2 )的最小值 (II)等价于求函数 (其中
4 ? 1 ? ? 2 ? 2 2 2 g ?? ? ? ? ?5?9 ? ?? ? ? ?1 ? tan ? ? ? 4 ?1 ? cot ? ? ? tan ? ? tan 2 ? ? cos? ? ? sin ? ? 4 tan 2 ? ? tan 2 ? 时等号成立,此时即 tan ? ? 2 。 当 ???? ? OM ? gmin ?? ? ? 3 min 因此,点 M 坐标为( 3 , 6 )时,所求最小值为 。
2 2

2

2

2

2

135

37. (2006 年江苏卷)已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0) 。 (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点 且过点 P? 的双曲线的标准方程。 解: (I)由题意,可设所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其半焦距 c ? 6 。 + a 2 b2
∴a ? 3 5 ,

2a ?| PF1 | ? | PF2 | ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 ,
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 45 ? 36 ? 9 ,故所求椭圆的标准方程为
、 F2 ' (0,6) P?(2,5) 、 F1 ' (0,-6) 设所求双曲线的标准方程为
2

x y2 ? 1; + 45 9

(II)点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为:

x2 a1
2

-

y2 b1
2

? 1 (a1 ? 0, b1 ? 0) ,由题意知半焦距 c1 ? 6 ,
∴ a1 ? 2 5 ,

2a1 ? | P' F1 '| ? | P' F2 '| ? 112 ? 2 2 ? 12 ? 2 2 ? 4 5 ,
b1 ? c1 ? a1 ? 36 ? 20 ? 16 ,故所求双曲线的标准方程为
2 2 2

y 2 x2 ? 1。 20 16

点评:本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运 算能力 38. (2006 年湖北卷)设 A 、 B 分别为椭圆

半轴的长等于焦距,且 x ? 4 为它的右准线. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP 、 BP 分别与椭圆相 交于异于 A 、 B 的点 M 、 N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内. (此题不要求在答题卡上画图) 38.点评:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运 用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

x2 y 2 ? ? 1?a, b ? 0? 的左、右顶点,椭圆长 a2 b2

a2 解: (Ⅰ)依题意得 a=2c, =4,解得 a=2,c=1, c x2 y2 ? ? 1. 从而 b= 3 .故椭圆的方程为 4 3
(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M (x0,y0). ∵M 点在椭圆上,∴y0=

2

M

1

-4

A -2

2

B

4

-1

N
-2

-3

3 (4-x02). 4

1 ○

又点 M 异于顶点 A、B,∴-2<x0<2,由 P、A、M 三点共线可以得
136

P(4,

6 y0 6 y0 ). 从而 BM =(x0-2,y0) , BP =(2, ). x0 ? 2 x0 ? 2

∴ BM ? BP =2x0-4+

6 y0 2 = (x02-4+3y02). x0 ? 2 x 0 ? 2
5 (2-x0). 2

2

2 ○

将○ 1 代入○ 2 ,化简得 BM ? BP =

∵2-x0>0,∴ BM ? BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为( 依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ) , 2 2

BQ -

2

x ? x2 y ? y2 2 1 1 2 MN =( 1 -2)2+( 1 ) - [(x1-x2)2+(y1-y2)2] 4 4 2 2
=(x1-2) (x2-2)+y1y1 3 ○

又直线 AP 的方程为 y=

y1 y ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上, ∴

6 y1 6 y2 ( 3 x2 ? 2) y1 ,即 y2= ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2
x1 y 3 2 2 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 4 3
2

4 ○

2

2

又点 M 在椭圆上,则

5 ○

于是将○ 4 、○ 5 代入○ 3 ,化简后可得 BQ - 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内。 39. (2006 年江西卷)如图,椭圆 Q:

1 5 2 MN = (2-x1 )( x 2 ? 2) ? 0 . 4 4

x 2 y2 + =1 (a?b?0)的右焦点 F(c,0) ,过点 F a 2 b2

的一动直线 m 绕点 F 转动,并且交椭圆于 A、B 两点,P 是线段 AB 的中点 (1) 求点 P 的轨迹 H 的方程

(2) 在 Q 的方程中,令 a2=1+cos?+sin?,b2=sin?(0???

? ) ,确定?的值,使原点 2
137

距椭圆的右准线 l 最远,此时,设 l 与 x 轴交点为 D,当直线 m 绕点 F 转动到什么

位置时,三角形 ABD 的面积最大? 39.解:如图, (1)设椭圆 Q:

x 2 y2 + =1 (a?b?0) a 2 b2

上的点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,又设 P 点坐标为 P(x,y) ,则
2 2 2 2 2 2 ? 1) ?b x1+a y1=a b ????( ? 2 2 2 2 2 2 ? ?b x 2+a y 2=a b ????(2)

1?当 AB 不垂直 x 轴时,x1?x2, 由(1)-(2)得 b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0

y

?

y1-y2 b2 x y =- 2 = x1-x 2 a y x-c
O

B

?b2x2+a2y2-b2cx=0????(3) 2?当 AB 垂直于 x 轴时,点 P 即为点 F,满足方程 (3) 故所求点 P 的轨迹方程为:b2x2+a2y2-b2cx=0 (2)因为,椭圆 Q 右准线 l 方程是 x= 的距离为 (0???

D F X

a2 ,原点 c

A

l

距l

? ) 2 ? ? a 2 1+cos ?+sin ? 则 = =2sin( + ) 2 4 c 1+cos ? ? 当?= 时,上式达到最大值。此时 a2=2,b2=1,c=1,D(2,0) ,|DF|=1 2 x2 2 1上的点 A(x1,y1) 设椭圆 Q: +y = 、B(x2,y2) ,三角形 ABD 的面积 2 1 1 1 S= |y1|+ |y2|= |y1-y2| 2 2 2 x2 2 1中,得(2+k2)y2+2ky-1=0 设直线 m 的方程为 x=ky+1,代入 +y = 2 2k 1 由韦达定理得 y1+y2= - ,y1y2= - , 2 2+k 2+k 2 8(k 2+1) 2 2 2 4S =(y1-y2) =(y1+y2) -4 y1y2= 2 (k 2+2) 8t 8 8 令 t=k2+1?1,得 4S2= = ? =2 ,当 t=1,k=0 时取等号。 2 (t+ 1) t+1+2 4 t
因此,当直线 m 绕点 F 转到垂直 x 轴位置时,三角形 ABD 的面积最大。
138

a2 ,由于 c2=a2-b2,a2=1+cos?+sin?,b2=sin? c

40 .( 2006
2 2

年 天 津 卷 ) 如 图 , 以 椭 圆

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的中心 O 为圆心,分别以 a 和 2 a b b 为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点 F ?c,0??c ? b? 作 垂直于 x 轴的直线交大圆于第一象限内的点 A .连结 OA 交小圆于点 B .设直线 BF 是小圆的切线. 2 (1)证明 c ? ab ,并求直线 BF 与 y 轴的交点 M 的
坐标; ( 2 ) 设 直 线 BF 交 椭 圆 于 P 、 Q 两 点 , 证 明

??? ? ???? 1 OP ? OQ ? b 2 . 2 40. M (0, a) ;略.
41 . ( 2006 年 辽 宁 卷 ) 已 知 点

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点, O 是坐标原点,向 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 量 OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 (I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径;
2 5 时,求 p 的值。 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 【解析】(I)证明 1: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB) ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB ??? ? ??? ? 整理得: OA ? OB ? 0 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ???? ???? 设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0 即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为 整理得: x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 2: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

2

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB ??? ? ??? ? 整理得: OA ? OB ? 0 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……..(1)
设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则

y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) x ? x2 x ? x1 去分母得: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
即 点 ( x1 , y1 ),( x1 , y2 ),( x2 , y1 )( x2 , y2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得:
139

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 证明 3: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB) ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB ??? ? ??? ? 整理得: OA ? OB ? 0 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……(1)
以线段 AB 为直径的圆的方程为

(x ?

x1 ? x2 2 y ? y2 2 1 ) ? (y ? 1 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 2 2 4

展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径
(II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2 2 ? y1 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)

y12 y2 2 4 p2 又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2 ? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0 ?? y1 ? y2 ?

? y1 ? y2 ? ?4 p2 x ?x yy 1 1 x? 1 2 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p 1 ? ( y2 ? 2 p2 ) p 2 2 所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p
设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p d? ? ? 5 5 5p |

140

?

| ( y ? p) 2 ? p 2 | 5p
p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

当 y=p 时,d 有最小值

?p ? 2.

解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? y ? y ? 1 ? y2 ? ? 2 2 ? y1 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)

y12 y2 2 ? x1 x2 ? 4 p2 又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
y12 y2 2 4 p2 ? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0 ?? y1 ? y2 ?

? y1 ? y2 ? ?4 p2 x ?x yy 1 1 x? 1 2 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p 1 ? ( y2 ? 2 p2 ) p 所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2
设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为

m ? ?2
因为 x-2y+2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 无公共点,

2 5 ,则 5

所以当 x-2y-2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为

2 5 5 ? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3) 2 2 将(2)代入(3)得 y ? 2 py ? 2 p ? 2 p ? 0

?? ? 4 p2 ? 4(2 p2 ? 2 p) ? 0
141

?p?0 ? p ? 2.
解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) | 2 d? 5 2 ? y1 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0) |

y12 y2 2 4 p2 又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? x1 x2 ?
y12 y2 2 4 p2 ? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0 ?? y1 ? y2 ?

? y1 ? y2 ? ?4 p2 1 | ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y 2 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | 4p ?d ? ? 1 5 4 5p
( y1 ? y2 ? 2 p)2 ? 4 p 2 ? 4 5p
当 y1 ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值

?p ? 2.

p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础 知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力. 42. (2006 年北京卷)已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 . 记动点 P 的轨迹为 W . (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A, B 是 W 上的不同两点, O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值.

??? ? ??? ?

x2 ? y 2 ? 1( x ? 2) ; (Ⅱ)20。 2 2 43. (2 0 0 6 年 上海卷)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y =2 x 相交于 A、B
19. (Ⅰ)
142

两点. (1)求证: “如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解](1) (2) 44. ( 2006 年浙江卷)如图,椭圆 有且只有一个公共点 T,
?? ? ?? ?

x2 y 2 ? =1(a>b>0)与过点 A(2,0)B(0,1)的直线 a 2 b2

且椭圆的离心率 e= (Ⅰ)求椭圆方程;

3 . 2

(Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF 1 的中点,求证:∠ATM=∠ AF 1 T.

x2 ? 2 y2 ? 1 。 44. 2
45. ( 2006 年湖南卷)已知椭圆 C1:

x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线 C2: ( y ? m)2 ? 2 px( p ? 0) ,且 C1、 4 3

C2 的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点. (Ⅰ)当 AB⊥ x 轴时,求 m 、 p 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (Ⅱ)是否存在 m 、 p 的值,使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上?若存在,求出符合条 件的 m 、 p 的值;若不存在,请说明理由. 45.(Ⅰ) m =0, p ? (Ⅱ) m ?

9 ; 8

4 6 6 ,或 m ? ? ,p? 。 3 3 3

解 (Ⅰ)当 AB⊥x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m=0,直线 AB 的方程为 3 3 x=1,从而点 A 的坐标为(1, )或(1,- ). 2 2 9 9 因为点 A 在抛物线上,所以 ? 2 p ,即 p ? . 4 8 9 此时 C2 的焦点坐标为( ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16
143

(Ⅱ)解法一 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由 ?x2
? y ? k ( x ? 1) ? 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . y2 ? ?1 ? 3 ? 4
8k 2 3 ? 4k 2

??①

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2= .
y A O B x

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是过 C2 的焦点的弦, 1 1 1 所以 AB ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) ? 4 ? ( x1 ? x 2 ) ,且 2 2 2

p p ) ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? p . 2 2 1 从而 x1 ? x2 ? p ? 4 ? ( x1 ? x2 ) . 2 4?6p 8k 2 4?6p ? 所以 x1 ? x 2 ? ,即 . 2 3 3 ? 4k 3 AB ? ( x1 ?
解得 k 2 ? 6, 即k ? ? 6 . 2 1 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k . 3 3 即m ? 当m ?
6 6 或m ? ? . 3 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

当m ? ?

解法二 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y ? k ( x ? 1) .
8 ? 2 8 ?( y ? m) ? x 2 由? 3 消去 y 得 (kx ? k ? m) ? x . 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

??①

2 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上, 3 2 1 2k 8 所以 m ? k ( ? 1) ,即 m ? ? k .代入①有 (kx ? ) 2 ? x . 3 3 3 3

即 k 2 x 2 ? ( k 2 ? 2) x ?

4 3

4k 2 ?0. 9

??②
4( k 2 ? 2) 3k 2

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程②的两根,x1+x2= .

144

由 ?x2

? y ? k ( x ? 1) ? 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . y2 ? ? 1 ? 3 ? 4
8k 2 3 ? 4k 2

??③

由于 x1,x2 也是方程③的两根,所以 x1+x2= 从而
4( k 2 ? 2) 3k 2

.

. 解得 k 2 ? 6, 即k ? ? 6 . 3 ? 4k 2 2 1 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k . 3 3 = 即m ? 当m ?
6 6 或m ? ? . 3 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

8k 2

当m ? ?

解法三 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 2 因为 AB 既过 C1 的右焦点 F (1,0) ,又是过 C2 的焦点 F ?( , m) , 3 p p 1 1 所以 AB ? ( x1 ? ) ? ( x 2 ? ) ? x1 ? x 2 ? p ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) . 2 2 2 2 2 16 即 x1 ? x 2 ? (4 ? p) ? . 3 9 由(Ⅰ)知 x1 ? x 2 ,于是直线 AB 的斜率 k ? 且直线 AB 的方程是 y ? ?3m( x ? 1) , 所以 y1 ? y 2 ? ?3m( x1 ? x 2 ? 2) ?
2m . 3
y 2 ? y1 m ? 0 ? ? 3m , 2 x 2 ? x1 ?1 3

??① ??②

??③ ??④

2 2 ? y ? y1 ?3x ? 4 y1 ? 12 ? 0. 又因为 ? 1 ,所以 3( x1 ? x 2 ) ? 4( y1 ? y 2 ) ? 2 2 2 x 2 ? x1 ? ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12

将①、②、③代入④得 m 2 ? 当m ?

6 6 2 或m ? ? ,即 m ? . 3 3 3

6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

当m ? ?

145

(Ⅲ)范例分析
例 1、 求与直线 3x+4y+12=0 平行, 且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线 l 的方程。 分析:满足两个条件才能确定一条直线。一般地,求直线方程有两个解法,即用其中 一个条件列出含待定系数的方程,再用另一个条件求出此参数。 解法一:先用“平行”这个条件设出 l 的方程为 3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求

m ,0) ,交 y 轴于 B(0,? m) 由 1 ? ? m ? ? m ? 24 ,得 m ? ?24 ,代 2 3 4 3 4 入①得所求直线的方程为: 3x ? 4 y ? 24 ? 0
m,∵直线 l 交 x 轴于 A(? 解法二:先用面积这个条件列出 l 的方程,设 l 在 x 轴上截距离 a,在 y 轴上截距 b,

1 ab ? 24 ,因为 l 的倾角为钝角,所以 a、b 同号,|ab|=ab,l 的截距式为 x ? y ?1 , a 48 2 a 2 48 ? a ? ? 48a ,∴ a ? ?8 代入②得所 即 48x+a2y-48a=0②又该直线与 3x+4y+2=0 平行, ∴ 3 4 2 求直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 24 ? 0
则有 说明:与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可写成 Ax+By+C1=0 的形式;与 Ax+By+C=0 垂 直的直线的方程可表示为 Bx-Ay+C2=0 的形式。 例 2、若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2, 3),B(3,2),求实数 m 的取值 范围。 解:直线 mx+y+2=0 过一定点 C(0, -2),直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0, -2) 的直线系,因为直线与线段 AB 有交点,则直线只能落在∠ABC 的内部,设 BC、CA 这两 条直线的斜率分别为 k1、k2,则由斜率的定义可知,直线 mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 k≥k1 或 k≤k2, ∵A(-2, 3) B(3, 2)

4 k ? ?5 2 3 2 4 5 4 5 ∴-m≥ 或-m≤ ? 即 m≤ ? 或 m≥ 3 2 3 2
∴ k1 ?

y

A o
C(0,-2)

B

x

说明:此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题,这 里要清楚直线 mx+y+2=0 的斜率-m 应为倾角的正切,而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°) 内, 角的正切函数都是单调递增的, 因此当直线在∠ACB 内部变化时, k 应大于或等于 kBC, 或者 k 小于或等于 kAC,当 A、B 两点的坐标变化时,也要能求出 m 的范围。 例 3、已知 x、y 满足约束条件 x≥1, x-3y≤-4, 3x+5y≤30, 求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值. 解:根据 x、y 满足的约束条件作出可行域,即 如图所示的阴影部分(包括边界). 作直线 l 0 : 2x-y=0 ,再作一组平行于 l 0 的直线 l : 2x-y=t,t∈R. 可知,当 l 在 l 0 的右下方时,直线 l 上的点(x,y)

y
6 5 4 3 2 1

l2 C l0: 2x-y=0 l1
x-3y+4=0

B A
1 x=1 2 3 4 5 6 3x+5y-30=0

146

O

x

满足 2x-y>0,即 t>0,而且直线 l 往右平移时,t 随之增大.当直线 l 平移至 l1 的位置时, 直线经过可行域上的点 B,此时所对应的 t 最大;当 l 在 l 0 的左上方时,直线 l 上的点(x, y)满足 2x-y<0,即 t<0,而且直线 l 往左平移时,t 随之减小.当直线 l 平移至 l 2 的位置 时,直线经过可行域上的点 C,此时所对应的 t 最小. x-3y+4=0, 由 解得点 B 的坐标为(5,3) ; 3x+5y-30=0, x=1, 由 3x+5y-30=0, 所以, z最大值 =2?5-3=7; z最小值 =2?1解得点 C 的坐标为(1,

27 ). 5

27 17 =? . 5 5

例 4、某运输公司有 10 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车与载重量为 8 吨的 B 型卡车,有 11 名驾驶员.在建筑某段高速公路中,该公司承包了每天至少搬运 480 吨沥青的任务.已知每 辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 8 次,B 型卡车 7 次;每辆卡车每天的成本费 A 型车 350 元,B 型车 400 元.问每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆,公司所花的成本费最低,最低为 多少? 解:设每天派出 A 型车与 B 型车各 x、y 辆,并设公司每天的成本为 z 元.由题意,得 x≤10, y≤5, y x+y≤11, 48x+56y≥60, 12 x,y∈N, 10 x+y=11 且 z=350x+400y. 8 x≤10, y=5 6 y≤5, A 4 l0 6x+7y=0 即 x+y≤11, 2 6x+7y≥55, 2 4 6 8 B 10 12 x,y∈N, O x x=10 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l 0 : 350x+400y=0 , 即
l1 7x+8y=0 7x+8y=0. 作出一组平行直线:7x+8y=t 中(t 为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线,此

直线经过 6x+7y=60 和 y=5 的交点 A( 所以可行域内的点 A(

25 ,5 ) ,由于点 A 的坐标不都是整数,而 x,y∈N, 6

25 ,5)不是最优解. 6

为求出最优解,必须进行定量分析. 因为, 7?

25 +8?5≈69.2, 所以经过可行域内的整点 (横坐标和纵坐标都是整数的点) 6
147

且与原点最小的直线是 7x+8y=10,在可行域内满足该方程的整数解只有 x=10,y=0,所以 (10,0)是最优解,即当 l 通过 B 点时,z=350?10+400?0=3500 元为最小.

答:每天派出 A 型车 10 辆不派 B 型车,公司所化的成本费最低为 3500 元. 例 5、已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以 AB 为直腰作 直角梯形 AA?B?B ,使 AA? 垂直且等于 AT,使 BB? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆于 P、 Q 两点,建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线 A?B? 的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射 后,反射光线通过点 Q.
‘ 解: (1 ) 显然 A' ?1,1 ? t ? , B ?? 1, 1 ? t ?,于是 直线 A?B? 的方程为 y ? ?tx ? 1 ;

? x 2 ? y 2 ? 1, (2)由方程组 ? ? y ? ?tx ? 1,
P (0,1) 、 Q (

解出

2t 1? t 2 , ); 2 1? t 1? t 2

1? t2 ?0 2 1? t2 1 1? 0 1 (3) k PT ? k QT ? 1 ? t ? ? . ?? , 2 2t t 0?t t t ( 1 ? t ) ?t 2 1? t 由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反 射光线通过点 Q. 说明:需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例 6、设 P 是圆 M:(x-5)2+(y-5)2=1 上的动点,它关于 A(9, 0)的对称点为 Q,把 P 绕原 点依逆时针方向旋转 90°到点 S,求|SQ|的最值。 解:设 P(x, y),则 Q(18-x, -y),记 P 点对应的复数为 x+yi,则 S 点对应的复数为: (x+yi)?i=-y+xi,即 S(-y, x) ∴ | SQ|? (18? x ? y)2 ? (? y ? x)2

? 182 ? x2 ? y 2 ?36x ? 36y ? 2xy ? x2 ? y2 ? 2xy ? 2 ? x2 ? y 2 ?18x ?18y ?81?81 ? 2 ? (x ?9)2 ? ( y ? 9)2
其中

(x ?9)2 ? ( y ?9)2 可 以 看 作 是 点 P 到 定 点 B(9, -9) 的 距 离 , 共 最 大 值 为

| MB | ?r ? 2 53?1最小值为 | MB | ?r ? 2 53?1,则 |SQ|的最大值为 2 106? 2 ,|SQ|的最小值为 2 106? 2
例 7、 已知⊙M: x ? ( y ? 2) ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B
2 2

两点, (1)如果 | AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3
4 2 | AB | 2 2 2 2 1 ,可得 | MP |? | MA | 2 ?( ) ? 12 ? ( ) ? ,由 3 2 3 3
148

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. 解 : ( 1 )由 | AB |?

射影定理,得

| MB |2 ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 在 Rt△MOQ 中,

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,
故 a ? 5或a ? ? 5 , 所以直线 AB 方程是

2x ? 5 y ? 2 5 ? 0或2x ? 5 y ? 2 5 ? 0; (2)连接 MB,MQ,设 P( x, y), Q(a,0), 由
点 M,P,Q 在一直线上,得

2 y?2 ? , (*) 由射影定理得 | MB |2 ?| MP | ? | MQ |, ?a x
2 2 2 即 x ? ( y ? 2) ? a ? 4 ? 1, (**) 把(*)及(**)消去 a,

并注意到 y ? 2 ,可得 x ? ( y ? ) ?
2 2

7 4

1 ( y ? 2). 16

说明:适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在。 例 8、 直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, 且与抛物线相交于 A ( x1 , y1 )和B( x2 , y 2 ) 两点.(1)求证: 4x1 x2 ? p 2 ; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线 l 不是 CD 的垂直平分线. 解: (1)易求得抛物线的焦点 F ( P ,0) .
2
2 若 l⊥x 轴,则 l 的方程为 x ? P , 显然x1 x2 ? P . 2 4 P 若 l 不垂直于 x 轴,可设 y ? k ( x ? ) ,代入抛物线方程整理得 2 2 2 2P P P . x 2 ? P(1 ? 2 ) x ? ? 0, 则x1 x2 ? 4 4 k

综上可知

4x1 x2 ? p 2 .
2 2

(2)设 C ( c , c), D( d , d )且c ? d ,则 CD 的垂直平分线 l ? 的方程为
2p 2p

y?

c?d c?d c ?d2 ?? (x ? ) 2 2p 4p
2

2 2 假设 l ? 过 F,则 0 ? c ? d ? ? c ? d ( p ? c ? d ) 整理得 2 2p 2 4p 2 2 2 (c ? d )(2 p ? c ? d ) ? 0 ? p ? 0 ? 2 p 2 ? c 2 ? d 2 ? 0 ,? c ? d ? 0 .

这时 l ? 的方程为 y=0, 从而 l ? 与抛物线 y ? 2 px 只相交于原点. 而 l 与抛物线有两个不同的
2

交点,因此 l ? 与 l 不重合,l 不是 CD 的垂直平分线. 说明:此题是课本题的深化,课本是高考试题的生长点,复习要重视课本。 例 9、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M,使它 4 3
149

到左准线的距离为它到两焦点 F1、F2 距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不 能找到,请说明理由。 解:假设存在满足条件的点, 设M (x1, y1) a2=4, b2=3, ∴a=2,b ?

3 ,c=1,∴ e ?

1 , 2

| MF1 | ? | MF2 |? ( a ? ex 1 )( a ? ex 1 ) ? a 2 ? e 2 x1 ? 4 ?

1 2 x1 ,点 M 到椭圆左准线的距离 4 1 2 a2 r1r2 ? d , ? 4 ? x1 ? ( x1 ? 4) 2 d ? x1 ? ? x1 ? 4 , ∴ , ∴ 4 c 12 2 5x1 ? 32x1 ? 48 ? 0 ,∴ x1 ? ?4 或 x1 ? ? ,这与 x1∈[-2,0)相矛盾,∴满足条件的 5
2

点 M 不存在。 例 10、已知椭圆中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 4,离心率为 (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ) 设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 M, 又点 A 和点 B 在椭圆上, 且 M 分有向线段 AB 所成的比为 2,求线段 AB 所在直线的方程。

2 , 3

y2 x2 解: (Ⅰ)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 a b
故 a=3,

由 2c=4 得 c=2



c 2 ? a 3

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 5 ∴所求的椭圆方程为

y 2 x2 ? ?1 9 5

(Ⅱ)若 k 不存在,则 又设 A ( x1, y1 )

AM

MB B( x 2 , y 2 )

? 2 ,若 k 存在,则设直线 AB 的方程为:y=kx+2

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 得 y2 ? ?1 ? 9 ?5 ?20k x1 ? x2 ? ?① 9 ? 5K 2

(9 ? 5k 2 ) x 2 ? 20kx ? 25 ? 0
x1 ? x2 ? ?25 ?② 9 ? 5K 2

∵点 M 坐标为 M(0,2) ∴ AM ? (? x1 ,2 ? y1 ) MB ? ( x2 , y 2 ? 2) 由

AM MB

?2

得 AM ? 2MB ∴ (? x1 ,2 ? y1 ) ? 2( x2 , y2 ? 2)

20k 25 2 2 x2 ? ?④ ? ③ 2 9 ? 5k 9 ? 5k 2 20k 2 25 1 3 2 ) ? k ?? 由③、④ 得 2( ∴k ? 2 2 9 ? 5k 9 ? 5k 3 3 3 x ? 2。 ∴线段 AB 所在直线的方程为: y ? ? 3
∴ x1 ? ?2 x2 代入①、②得 x2 ?
150

说明:有向线段所成的比,线段的定比分点等概念,本身就是解析几何研究的一类重 要问题。向量概念的引入,使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比 分点公式,也可以直接用有向线段的比解题。 另外,向量的长度,点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系,向量与解析几何 的结合,为解决这些问题开辟了新的解题途径。 例 11、已知直线 l 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有且仅有一个交点 Q,且与 x 轴、y a2 b2

轴分别交于 R、S,求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程. 解:从直线 l 所处的位置, 设出直线 l 的方程, 由已知,直线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0). 代入椭圆方程 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2,得 b 2 x 2 ? a 2 (k 2 x 2 ? 2kmx? m2 ) ? a 2b 2 . 化简后,得关于 x 的一元二次方程 (a 2 k 2 ? b 2 ) x 2 ? 2ka 2 mx ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0. 于是其判别式 ? ? (2ka 2 m) 2 ? 4(a 2 k 2 ? b 2 )(a 2 m 2 ? a 2 b 2 ) ? 4a 2 b 2 (a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 ). 由已知,得△=0.即 a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 . ① m 在直线方程 y ? kx ? m 中,分别令 y=0,x=0,求得 R(? ,0), S (0, m). k m y ? ? x?? , k?? , ? ? k x ? 令顶点 P 的坐标为(x,y) , 由已知,得 ? 解得? ? ? y ? m. ?m ? y. ? ? ? ?
2 2 代入①式并整理,得 a ? b ? 1 , 即为所求顶点 P 的轨迹方程. 2 x y2 2 2 说明:方程 a ? b ? 1 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? x2 y 2

x2 y2 2 3 例 12、已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的 3 a b 3 距离是 . (1)求双曲线的方程; 2
(2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的 圆上,求 k 的值. 解:∵(1) c ? 2 3 , 原点到直线 AB: x ? y ? 1 的距离 a b a 3 ab ab 3 d ? ? ? . . 2 2 c 2 a ?b
? b ? 1, a ? 3.
3
2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

151

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 . 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则 x ? x2 15k 5 x0 ? 1 ? ? y 0 ? kx0 ? 5 ? , 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y ?1 1 k BE ? 0 ?? . x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0,


15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
故所求 k=± 7 . 说明:为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程.

例 13、过点 P(? 3, 0) 作直线 l 与椭圆 3x2+4y2=12 相交于 A、 B 两点, O 为坐标原点, 求△OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 y 分析:若直接用点斜式设 l 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? 3) ,则要 A 求 l 的斜率一定要存在,但在这里 l 的斜率有可能不存在,因此要 P 讨论斜率不存在的情形, 为了避免讨论, 我们可以设直线 l 的方程 O x 为 x ? my ? 3 ,这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而简 B 化了运算。 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , l : x ? my ? 3

1 1 | OP | ? | y1 | ? | OP | ? | y 2 |? 3 (| y1 | ? | y 2 |) ? 3 ( y1 ? y 2 ) 2 2 把 x ? my ? 3 代入椭圆方程得: 3(m2 y 2 ? 2 3my ? 3) ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 S ?AOB ?

(3m2 ? 4) y 2 ? 6 3my ? 3 ? 0 , y1 ? y 2 ?

3 6 3m , y1 y 2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

108m 2 12 1 | y1 ? y 2 |? ? ? 144x 2 ? 48 2 2 2 2 (3m ? 4) 3m ? 4 3m ? 4
?
?

4 9m 2 ? 3 4 3 ? 3m 2 ? 1 4 3 ? 3m 2 ? 1 ? ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 (3m 2 ? 1) ? 3
4 3m 3m 2 ? 1 ? 3 3m 2 ? 1
m?? 6 3

?

4 3 ?2 2 3

3 3 ? 2 ? 3 ,此时 3m 2 ? 1 ? 2 3m 2 ? 1 3 6 令直线的倾角为 ? ,则 tg? ? ? ?? 2 6
∴S ?

152

即△OAB 面积的最大值为 3 ,此时直线倾斜角的正切值为 ?

6 。 2

例 14、 (2003 年江苏高考题)已知常数 a ? 0 ,向量 c ? (0, a), i ? (1,0). 经过原点 O 以 c ? ? i 为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)以 i ? 2? c 为方向向量的直线 相交于点 P,其中 ? ? R. 试问:是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求 出 E、F 的坐标;若不存在,说明理由.
解:∵ i =(1,0) , c =(0,a) , ∴ c +λ i =(λ ,a) , i -2λ 因此,直线 OP 和 AP 的方程分别为 ?y ? ax 和 y ? a ? ?2?ax . 消去参数λ ,得点 P( x, y) 的坐标满足方程 y( y ? a) ? ?2a 2 x 2 . 整理得

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? c =(1,-2λ

a).

因为 a

a ( y ? )2 x2 2 ? 1. ??① ? 1 a 2 ( ) 8 2 ? 0, 所以得:

(i)当 a

?

2 2

时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F;

(ii)当 0 ? a ? 两个定点; (iii)当 a ?

2 时,方程①表示椭圆,焦点 E ( 1 2 2

1 a 1 1 a ? a 2 , ) 和 F (? ? a 2 , ) 为合乎题意的 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 时,方程①也表示椭圆,焦点 E (0, (a ? a 2 ? )) 和 F (0, (a ? a 2 ? )) 为合乎 2 2 2 2 2

题意的两个定点.

说明:由于向量可以用一条有向线段来表示,有向线段的方向可以决定解析几何中直线 的斜率,故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是: 根据直线的方向向量得出直线方程,再转化为解析几何问题解决。 例 15、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一 a2 b2 点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量。

(1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围;

(2)设

b2 b2 ,∴ k OM ? ? 。 a ac b b2 b 2 , OM与 AB 是共线向量,∴ ? ? ? ,∴b=c,故 e ? ∵ k AB ? ? 。 a ac a 2 F1Q ? r1 , F2Q ? r2 , ?F1 QF2 ? ? ,
解: (1)∵ F1 (?c,0),则x M ? ?c, y M ?

? r1 ? r2 ? 2a, F1F2 ? 2c,

153

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a 2 a2 ? ? ?1 ? ?1 ? 0 r1 ? r2 2 2r1r2 2r1r2 r1r2 ( ) 2 ? 当且仅当 r1 ? r2 时,cosθ =0,∴θ ? [0, ] 。 2 cos ? ?
说明:由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析 几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类 问题的关键是:正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的 问题转化为解析几何问题。

x2 y2 2 的椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 a b 交于 P、Q,两点,直线 l 与 Y 轴交于点 R,且 OP ? OQ ? ?3 , PR ? 3RQ ,求直线 l 和椭
例 16、一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 圆 C 的方程。

c 2 2 2 2 ,? ? , a ? 2b a 2 2 2 2 x y ? 2 ? 1 ,设 l 方程为: y ? x ? m , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 所以椭圆方程为 2 2b b 2 2 ?x y ? 2 ? 2 ?1 2 2 2 由 ? 2b 消去 y 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2b ? 0 b ?y ? x ? m ?
解:? 椭圆离心率为

? ? 16m 2 ? 4 ? 3(2m 2 ? 2b 2 ) ? 8(?m2 ? 3b 2 ) ? 0 ? 3b 2 ? m 2 ? (*) 4 2 x1 ? x 2 ? ? m ??(1) x1 x 2 ? (m 2 ? b 2 ) ??(2) 3 3 OP ? OQ ? ?3 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? ?3 2 而 y1 y2 ? ( x1 ? m)(x2 ? m) ? x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 4 2 4 2 (m ? b 2 ) ? m 2 ? m 2 ? ?3 所以 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ? ?3 3 3 2 2 所以 3m ? 4b ? ?9 ?? (3 ) 又 R(0, m) ,PR ? 3RQ ,(? x1 , m ? y1 ) ? 3( x2 , y 2 ? m) 2 2 从而 ? x1 ? 3x2 ??(4) 由(1) (2 ) (4)得 3m ? b ??(5) 2 由(3) (5)解得 b ? 3 , m ? ?1 适合 (*),
所以所求直线 l 方程为:

y ? x ? 1 或 y ? x ? 1 ;椭圆 C 的方程为

x y2 ? ?1 6 3

2

说明:向量数量积的坐标表示,构建起向量与解析几何的密切关系,使向量与解析几何融 为一体。求此类问题的关键是:利用向量数量积的坐标表示,沟通向量与解析几何的联系。 体现了向量的工具性。 例 17、已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点,
154

且∠F1PF2 的最大值为 90°,直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点,△ABF2 的面积最 大值为 12. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)求椭圆 C 的方程. | PF1 |? r1 , | PF2 |? r2 , | F1 F2 |? 2c 解法一: (1)设 , 对 ?PF1 F2 , 由余弦定理, 得
cos ?F1 PF2 ? r11 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1 r2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 ? ? ?1 ? ?1 r1 ? r2 2 2r1 r2 2r1 r2 2r1 r2 2( ) 2

? 1 ? 2e 2 ? 0 ,

解出

e?

2 . 2

(2)考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当 k 存在时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? c) ??????①

x2 y2 ? ? 1, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) a2 b2 由e ? 2 . 得 a 2 ? 2c 2 , b 2 ? c 2 . 2 x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 ? 0 于是椭圆方程可转化为 ??????② 2 2 2 将①代入②,消去 y 得 x ? 2k ( x ? c) ? 2c 2 ? 0 , 整理为 x 的一元二次方程,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4ck 2 x ? 2c 2 (k 2 ? 1) ? 0 . 则 x1、x2 是上述方程的两根.且
椭圆方程为

| x2 ? x1 |?

2 2c 1 ? k 2 , 1 ? 2k 2
2 2c(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2

| AB |? 1 ? k 2 | x2 ? x1 |?

AB 边上的高 h ?| F1 F2 | sin ?BF1 F2 ? 2c ?
S? 1 1? k 2 |k| 2 2c( ) 2c 2 1 ? 2k 2 1 ? k 2
? 2 2c 2

|k| 1? k 2

,

1? k 2 | k | k 2? k 4 2 ? 2 2 c ? 2 2c 1 ? 2k 2 1 ? 4k 2 ? 4k 4

2

1 1 4? 4 k ? k2

? 2c . 2

ii) 当 k 不存在时,把直线2x ? ?c 代入椭圆方程得 2 y?? c, | AB |? 2c, S ? 2c ? 2c 2 2 1

由①②知 S 的最大值为 2c 2 由题意得 2c 2 =12 所以 c 2 ? 6 2 ? b 2 2 2 故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为: x ? y ? 1. 解法二:设过左焦点的直线方程为: x ? my ? c ????①
2 2 椭圆的方程为: x ? y ? 1, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 2 2

a 2 ? 12 2

12 2

6 2

a

b

由e ?

2 得: 2 a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 , 于是椭圆方程可化为: x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 ? 0 ??② . 2
155

把①代入②并整理得: (m 2 ? 2) y 2 ? 2mcy? c 2 ? 0 于是 y1 , y2 是上述方程的两根.
| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 ? 1 ? m 2 | y 2 ? y1 |

? 1 ? m2

4m 2 c 2 ? 4c 2 (m 2 ? 2) m ?2
2

?

2 2c(1 ? m 2 ) , m2 ? 2

AB 边上的高 h ?

2c 1 ? m2

,
2c 1 ? m2 ? 2 2c 2 1 ? m2 (m ? 2) 2

2 从而 S ? 1 | AB | h ? 1 ? 2 2c(1 ? m ) ? 2

2

2

m ?2

? 2 2c 2

1 1 m ?1? 2 ?2 m ?1
2

? 2c 2 .

当且仅当 m=0 取等号,即 S max ? 由题意知 2c 2 ? 12 , 于是

2c 2 .
x2 12 2 ? y2 6 2 ? 1.

b 2 ? c 2 ? 6 2 , a 2 ? 12 2 .

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

例 18 、 ( 2002 年 天 津 高 考 题 ) 已 知 两 点 M ( -1 , 0 ) ,N(1,0)且点 P 使

MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 成公差小于零的等差数列, (Ⅰ)点 P 的轨迹是什么曲线?
(Ⅱ)若点 P 坐标为 ( x0 , y0 ) , ? 为 PM与PN 的夹角,求 tanθ 。 解: (Ⅰ)记 P(x,y) ,由 M(-1,0)N(1,0)得

PM ? ?MP ? (?1 ? x,? y)
所以

PN ? ?NP ? (?1 ? x,? y)
NM ? NP ? 2(1 ? x)

MN ? ?NM ? (2,0)

MP ? MN ? 2(1 ? x)

PM ? PN ? x 2 ? y 2 ? 1

于是, MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 是公差小于零的等差数列等价于

1 ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? [2(1 ? x) ? 2(1 ? x)] 2 ? ? ?2(1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 0



?x 2 ? y 2 ? 3 ? ?x ? 0

所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆。

???? ? ??? ? 2 2 2 PM PN ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (4 ? 2 x0 ) ? (4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 ???? ? ???? PM ? PN 1 所以 cos ? ? ???? . 因为 0〈 x0 ? 3 , 所以 ? ???? ? 2 PM ? PN 4 ? x0
1 ? 1 ? cos ? ? 1,0 ? ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? , 2 2 3 4 ? x0
156

(Ⅱ)点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) 。 PM ? PN ? x0 ? y 0 ? 1 ? 2 。

2

2

tan? ?

sin ? ? cos?

1?

1 2 4 ? x0

1 2 4 ? x0

2 ? 3 ? x0 ? y0 .

说明:在引入向量的坐标表示后,可以使向量运算代数化,这样就可以将“形”和“数” 紧密地结合在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中,也就显得十分自然。求解这类 问题的关键是:先把向量用坐标表示,再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解; 也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题,用数形结合方法使问题获解。

四、强化训练
1、已知 P 是以 F1 、 F2 为焦点的椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,若 PF 1 ? PF 2 ?0 a2 b2
( (D) )

tan ?PF1 F2 ?
(A)

1 2

1 ,则椭圆的离心率为 2 2 1 (B) (C) 3 3

5 3

2、已知△ABC 的顶点 A(3, -1),AB 边上的中线所在直线的方程为 6x+10y-59=0,∠B 的平分线所在直线的方程为:x-4y+10=0,求边 BC 所在直线的方程。 y 3、求直线 l2:7x-y+4=0 到 l1:x+y-2=0 的角平分线的方程。 C B 4、已知三种食物 P、Q、R 的维生素含量与成本如下表所示. 食物 P 400 800 6 食物 Q 600 200 5 食物 R 400 400 4
T o M A x

维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 成本(元/kg)

现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合,制成 100kg 的混合物.如果 这 100kg 的混合物中至少含维生素 A44 000 单位与维生素 B48 000 单位,那么 x,y,z 为 何值时,混合物的成本最小? 5、某人有楼房一幢,室内面积共 180 m ,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间 面积为 18 m ,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元;小房间每间面积为 15 m , 可住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元.装修大房间每间需 1000 元,装修小房间每间 需 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房 间各多少间,能获得最大收益? 6、已知△ABC 三边所在直线方程 AB:x-6=0,BC:x-2y-8=0,CA:x+2y=0,求此三角 形外接圆的方程。 7、已知椭圆 x2+2y2=12,A 是 x 轴正方向上的一定点,若过点 A,斜率为 1 的直线被椭 圆截得的弦长为
2 2

2

4 13 ,求点 A 的坐标。 3 x2 y2 8、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)上两点 A、B,直线 l : y ? x ? k 上有两点 C、D, a b
157

且 ABCD 是正方形。此正方形外接圆为 x2+y2-2y-8=0,求椭圆方程和直线 l 的方程。 9、求以直线 l : x ? ?2 为准线,原点为相应焦点的动椭圆短轴 MN 端点的轨迹方程。 10、若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点,又焦 点到同侧长轴端点的距离为 2 ? 1 ,求椭圆的方程。

x2 y2 11、已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB a b 的中点在直线 l : x ? 2 y ? 0 上.
(1)求此椭圆的离心率; (2 )若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上,求此椭圆的方程. 12、设 A(x1,y1)为椭圆 x2+2y2=2 上任意一点,过点 A 作一条直线 l ,斜率为 ?

x1 , 2 y1

又设 d 为原点到直线 l 的距离,r1、r2 分别为点 A 到椭圆两焦点的距离。求证: r1 ? r2 ? d 为 定值。 13、 某工程要将直线公路 l 一侧的土石,通过公路上的两个道口 A 和 B,沿着道路 AP、 BP 运往公路另一侧的 P 处,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最省 工?

x2 y2 ? ? 1(a>b>0) ,P 为椭圆上除长轴端点外的任一点,F1、F2 为椭 a 2 b2 ??? cos 2 ; 圆的两个焦点, (1)若 ?PF (2) 1 F2 ? ? , ?PF 1 F2 ? ? ,求证:离心率 e ? ??? cos 2 2 若 ?F1PF2 ? 2? ,求证: ?F1PF2 的面积为 b ? tan? 。
14、已知椭圆 15、在 Rt△ABC 中,∠CBA=90°,AB=2,AC=

2 。DO⊥AB 于 O 点,OA=OB, 2
DM ??, DN

DO=2,曲线 E 过 C 点,动点 P 在 E 上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2) 过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、 N 且 M 在 D、 N 之间, 设 试确定实数 ? 的取值范围.

16、 (2004 年北京春季高考)已知点 A (2, 8) , B( x1 ,y1 ) ,C( x2 ,y2 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px 上, ?ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合(如图)

158

y B A O F M x

C

(I)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (II)求线段 BC 中点 M 的坐标; (III)求 BC 所在直线的方程。

五、参考答案
1、解:设 c 为为椭圆半焦距,∵ PF 1 ? PF 2 ?0 ∴ PF 1 ? PF 2

? 2 2 ? 2 ? PF1 ? PF2 ? (2c) 1 ? 又 tan ?PF1 F2 ? ∴ ? PF1 ? PF2 ? 2a 2 ? ? PF2 ? 1 ? PF1 2 ? c 2 5 c 5 解得: ( ) ? 选(D) 。 e? ? a 9 a 3
说明:垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此类问题的关键是利 用向量垂直的充要条件: “ a ? b ? a ?b ? 0” ,促使问题转化,然后利用数形结合解决问 题。 2、解:设 B(a, b),B 在直线 BT 上,∴a-4b+10=0① 又 AB 中点 M ? ? 线 CM 上,∴点 M 的坐标满足方程 6x+10y-59=0 ∴ 6?

3 ? a , b ?1? 在直 ? 2 ? ? 2

a ? 3 ?10? b ?1?59 ? 0 ② 解①、 2 2


②组成的方程组可得 a=10,b=5 ∴B(10, 5),又由角平分线的定义可知,直线 BC 到 BT 的 角等于直线 BT 到直线 BA 的角,又 k AB ?

6 k ? 1 ∴ kBT ? kBC ? kBA ? kBT BT 1? kBT kBC 1? kBA ? kBT 7 4 kBC ? ? 2 ,∴BC 所在直线的方程为 y ?5 ? ? 2 (x ?10) 即 2x+9y-65=0 9 9
3、解法一:设 l2 到 l1 角平分线 l 的斜率为 k,∵k1=-1,k2=7

k ? 7 ? ?1? k ,解之得 k=-3 或 k ? 1 ,由图形可知 k<0, ∴ 1? 7k 1? k 3 1 9 , x ? 2 y ? 2 ? 0 ∴k=-3,又由 解得 l1 与 l2 的交点 Q? ?? , ? ? 7x ? y ? 4 ? 0 ? 4 4?

y
1 2

?

Q
1 2

o

159

x

9 由点斜式得 y ? ? ?3? ? x? 1? ? 即 6x+2y-3=0 4 ? 4?
解法二:设 l2 到 l1 的角为θ ,则 tg? ?

k1 ? k2 4 ? ,所以角θ 为锐角,而 ?1 ? ?2 ? ? , 1? k1k2 3 2

2tg ? 2 ? tg? ? 4 ∴ tg ? ? ?2 或 tg ? ? 1 由二倍角公式可知 2 2 2 3 1? tg 2 ? 2 ? 1 k ? 7 ,∴k=-3 等同解法一。 ∴ tg ? ? 2 2 1? 7k
解法三:设 l:(x+y-2)+λ (7x-y+4)=0

?? 为锐角, 2

1? 7? ,由解法一知 k ? ?3 ? 1? 7? ,∴ ? ? 1 ,代入①化简即得:6x+2y-3=0 ∴k ? ? ?1 ? ?1 5
| x ? y ? 2 | | 7x ? y ? 4 | ? ∴ 整理得:6x+2y-3=0 与 x-3y+7=0,又 l 是 l2 到 l1 的角的平分线, 2 50
解法四:用点到直线的距离公式,设 l 上任一点 P(x, y),则 P 到 l1 与 l2 的距离相等。

即(1+7λ )x+(1-λ )y+(4λ -2)=0①

k<0,∴x-3y+7=0 不合题意所以所求直线 l 的方程为 6x+2y-3=0. 4、分析:由 x+y+z=100,得 z=100-x-y,所以上述问题可以看作只含 x,y 两个变量.设 混合物的成本为 k 元,那么 k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y+400.于是问题就归结为求 k 在已 知条件下的线性规划问题. 解:已知条件可归结为下列不等式组: y x≥0, y≥0, 100 x+y≤100, 2x-y=40 80 400x+600y+400(100-x-y)≥44000, G l1 60 800x+200y+400(100-x-y)≥48000. x+y=100 40 x+y≤100, y=20 20 即 y≥20, ① E F 2x-y≥40. O 20 40 60 80 100 x 在平面直角坐标系中, 画出不等式组①所 表示的平面区域,这个区域是直线 x+y=100, l0: 2x+y=0 y=20, 2x-y=40 围成的一个三角形区域 EFG (包 括边界) ,即可行域,如图所示的阴影部分. 设混合物的成本为 k 元,那么 k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y+400. 作直线 l 0 :2x+y=0,把直线 l 0 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上的点 E,且 与原点的距离最小,此时 2x+y 的值最小,从而 k 的值最小. 2x-y=40, x=30, 由 得 即点 E 的坐标是(30,20). y=20, y=20, 所以, k最小值 =2?30+20+400=480(元) ,此时 z=100-30-20=50. 答:取 x=30,y=20,z=50 时,混合物的成本最小,最小值是 480 元.

160

5、解:设隔出大房间 x 间,小房间 y 间时收益为 z 元,则 x、y 满足 18x+15y≤180, y 1000x+600y≤8000, x,y∈N, 14 且 z=200x+150y. 12 所以 6x+5y≤60, 10 5x+3y≤40, 8 x,y∈N, B (3,8) 6 作出可行域及直线 l 0 :200x+150y=0, 即 4x+3y=0.(如图 4) 把直线 l 0 向上平移至 l1 的位置时, 直线经过 可行域上的点 B,且与原点距离最大.此时, z=200x+150y 取最大值.但解 6x+5y=60 与 5x+3y=40 联立的方程组得到 B (

l0

4 2

O

2

4

6

8

l2l1

10

12

14

x

20 60 , ) . 7 7

由于点 B 的坐标不是整数,而 x,y∈N,所以可行域内的点 B 不是最优解. 为求出最优解,同样必须进行定量分析. 因为 4?

20 60 260 +3? = ≈37.1,但该方程的非负整数解(1,11) 、 (4,7) 、 (7,3)均 7 7 7

不在可行域内,所以应取 4x+3y=36.同样可以验证,在可行域内满足上述方程的整点为(0, 12)和(3,8).此时 z 取最大值 1800 元. 6、解:解方程组可得 A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)设方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则:
2 2 ? ?62 ? (?3)2 ? 6D ? 3E ? F ? 0 ?6 ? (?1) ? 6D ? E ? F ? 0 ? ?42 ? 22 ? 4D ? 2E ? F ? 0 21 解之得:D= ? ,E=4,F=30 2

所以所求的△ABC 的外接圆方程为: x2 ? y2 ?

21x ? 4 y ? 30 ? 0 2
1 | y1 ? y2 | ,而 k2

7、分析:若直线 y=kx+b 与圆锥曲线 f(x,y)=0 相交于两点 P(x1,y1) 、Q(x2、y2) , 则弦 PQ 的长度的计算公式为 | PQ |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ?
2

| x1 ? x 2 |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ,因此只要把直线 y=kx+b 的方程代入圆锥曲线 f(x,y)
=0 方程,消去 y(或 x) ,结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。 解:设 A(x0,0) (x0>0) ,则直线 l 的方程为 y=x-x0,设直线 l 与椭圆相交于 P(x1,y1) , 2 2 Q(x2、y2) ,由 y=x-x0 可得 3x -4x0x+2x0 -12=0, x2+2y2=12

x1 ? x 2 ?

4 x0 2 x0 ? 12 , x1 ? x2 ? ,则 3 3
161

2

16x0 8x ? 48 2 2 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? 0 ? 36 ? 2 x0 9 3 3 4 14 4 14 2 2 ∴ ? 2 ? ? 36 ? 2 x0 ? 1 ? x 2 ? | x1 ? x2 | ,即 3 3 3
2

2

2

∴x02=4,又 x0>0,∴x0=2,∴A(2,0) 。

8、解:圆方程 x2+y2-2y-8=0 即 x2+(y-1)2=9 的圆心 O' (0,1) ,半径 r=3。 设正方形的边长为 p,则 2 p ? 2r ,∴ p ? 3 2 ,又 O'是正方形 ABCD 的中心,∴O' 到直线 y=x+k 的距离应等于正方形边长 p 的一半即 或 k=4。 (1)设 AB:y=x-2 CD:y=x+4 由 y=x-2 x2+y2-2y-8=0

3 2 , 由点到直线的距离公式可知 k=-2 2
D y C O B A x

x2 y2 得 A(3,1)B(0,-2) ,又点 A、B 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上, a b 2 2 x y ? ? 1。 ∴a2=12,b2=4,椭圆的方程为 12 4
a2 ? 48 2 , b ? 16 ,此时 b2>a2(舍去) 。 5

O'

(2)设 AB:y=x+4,同理可得两交点的坐标分别为(0,4) , (-3,1)代入椭圆方程得

x2 y2 ? ? 1。 综上所述,直线 l 方程为 y=x+4,椭圆方程为 12 4
9、分析:已知了椭圆的焦点及相应准线,常常需要运用椭 圆的第二定义: 椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之 比等于离心率 e,而该题中短轴端点也是椭圆上的动点,因此只 要运用第二定义结合 a、b、c 的几何意义即可。 解:设 M(x,y) ,过 M 作 MA ?l 于 A, | MO |?
l A O x=-2 y M(x,y) O' x

x ?y ,
2 2

x2 ? y2 | MA |? x ? 2 ,∴ , ? e ,又过 M 作 MO ??x 轴于 O' x?2
因为点 M 为短轴端点,则 O'必为椭圆中心,

| MO |? a ? ∴ | OO? |? x ? c ,

x2 ? y2 , ∴e ?

c ? a

x x2 ? y2

, ∴

x2 ? y2 x?2

x x2 ? y2

化简得 y2=2x,∴短轴端点的轨迹方程为 y2=2x(x≠0) 。 10、 解: 若椭圆的焦点在 x 轴上, 如图, ∵四边形 B1F1B2F2 是正方形, 且 A1F1= 2 ? 1 ,

162

?b ? c ? 由椭圆的几何意义可知, ?a ? 2b 解之得: a ? 2 , b ? 1 ,此时椭圆的方程为 ? ?a ? c ? 2 ? 1 x2 x2 ? y 2 ? 1 , 同 理 焦 点 也 可 以 在 y 轴 上 , 综 上 所 述 , 椭 圆的 方 程 为 ? y2 ? 1 或 2 2 y2 ? x2 ? 1。 2 ? y ? ? x ? 1, ? 11、解:(1)设 A、B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).则由? x 2 得 y2 ? ?1 ? 2 2 b ?a 2 2 2 2 2 2 2 (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ,
根据韦达定理,得

2a 2 2b 2 , y ? y ? ? ( x ? x ) ? 2 ? , 1 2 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2 a2 b2 ∴线段 AB 的中点坐标为( 2 ). , a ? b2 a2 ? b2 a2 2b 2 由已知得 2 ? ? 0,? a 2 ? 2b 2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ? a 2 ? 2c 2 a ? b2 a2 ? b2 x1 ? x2 ?
故椭圆的离心率为 e ?

( 2 ) 由 ( 1 ) 知 b ? c, 从 而 椭 圆 的 右 焦 点 坐 标 为 F (b,0), 设 F (b,0) 关 于 直 线

2 . 2

l : x ? 2 y ? 0 的对称点为 ( x0 , y0 ),则
解得

y0 ? 0 1 x ?b y ? ? ?1且 0 ? 2 ? 0 ? 0, x0 ? b 2 2 2

3 4 x 0 ? b且 y 0 ? b 5 5 3 2 4 2 2 2 2 由已知得 x 0 ? y 0 ? 4,? ( b) ? ( b) ? 4,? b ? 4 5 5 x2 y2 ? ?1 . 故所求的椭圆方程为 8 4
12、分析:根据椭圆的第二定义,即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数 e

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P(x1,y1)到左焦点 F1 的距 a 2 b2 y2 x2 离|PF1|=a+ex1,到右焦点 F2 的距离|PF2|=a-ex1;同理椭圆 2 ? 2 ? 1 上任一点 P(x1,y1) a b
(0<e<1)的点的轨迹是椭圆,椭圆 到两焦点的距离分别为 a+ey1 和 a-ey1,这两个结论我们称之为焦半径计算公式,它们在椭 圆中有着广泛的运用。
163

解:由椭圆方程 x 2 ? 2 y 2 ? 2 可知 a2=2,b2=1 则 c=1,∴离心率 e ? 可知, r1 ? r2 ? ( a ? ex 1 )( a ? ex 1 ) ? a ? e x1 ? 2 ?
2 2 2

2 ,由焦半径公式 2

1 2 x1 。又直线 l 的方程为: 2 x 2 , y ? y1 ? ? 1 ( x ? x1 ) 即 x1x+2y1y-2=0,由点到直线的距离公式知, d ? 2 2 2 y1 x1 ? 4 y1

又点(x1,y1)在椭圆上,∴2y12=2=x12, ∴d ?

2 x1 ? 4 y1
2 2

?
2

2 x1 ? 2(2 ? x1 )
2 2

?

2 4 ? x1
2



∴ r1r2 ? d ?

4 ? x1 2 ? ? 2 为定值。 2 2 4 ? 4 x1

13、解: 以直线 l 为 x 轴,线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系,则在 l 一侧必存在 经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点,设这样的点为 M,则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50, ? | AB |? 50 7 ,
2 2 ∴M 在双曲线 x ? y ? 1 的右支上. 2 2 25 25 ? 6 故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处, 曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处,按这种方法运土石最省工. 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及,其实在课本中还可找到典型的范 例,你知道吗?

14、分析: ?PF 1 F2 的两个顶点为焦点,另一点是椭圆上的 动点, 因此 | PF |F1F2|=2c, 所以我们应以 ?PF 1 | ? | PF 2 |? 2a , 1 F2 为突破口,在该三角形中用正弦定理或余弦定理,结合椭圆的定 义即可证得。 证 明 :( 1 ) 在 ?PF 1 F2 中 , 由 正 弦 定 理 可 知

y α F1 O

P β F2 x

| F1 F2 | | PF1 | | PF2 | ? ? ,则 s i ?? n ? (? ? ? )? s i ? n s i? n | PF1 | ? | PF2 | 2c 2c 2a ? ? ∴ sin(? ? ? ) sin ? ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? ? sin ? ??? ??? ??? 2 sin ? cos cos 2c sin(? ? ? ) 2 2 ? 2 ∴e ? ? ? ??? ??? ??? 2a sin ? ? sin ? 2 sin cos cos 2 2 2 (2)在 ?PF 1 F2 中由余弦定理可知

(2c) 2 ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2 | PF1 | ? | PF2 | ? cos2? ? (| PF1 | ? | PF2 |)2 ? 2 | PF1 || PF2 | ?
164

2 | PF1 | ? | PF2 | ? cos2? ? (2a) 2 ? 2 | PF1 | ? | PF2 | ?(1 ? cos2? )
∴ | PF1 | ? | PF2 |? ∴ S ?PF1F2

y

1 4a ? 4c 2b ? ? C 2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 sin 2? ? | PF1 | ? | PF2 | ? sin 2? ? b 2 ? ? b 2 ? tan ? 。 2 1 ? cos 2?
2 2 2

x
O B

A

15、解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | = ∴动点 P 的轨迹是椭圆 . ∵a ?

2 2 ? 22 ? ( ) 2 ? 2 2 2 2

2,

b ? 1,
2

c ? 1.

x ? y2 ? 1 . 2 2 2 (2)设直线 L 的方程为 y ? kx ? 2 , 代入曲线 E 的方程 x ? 2 y ? 2 ,得
∴曲线 E 的方程是

(2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 设 M1( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) , 则
? ?? ? (8k ) 2 ? 4(2k ? 1) ? 6 ? 0, ① ? 8k ? , ? x1 ? x 2 ? ? 2 ② 2k ? 1 ? 6 ? ③ x1 x 2 ? 2 . ? 2 k ? 1 ? | DM | 1 ? i) L 与 y 轴重合时, ? ? | DN | 3
ii) L 与 y 轴不重合时, 由①得

3 k2 ? . 2


又∵ ? ?

∵ x2 ? x1 ? 0, ∴0< ? <1 , ∴

x DM x D ? x M ? ? 1, DN x D ? x N x2 x2 ? x1 ? 0,

( x1 ? x2 ) 2 x1 x2 1 ? ? ?2??? ?2 . x1 ? x2 x2 x1 ?
32 3(2 ? 1 ) k2
32 3(2 ? 1 ) k2 ? 16 , 3
165



( x ? x2 ) 2 x1 ? x 2
2

?

64k 2 ? 6(2k 2 ? 1)

而k ?

3 , 2

∴ 6 ? 3( 2 ?

1 ) ? 8. ∴ 4 ? k2

∴ 4???

1

?

?2?

16 , 3

2???

1

?

?

10 , 3

? ?0 ? ? ? 1, ? 1 ? ?? ? ? 2, ? ? 1 10 ? ?? ? , ? ? 3 ?

?

1 ? ? ? 1. 3

∴ ? 的取值范围是 ? ,1? 。 ?3 ?

?1 ?

16、分析:本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题 和解决问题的能力。 解: (I)由点 A(2,8)在抛物线 y 2 ? 2 px 上,有 82 ? 2 p ? 2 解得 p ? 16 所以抛物线方程为 y 2 ? 32 x ,焦点 F 的坐标为(8,0) (II)如图,由 F(8,0)是 ?ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以 F 是线段 AM 的定比分 点,且

AF ?2 设点 M 的坐标为 ( x 0 ,y 0 ) ,则 FM 2 ? 2 x0 8 ? 2 y0 ? 8, ?0 解 得 x0 ? 11,y0 ? ?4 1? 2 1? 2 (11, ? 4)
y B A O F M x

所以点 M 的坐标为

C

(III)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴。 y ? 4 ? k ( x ? 11)( k ? 0) 设 BC 所成直线的方程为 由?

? y ? 4 ? k ( x ? 11)
2 ? y ? 32 x

消x得

ky 2 ? 32 y ? 32(11k ? 4) ? 0
y1 ? y 2 ? ?4 解得 k ? ?4 2 y ? 4 ? ?4( x ? 11) 即 4 x ? y ? 40 ? 0 。

所以 y1 ? y 2 ?

32 k

由(II)的结论得

因此 BC 所在直线的方程为

166


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